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第2章时域离散信号和系统的频域分析,2.1引言 2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号 傅里叶变换之间的关系 2.5序列的Z变换 2.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性 习题与上机题,2.1引言我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换(Fourier Transform)或拉普拉斯变换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换或Z变换表示。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号处理的理论基础。,p(t),t,T,理想抽样,DTFT,r=1,P34 式（）,P46 图（）,P24 图（）c),数字频率,归一化频率,Fs=1000Hz,则100Hz对应0.2,Fs=2000Hz,则100Hz对应0.1,FT为Fourier Transform的缩写。FTx(n)存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：,（）,X(ej)的傅里叶反变换为,（）,离散时间傅里叶变换,正变换为,DTFT,离散频率傅里叶变换,DFFT?,图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线,图2.2.2cosm 的波形,e-eveno-oddr-reali-image,将上式两边n用n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：,（）,（）,上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列：,（）,将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：,即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。,5 时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n)则 Y(ej)=X(ej)H(ej)（2.2.31）证明,令k=nm，则,7 帕斯维尔（Parseval）定理,（）,证明,表2.2.1序列傅里叶变换的性质定理,t,DFTT,例2 设计一如图数字低通滤波器求单位冲击响应,设fs=2000Hz,则截止频率fc=?,傅氏变换一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换,离散时间傅里叶变换DTFT,1.正变换:,2.反变换:,离散频率傅里叶变换DFFT,-,-,时域离散化,频域离散化,一个周期内抽样N个点,扩展到整个频域,P75 式,P40 式,P41 式,DTFT,DFS,DFT,共轭/周期特性,FFT,分析系统,周期,离散,理解方式1,理解方式2,采样间隔,T0,s,T0信号的周期,0信号的角频率,Ts采样间隔,时域,s频谱的周期,0采样间隔,频域,频率分辨率,0,1,.,N-1含义,数字频率：,采样频率：,采样角频率：,信号角频率：,2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式因为周期序列不满足（）式绝对可和的条件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数()，其FT可以用公式表示出来。,周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数。如下:(2.3.1)为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和，即,式中,(2.3.2),(2.3.2)式的证明作为练习请读者自己证明。因此(2.3.3)式中，k和n均取整数。因为，l取整数,即是周期为N的周期函数，所以，系数ak也是周期序列，满足ak=ak+lN。,令,并将(2.3.3)式代入，得到:(2.3.4)式中，也是以N为周期的周期序列,称为 的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。,用,(2.3.5),将（）式和（）式重写如下：,(2.3.6),(2.3.7),代替(2.3.1)式中的ak,得到,（2.3.6）式和（2.3.7）式称为一对DFS。（2.3.5）式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k,k=0,1,2,N1,幅度为。基波分量的频率是2/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS系数表示它的频谱分布规律。【例2.3.1】设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求DFS。解按照（2.3.6）式,有,其幅度特性如图2.3.1(b)所示。,图2.3.1例2.3.1图,周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，其傅里叶变换是在=0处的单位冲激函数，强度是2，即,r取整数因此 的FT为(2.3.9)(2.3.9)式表示复指数序列的FT是在0+2r处的单位冲激函数，强度为2，如图2.3.2所示。但这种假定如果成立，则要求按照（2.2.4）式的逆变换必须存在，且唯一等于，下面进行验证。按照逆变换定义，（2.2.4）式右边,观察图2.3.2，在区间，只包括一个单位冲激函数(0)，等式右边为，因此得到下式：证明了（2.3.9）式确实是的FT，前面的暂时假定是正确的。,图2.3.2的FT,对于一般周期序列，按（2.3.6）式展成DFS，第k次谐波为，类似于复指数序列的FT，其FT为因此的FT如下式：,式中，k=0,1,2,N1。如果让k在区间变化，上式可简化成（2.3.10）式中(2.3.10)式就是周期性序列的傅里叶变换表示式。需要说明的是，上面公式中的()表示单位冲激函数，而(n)表示单位脉冲序列，由于括弧中的自变量不同,因而不会引起混淆。表2.3.2中综合了一些基本序列的FT。,表2.3.2基本序列的傅里叶变换,表中u(n)序列的傅里叶变换推导如下：令(2.3.11)(2.3.12)对(2.3.12)式进行FT，得到:,对(2.3.11)式进行FT，得到：【例】求例中周期序列的FT。解将例中得到的代入（）式中，得到：其幅频特性如图所示。,图2.3.3例2.3.2图,对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示（用带箭头的竖线表示）。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。【例2.3.3】令为有理数，求其FT。解将用欧拉公式展开：按照（2.3.9）式，其FT推导如下：,图2.3.4cos0n的FT,2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系时域离散信号与模拟信号是两种不同的信号，傅里叶变换也不同，如果时域离散信号是由某模拟信号采样得来，那么时域离散信号的傅里叶变换和该模拟信号的傅里叶变换之间有一定的关系。下面推导这一关系式。公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了由采样得到的时域离散信号和模拟信号的关系，而理想采样信号和模拟信号的关系用（）式表示，重写如下:,对上式进行傅里叶变换,得到:,令=T，且x(n)=xa(nT)，得到：（2.4.1）或者写成：（2.4.2）式中(2.4.2)式也可以表示成（2.4.3）,图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系,DTFT,FT,拉氏变换,能否 离散化?,拉氏变换,序列的Z变换,Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部相对。,=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆,0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内,0,即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外,j,0,0,DTFT,=0，S平面的实轴，=0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线，=0T,Z:始于 原点的射线；S:宽 的水平条带，单位圆内.,0,jImZ,ReZ,(2).与的关系（=T）,2.5序列的Z变换在模拟信号系统中，用傅里叶变换进行频域分析，拉普拉斯变换可作为傅里叶变换的推广，对信号进行复频域分析。在时域离散信号和系统中，用序列的傅里叶变换进行频域分析，Z变换则是其推广，用以对序列进行复频域分析。因此Z变换在数字信号处理中同样起着很重要的作用。,这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。（2.5.1）式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即（2.5.3）使（2.5.3）式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域为环状域，即,令z=rej，代入上式得到RxrRx，收敛域是分别以Rx和Rx为收敛半径的两个圆形成的环状域(如图 2.5.1 中所示的斜线部分)。当然，Rx可以小到零，Rx可以大到无穷大。收敛域的示意图如图所示。,图2.5.1变换的收敛域,z=rej,常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义（2.2.1）式，很容易得到傅里叶变换和Z变换（ZT）之间的关系，用下式表示：,X(z)存在的条件是|z1|1,因此X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆，因此其傅里叶变换不存在，更不能用（2.5.4）式求傅里叶变换。该序列的傅里叶变换不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换则可以表示出来（见表2.3.2）。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是可以存在的。,设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：n10时，00时，0|z|,【例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解 这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极、零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的傅里叶变换，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果（2.2.5）式是相同的。,2 右序列右序列是指在nn1时，序列值不全为零，而在nn1时，序列值全为零的序列。右序列的Z变换表示为第一项为有限长序列，设n11，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx|z|，Rx是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx|z|。如果是因果序列，收敛域为Rx|z|。,FT,拉氏变换,Z变换,DTFT,【例】求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。解 在收敛域中必须满足|az1|a|。,3 左序列左序列是指在nn2时，序列值不全为零，而在nn2时，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为如果n20,z=0点收敛，z=点不收敛，其收敛域是在某一圆（半径为Rx+）的圆内，收敛域为0|z|Rx+。如果n20，则收敛域为0|z|Rx+。,【例2.5.4】求x(n)=anu(n1)的Z变换及其收敛域。解这里x(n)是一个左序列，当n0时，x(n)=0，X(z)存在要求|z n a1|1，即收敛域为|z|a|,因此,4 双边序列一个双边序列可以看做是一个左序列和一个右序列之和，其Z变换表示为X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的交集。如果Rx+Rx，则其收敛域为Rx|z|Rx+，是一个环状域；如果Rx+Rx，两个收敛域没有交集，X(z)则没有收敛域，因此X(z)不存在。,【例】x(n)=a|n|,a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解第一部分收敛域为|az|a|。如果|a|1,两部分的公共收敛域为|a|z|a|1,其Z变换如下式:如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图所示。,图2.5.2例2.5.5图,逆Z变换已知序列的Z变换X(z)及其收敛域，求原序列x(n)的过程称为求逆Z变换。计算逆Z变换的方法有留数法、部分分式展开法和幂级数法（长除法）。下面仅介绍留数法和部分分式展开法，重点放在留数法。,Z变换,逆Z变换,式中,c是X(z)收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合曲线，如图所示。求逆Z变换时，直接计算围线积分是比较麻烦的，用留数定理求则很容易。为了表示简单，用F(z)表示被积函数：,F(z)=X(z)zn1,图2.5.3围线积分路径,围线c内的极点用zk表示,则根据留数定理有,F(z)表示被积函数,F(z)=X(z)zn1,【例2.5.6】已知X(z)=(1az1)1，|z|a,求其逆Z变换x(n)。解为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点。显然，F(z)的极点与n的取值有关。,极点有两个：z=a；当n0时，其中z=0的极点和n的取值有关。n0时，z=0不是极点；n0时，z=0是一个n阶极点。因此，分成n0和n0两种情况求x(n)。n0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=a；n0时，F(z)在c内有2个极点：z1=a,a2=0（n阶）；所以，应当分段计算x(n)。n0 时，,图2.5.4例2.5.6中n0时F(z)的极点分布,【例2.5.7】已知,求其逆变换x(n)。解该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图2.5.5所示。图中有两个极点：z=a和z=a1，这样收敛域有三种选法，它们是（1）|z|a1|，对应的x(n)是因果序列；（2）|z|a|，对应的x(n)是左序列；（3）|a|z|a1|，对应的x(n)是双边序列。,x(n)=a|n|,图2.5.5例2.5.7中X(z)的极点,下面分别按照不同的收敛域求其x(n)。（1）收敛域为|z|a1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a1，因此,最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。,（2）收敛域为|z|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况。实际上，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和。n0时,最后将x(n)表示成封闭式：x(n)=(anan)u(n1)（3）收敛域为|a|z|a1|:这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两种情况分别求x(n)。n0时，c内只有1个极点：z=a,x(n)=ResF(z),a=an,n0时，c内极点有2个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a1，因此x(n)=ResF(z),a1=an最后将x(n)表示为即x(n)=a|n|,2.部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。,【例】已知,2|z|3，求逆Z变换。解,因为收敛域为22。第二部分极点是z=-3，收敛域应取|z|3。查表，得到：x(n)=2nu(n)+(3)nu(n1)注意:在进行部分分式展开时，也用到求留数问题；求各部分分式对应的原序列时，还要确定它的收敛域在哪里，因此一般情况下不如直接用留数法求方便。一些常见的序列的Z变换可参考表。,表2.5.1常见序列的Z变换,Z变换的性质和定理下面介绍Z变换重要的性质和定理。1 线性性质设m(n)=ax(n)+by(n)a,b为常数 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Ry|z|Ry+则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z)Rm|z|Rm+,（）,Rm+=minRx+,Ry+Rm=maxRx,Ry这里,M(z)的收敛域(Rm,Rm+)是X(z)和Y(z)的公共收敛域，如果没有公共收敛域，例如当Rx+RxRy+Ry时，则M(z)不存在。,2 序列的移位性质设X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则（）,3 序列乘以指数序列的性质设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+y(n)=anx(n)a为常数则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a1z)|a|Rx|z|a|Rx+因为Rx|a1z|Rx+，得到|a|Rx|z|a|Rx+。,证明,（）,4 序列乘以n的ZT设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则（）证明,因此,5 复共轭序列的ZT性质设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+（2.5.19）证明,6 初值定理设x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)，则（2.5.20）证明 因此,7 终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则（2.5.21）证明因为x(n)是因果序列，x(n)=0,n0,所以,因为(z1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限：,终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示，因为因此 x()=ResX(z),1（2.5.22）如果在单位圆上X(z)无极点，则x()=0。,8 时域卷积定理 设w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Rx|z|Ry+1则W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw|z|Rw+（）Rw+=minRx+,Ry+Rw=maxRx,Ry,证明W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。,【例2.5.9】已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，|a|1,网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用两种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是Z变换法。（1）,由收敛域判定 y(n)=0n0n0时，将y(n)表示为,由X(z)的收敛域和Y(z)的收敛域得到：因此,W(z)的收敛域为|a|z|；被积函数平面上的收敛域为max(|a|,0)|min(|a1|,|z|)，平面上极点：a、a1和z，c内极点：z=a。令,x(t),y(t),【例】差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)。,y(n)=by(n-1)+x(n),差分方程,传递函数,频率响应,数字系统函数的描述方法,差分方程,传递函数,频率响应,卷积,传递函数的零极点形式,对应的频率响应,=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆,0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内,0,即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外,j,0,0,DTFT,Z变换分析系统举例,零极点与数字滤波器特性的关系,分析零点对幅频特性的影响,分析零点对幅频特性的影响,Fs=2000Hz,y(n),分析零点对幅频特性的影响,零点附近频率衰减极点附近频率加强仅仅靠零点滤波器效果不理想,H(ej)表示系统对特征序列ejn的响应特性,这也是H(ej)的物理意义所在，下面具体阐述。若系统输入信号X(n)=ejn,则系统输出信号为即,上式说明，单频复指数信号ejn通过频率响应函数为H(ej)的系统后，输出仍为单频复指数序列，其幅度放大|H(ej)|倍，相移为()。为了加深读者对H(ej)物理意义的理解，下面以大家熟悉的正弦信号为例进行讨论。当系统输入信号x(n)=cos(n)时，求系统的输出信号y(n):因为,由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号cos(n)的响应为同频正弦信号，其幅度放大|H(ej）|倍，相移增加()，这就是其名称“频率响应函数”、“幅频响应”和“相频响应”的物理含义。如果系统输入为一般的序列x(n)，则H(ej)对x(n)的不同的频率成分进行加权处理。对感兴趣的频段，取|H（ej)|=1，其他频段|H(ej)|=0,则Y(ej)=X(ej)H（ej),就实现了对输入信号的滤波处理。,因果（可实现）系统其单位脉冲响应h(n)一定是因果序列，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求,这里是 存在的条件,对照Z变换与傅里叶变换的关系可知，系统稳定的条件是H(z)的收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为r|z|0r1,用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,系统稳定,function stab(A)%stab:系统稳定性判定函数，A是 H(z)的分母多项式系数向量disp(系统极点为：)P=roots(A)%求H(z)的极点，并显示disp(系统极点模的最大值为：)M=max(abs(P)%求所有极点模的最大值，并显示if M1 disp(系统稳定),else,disp(系统不稳定),end,请注意，这里要求H(z)是正幂有理分式。给H(z)的分母多项式系数向量A赋值，调用该函数，求出并显示系统极点，极点模的最大值M，判断M值，如果M1,则显示“系统稳定”，否则显示“系统不稳定”。如果H(z)的分母多项式系数A=22.980.172.3418 1.5147，则调用该函数输出如下:P=0.90000.7000+0.6000i0.70000.6000i0.9900系统极点模的最大值为：M=0.9900系统稳定。,【例2.6.1】已知，分析其因果性和稳定性。解H(z)的极点为z=a,z=a1，如图2.5.5所示。（1）收敛域为a1|z|:对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(anan)u(n)（参考例2.5.7），这是一个因果序列，但不收敛。（2）收敛域为0|z|a:对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(anan)u(n1)（参考例2.5.7），这是一个非因果且不收敛的序列。,图2.6.1例2.6.1图示,（3）收敛域为a|z|a1:对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。下面分析如同例这样的系统的可实现性。H(z)的三种收敛域中，前两种系统不稳定，不能选用；最后一种收敛域，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。因此严格地讲，这样的系统是无法具体实现的。,但是我们利用数字系统或者说计算机的存储性质，可以近似实现第三种情况。方法是将图2.6.1(a)从N到N截取一段，再向右移，形成如图2.6.1(b)所示的h(n)序列，将h(n)作为具体实现的系统单位脉冲响应。N愈大，h(n)表示的系统愈接近h(n)系统。具体实现时，预先将h(n)存储起来，备运算时应用。这种非因果但稳定的系统的近似实现性，是数字信号处理技术比模拟信息处理技术优越的地方。说明：对一个实际的物理实现系统，其H(z)的收敛域是唯一的。,2.6.3利用系统的极零点分布分析系统的频率响应特性将(2.6.2)式因式分解，得到：式中，A=b0/a0,cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。,（）,在z平面上，ejcr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量表示，同样，ejdr用由极点指向ej点B的向量表示，如图2.6.2所示，即和分别称为零点向量和极点向量，将它们用极坐标表示：将和表示式代入(2.6.7)式，得到：,系统的频响特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式确定。当频率从0变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(2.6.8)式和(2.6.9)式，分别估算出系统的幅频特性和相频特性。例如图表示了具有一个零点和两个极点的频率特性。,图2.6.2频响的几何表示法,按照(2.6.8)式，知道零极点的分布后，可以很容易地确定零极点位置对系统特性的影响。当B点转到极点附近时，极点相量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点相量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为，系统不稳定。对于零点，情况相反，当B点转到零点附近时，零点相量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。总结以上结论：极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。,这种通过零极点位置分布分析系统频响的几何方法为我们提供了一个直观的概念，对于分析和设计系统是十分有用的。基于这种概念，可以用零极点累试法设计简单滤波器。下面介绍用MATLAB计算零、极点及频率响应曲线。首先介绍MATLAB工具箱中两个函数zplane和freqz的功能和调用格式。zplane绘制H(z)的零、极点图。,zplane(z,p)绘制出列向量z中的零点（以符号“”表示）和列向量p中的极点（以符号“”表示），同时画出参考单位圆，并在多阶零点和极点的右上角标出其阶数。如果z和p为矩阵，则zplane以不同的颜色分别绘出z和p各列中的零点和极点。zplane(B,A)绘制出系统函数H(z)的零极点图。其中B和A为系统函数H(z)=B(z)/A(z)的分子和分母多项式系数向量。假设系统函数H(z)用下式表示:,则B=B(1)B(2)B(3)B(M+1)，A=A(1)A(2)A(3)A(N+1)freqz计算数字滤波器H(z)的频率响应。H=freqz(B,A,w)计算由向量w指定的数字频率点上数字滤波器H(z)的频率响应H(ejw)，结果存于H向量中。B和A仍为H(z)的分子和分母多项式系数向量（同上）。H,w=freqz(B,A,M)计算出M个频率点上的频率响应，存放在H向量中，M个频率存放在向量w中。freqz函数自动将这M个频率点均匀设置在频率范围0,上。,H,w=freqz(B,A,M,whole)自动将M个频率点均匀设置在频率范围0,2上。当然，还可以由频率响应向量H得到各采样频点上的幅频响应函数和相频响应函数；再调用plot绘制其曲线图。|H(ej)|=abs(H)()=angle(H)式中，abs函数的功能是对复数求模，对实数求绝对值；angle函数的功能是求复数的相角。,freqz(B,A)自动选取512个频率点计算。不带输出向量的freqz函数将自动绘出固定格式的幅频响应和相频响应曲线。所谓固定格式,是指频率范围为0,，频率和相位是线性坐标，幅频响应为对数坐标。其他几种调用格式可用命令help查阅。,【例】已知H(z)=z1，分析其频率特性。解由H(z)=z1，可知极点为z=0，幅频特性|H(ej)|=1,相频特性()=，频响特性如图 所示。用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极点向量的长度始终为1。由该例可以得到结论：处于原点处的零点或极点，由于零点向量长度或者极点向量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的幅频响应特性,但对相频特性有贡献。,y(n)=x(n-1),图2.6.3H(z)=z1的频响特性,【例】设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n1)+x(n)用几何法分析其幅度特性。解由系统差分方程得到系统函数为式中，0b1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从=0逆时针旋转时，在=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在=点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布及幅度特性如图所示。,图2.6.4例2.6.3插图,N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图所示。当从0变化到2时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：k=(2/N)k,k=0,1,2,N1。一般将具有如图所示的幅调用zplane和freqz求解本例的程序ep264.m如下:,ep264.m:例求解程序 B=1 0 0 0 0 0 0 0 1;A=1;设置系统函数系数向量B和A subplot(2,2,1);zplane(B,A);绘制零极点图 H,w=freqz(B,A);计算频率响应 subplot(2,2,2);plot(w/pi,abs(H):绘制幅频响应曲线 xlabel(omegapi);ylabel(|H(ejomega)|);axis(0,1,0,2.5)subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(H);绘制相频响应曲线 xlabel(omegapi);ylabel(phi(omega);,运行上面的程序，绘制出8阶梳状滤波器的零极点图和幅频特性、相频特性如图所示。,图2.6.5梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性,图2.6.6全通滤波器一组零极点示意,这就证明了（2.6.12）式表示的H(z)具有全通滤波特性。下面分析全通滤波器的零点和极点的分布规律。设zk为H(z)的零点，按照（2.6.4）式，必然是H(z)的极点，记为，则pkzk=1，全通滤波器的极点和零点互为倒数关系。如果再考虑到D(z)和D(z1)的系数为实数，其极点、零点均以共轭对出现，这样，复数零点、复数极点必然以四个一组出现。例如，zk是H(z)的零点，则必有零点、极点、。对实数零极点，则以两个一组出现，且零点与极点互为倒数关系。零极点位置示意图如图 2.6.6所示。,显然，（）式中极点和零点互为共轭倒易关系。其全通特性的证明留作习题。应当注意，为了保证分子、分母多项式系数是实数，极点、零点分别以共轭对形式出现，当N=1时，零点、极点均为实数。全通滤波器是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡。如果要求设计一个线性相位滤波器，可以设计一个具有线性相位的FIR滤波器，也可以先设计一个满足幅频特性要求的IIR滤波器，再级联一个全通滤波器进行相位校正，使总的相位特性是线性的。,2.梳状滤波器 在前一节例中，曾提到具有如图所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器，显然，梳状滤波器起名于它的幅度特性形状。下面介绍一般梳状滤波器的构成方法。设滤波器的系统函数为H(z)，我们知道，如果其频率响应函数H(ej)以2为周期。将H(z)的变量z用zN代替，得到H(zN)，则相应的频率响应函数H(ejN)是以2/N为周期的，在区间0,2上有N个相同频率特性周期。利用这种性质，可以构成各种梳状滤波器。,例如，,零点为1，极点为a，所以H(z)表示一个高通滤波器。以zN代替H(z)的z，得到：当N=8时，零点为；极点为。H(zN)零极点分布和幅频响应特性绘制程序为fig267.m，其中a=0.2部分程序如下：,%图绘制程序：fig267.ma=0.2;B=1,0,0,0,0,0,0,0,-1;A=1,0,0,0,0,0,0,0,-a;subplot(2,2,1);zplane(B,A);title(a)零极点分布(a=0.2,N=8)Hk,w=freqz(B,A,1024);%计算频响特性(a=0.2，N=8)subplot(2,2,2);plot(w/pi,abs(Hk)/max(abs(Hk);xlabel(omega/pi);axis(0,1,0,1.5);title(b)幅频特性(a=0.2,N=8)a=0.9;B=1,0,0,0,0,0,0,0,-1;A=1,0,0,0,0,0,0,0,-a;以下程序与a=0.2时相同(省略)。,运行本书程序集程序fig267.m，绘制出当N=8,a=0.2和a=0.9时，H(zN)的零极点分布和幅频响应特性曲线如图所示。,图2.6.7梳状滤波器的零极点分布和幅频响应特性,梳状滤波器可滤除输入信号中的频率分量。这种滤波器可用于消除信号中的电网谐波干扰。由图2.6.7可见，a取值越接近1，幅频特性越平坦。将图2.6.7和图2.6.5比较，形状很相似，不同的是每一个梳状周期的形状不同。显然,图2.6.5对应的系统函数是由(1z1)中变量z用zN代替后得到的，用于消除电网谐波干扰时，特性不如 的滤波性能好。但图2.6.5对应的梳状滤波器适用于分离两路频谱等间隔交错分布的信号，例如，彩色电视接收机中用于进行亮色分离和色分离等。,3.最小相位系统一个因果稳定的时域离散线性非移变系统H(z)，其所有极点必须在单位圆内，但其零点可在z平面上任意位置，只要频响特性满足要求即可。如果因果稳定系统H(z)的所有零点都在单位圆内，则称之为“最小相位系统”，记为Hmin(z)；反之，如果所有零点都在单位圆外，则称之为“最大相位系统”，记为Hmax(z)；若单位圆内、外都有零点，则称之为“混合相位系统”。,最小相位系统在工程理论中较为重要。下面给出最小相位系统的几个重要特点。（1）任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成，即H(z)=Hmin(z)Hap(z)（）证明假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外，令该零点为z=1/z0,|z0|1，则H(z)可表示为,该特点说明了在滤波器优化中很有用的结论：将系统位于单位圆外的零（或极）点zk用代替时，不会影响系统的幅频响应特性。这一点在滤波器优化设计中已用到。在那里，将单位圆外的极点用其镜像代替，以确保滤波器因果稳定。该结论为我们提供了一种用非最小相位系统构造幅频特性相同的最小相位系统的方法：将非最小相位系统H(z)位于单位圆外的零点z0k用代替（k=1,2,m0;m0为单位圆外零点数目），即得最小相位系统Hmin(z),且Hmin(z)与H(z)的幅频响应特性相同。,（2）在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟（负的相位值）最小。由(2.6.16)式可知，任何一个非最小相位系统H(z)的相位函数，是一个与H(z)的幅频特性相同的最小相位系统Hmin(z)的相位函数加上一个全通系统Hap(z)的相位函数。可以证明全通系统Hap(z)的相位函数是非正的1，因此任意系统比最小相位系统多了一个负相位，这样使最小相位系统具有最小相位延迟的性质，或者从时域说，最小相位系统的时域响应波形延迟和能量延迟均最小。,（3）最小相位系统保证其逆系统存在。给定一个因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z)，定义其逆系统为当且仅当H(z)为最小相位系统时，HINV(z)才是因果稳定的（物理可实现的）。逆滤波在信号检测及解卷积中有重要应用。例如，信号检测中的信道均衡器实质上就是设计信道的近似逆滤波器。,习题与上机题1 设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：(1)x(nn0)(2)x*(n)(3)x(n)(4)x(n)*y(n)(5)x(n)y(n)(6)nx(n)(7)x(2n)(8)x2(n),（9）,2 已知求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。,3.线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ej)=|H(ej)|ej()，如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)=Acos(0n+)的稳态响应为4 设将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出x(n)和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。,5.设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成下列运算：（1）；（2）；（3）X(ej)；（4）确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序列xa(n)；,题5图,（5）；（6）。6 试求如下序列的傅里叶变换：,7 设：（1）x(n)是实偶函数，（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，其x(n)的傅里叶变换性质。8 设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。9 已知x(n)=anu(n),0a1，分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。,10 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。11 若序列h(n)是实因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部为求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。,12 设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n),0a1，输入序列为x(n)=(n)+2(n2)完成下面各题：(1)求出系统输出序列y(n)；(2)分别求出x(