数字仿真的实现.ppt

控制系统数字仿真与CAD控制系统数字仿真的实现,主要内容,计算机控制系统的数字仿真,控制系统的结构及其拓扑描述,面向系统结构的数字仿真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,控制系统的结构及其拓扑描述,控制系统常见的典型结构形式：,SISO,SISO feedforward,SISO feedback,MIMO,控制系统的结构及其拓扑描述,控制系统的典型环节：,比例环节,惯性环节,惯性比例环节,积分环节,积分比例环节,二阶振荡环节,高阶线性环节,控制系统的结构及其拓扑描述,控制系统的连接矩阵：,根据图中 u i、y i拓扑连接关系，可逐个写出每个环节输入u i 受哪些环节输出y i 的制约和影响。,控制系统的结构及其拓扑描述,控制系统的连接矩阵：,W 称为联接矩阵W0 称为输入联接矩阵u=u1，u2，,un y=y1，y2，,yn,仔细研究联接矩阵W，可从其元素值直接看出各环节之间联接情况。w i j=0,环节j不与环节i相连；w i j 0,环节j与环节i有连接关系；w i j 0,环节j与环节i直接相连(w i j=1)或通过比例系数相连(w i j为任意正实数)；w i j 0,环节j与环节i直接负反馈相连(w i j=1)或通过比例系数负反馈相连(w i j 为任意负实数)；特殊地：w i i 0,环节 i 单位自反馈(w i i=1或w i i=1)或通过比例系数自反馈(w i i 为任意实数)；,主要内容,计算机控制系统的数字仿真,控制系统的结构及其拓扑描述,面向系统结构的数字仿真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,面向系统结构的数字仿真,典型闭环系统的数字仿真：,控制系统最常见的典型闭环系统结构,系统的开环传递函数 G(s)，可按照能控标准型写出其开环状态方程：,面向系统结构的数字仿真,典型闭环系统的数字仿真：,控制量,由,再由：y=CX,其中：A b=A bVC,仿真模型一旦确立，就可以着手考虑求解与编程实现,知：f(t,X)=A b X+b r,为对应n个状态变量,面向系统结构的数字仿真,典型闭环系统的数字仿真：,最后，再由：,求得t k+1 时刻状态 X k+1，立即可得输出相应时刻值：y k+1=C X k+1,构成一个完整的仿真程序，必须至少建立：1.输入数据块2.初始化块3.运行计算块4.输出结果块,例4-1求图4-8所示系统的阶跃响应 y(t)数值解：,解：该系统结构形式为典型闭环控制系统，用sp4_1.m求解过程如下：取开环放大系数k=1，反馈系数 v=1(单位反馈系统)，阶跃输入幅值r=1；利用conv()卷积函数功能，先将系统开环传递函数G(s)化为 式(2 4)传递函数形式的分母、分子多项式系数向量：a 0,a 1,a n 和 b 0,b 1,bm；设系统状态向量初值 x1 0,x2 0,x n 0 均为零；系统运行参数n 0=4,t 0=0,t f=10,h 0=0.25；按以上步骤和参数，在MATLAB语言环境下，输入命令语句,面向系统结构的数字仿真,复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,复杂联接的闭环系统结构图计算机仿真的基本思路是：与实际系统的结构图相对应，在计算机程序中也应构出方便表示各实际环节的典型环节，并将环节之间的联接关系输入计算机，由计算机程序自动形成闭环状态方程，运用数值积分方法求解响应。,常见环节完全可用一个通用一阶环节,设：输入向量U=u 1,u 2,.,u n T；其中各分量表示各环节输入量 输出向量Y=y 1,y 2,.,y n T；各 分量表示各环节输出量。,模型参数阵：,复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,于是系统中所有环节输出、输入关系统一用矩阵表示如下：(A+B s)Y=(C+D s)U,各环节输入ui与输出yi有以下关系：,(4-6),复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,整理为矩阵形式：,U=W Y+W0 y0,其中：,将式(4-7)代入式(4-6)，则：(A+B s)Y=(C+D s)(W Y+W y0)整理，得：(B D W)sY=(C W A)Y+C W0 y0+D W0 s y0 简洁表达为：Q sY=R Y+V1 y0+V2 s y0 其中：Q=B D W R=C W A V1=C W0 V2=D W0 若Q 阵逆存在，则式(4-9)两边同时左乘Q 1，得：sY=Q 1 R Y+Q 1 V1 y0+Q 1 V 2 s y0 两边反拉氏变换，求得系统闭环状态方程时域表达式：,A b=Q 1 R;b 1=Q 1 V 1；b 2=Q 1 V 2 为闭环系统的系数阵和输入阵,(4-7),(4-9),(4-8),复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,建立该系统仿真模型中应注意两点：,保证Q 阵有逆。,去掉 项,仿真程序框图与实现,(1)系统参数输入方法,(2)联接矩阵输入方法,复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,程序框图,通常可按以下经验数据选择四阶龙格库塔法的定步长值：,为系统开环频率特性的剪切频率,或,t r 为系统阶跃响应的上升时间,ts为系统阶跃响应的调节时间（过渡过程时间）,h0的选取应小于系统中最小时间常数的两倍，即：h02,主要内容,计算机控制系统的数字仿真,控制系统的结构及其拓扑描述,面向系统结构的数字仿真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,设连续系统状态方程为,其中,为状态初始值.,则由现代控制理论基础知，状态变量X(t)的解为,其中：(t)为状态转移矩阵,当状态方程为线性定常时，(t)为矩阵指数形式：,或：e A t=L-1(s I A)1,于是：,连续系统状态解中，当 t=k T 时，上式成为,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,而 t=(k+1)T 时，可表为,所以：X(k+1)T)=(T)X(k T)+m(T)u(kT)是典型的离散系统一阶差分方程组。其中：(T)=e A T,为t=T 时的状态转移矩阵,X k+1=(T)X k+m(T)u k,数值求解递推公式：,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,若希望递推公式精度更高些，应该考虑到在两次采样时刻kT、(k+1)T 之间 u()一直在变化，用一阶保持器近似更为合理，如图,将 u()表为随 u k()变化的函数：u()=u(kT)+u k()而 u k()又可用下式近似表达：,于是代入式(4-11)中积分项重新推导,其中：,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,利用式(4-14)就可以编程进行对某连续系统的仿真运算了。事先应离线求取,(t)=e A t,再令阵中 t=T,立即得离散化矩阵(T)、m(T)、j(T),若已知连续系统状态方程各阵模型参数(A、B、C、D)以及采样周期T，则语句：F，G=c2d(A,B,T)返回的矩阵F、G 就是所要求的(T)、m(T)。如果考虑精度高一些的、输入加了一阶保持器的算法，则在求得F、G 后，再用一条组合语句：H=(inv(A)2)*(F eye(n)*B T*B；得到的矩阵H 就是所要求的j(T)。语句中所用的求取公式为：j(T)=A 2(T)I B TB,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,语句调用格式如下：Ad,Bd,Cd,Dd=c2dm(A,B,C,D,T,选项)；与其它转换方式类似地，语句：A,B=d2c(F,G,T)；A,B,C,D=d2cm(Ad,Bd,Cd,Dd，T,选项),典型环节状态方程的离散化,下面考虑如何把典型环节连续模型化为离散模型，使离散化仿真模型也能面向复杂连接系统的结构图,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,按离散化步骤，应有：,其中：,积分环节：,A=0，B=1，C=K，D=0,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,所以,状态与输出递推式为：,积分比例环节：,A=0，B=1，C=K，D=bK,由于A，B，C均与 相同，故(T)、m(T)、j(T)和 c 与 完全相同，相应状态方程也完全相同。,但因D0，只有d 不同，所以应注意输出方程成为：y k+1=x k+1+K b u k+1,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,离散化环节参数表,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,按环节离散化数字仿真程序与实现,典型环节数据输入后，首先判断A是否为0，即可分出、和、两组，这两组对应的状态方程离散化系数(T)、m(T)和j(T)求取方法各自相同，可以直接套用相同求解公式求取后存入相应单元。但由于对应输出方程各有不同，故又需判断D是否为0，从而对输出方程离散化系数c、d加以修正后，也存入相应单元。各环节离散化系数求得后，结果存入相应数组单元FI(I)、FIM(I)、FIJ(I)、FIC(I)以及FID(I)，其中：I表示环节序号。仿真运行时从各环节相应单元取出，分别求取各环节状态与输出即可。,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,求 t=(k+1)T 时刻的各环节状态 X k+1 的递推计算式中要用到 u k、,而求 t=(k+1)T 时刻的各环节输出Y k+1 的递推计算式中还要用到 u k+1,u k 可通过联接矩阵直接求得，即：Uk=W Yk+W 0 y 0,利用近似表达式求取,u k+1 利用上面已求得的Uk、,在一个步长h内按一阶保持近似关系求取。,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,非线性系统的数字仿真,饱和非线性,2.死区非线性,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,3.滞环非线性,4.继电非线性,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,非线性特征的判断,利用按环节离散化的仿真程序，在输入数据时，设立非线性标志向量：Z=z 1,z 2,z n,Z(i)=0 线性环节 Z(i)=1 线性环节前有饱和非线性，应修正U(i)Z(i)=2 线性环节前有死区非线性，应修正U(i)Z(i)=3 线性环节前有滞环非线性，应修正U(i)Z(i)=4 线性环节后有饱和非线性，应修正Y(i)Z(i)=5 线性环节后有死区非线性，应修正Y(i)Z(i)=6 线性环节后有滞环非线性，应修正Y(i),环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,程序功能扩展,1.求得uk 后，由 Z(i)判断各环节入口有否非线性。若有，则根据标志值确定类型，转相应处理程序，修正uk 值；2.求得yk+1 后，再由 Z(i)判断各环节出口有否非线性。若有，则根据标志值确定类型，转相应处理程序，修正yk+1 值；3.各种非线性特性按前节给出的程序，自定义为函数形式，以函数文件格式存储起来，由主程序在运行时调用。,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,例42控制系统如图429 所示,设输入阶跃函数幅值Y 0=10,滞环非线性参数s 4=1(滞环宽度)不考虑非线性环节影响时，求解y(t)的阶跃响应；考虑非线性环节影响，其余参数不变，求解y(t)并与线性情况所得结果比较。,解：先将环节编号标入图4-29 中；MATLAB命令窗口下(以下语句前符号“”即表示MATLAB命令窗口环境)，按编号依次将环节参数输入P阵,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,图430 例42控制系统输出y4响应曲线,按各环节相对位置和联接关系，有联接矩阵如下：,各环节初始值,由于不考虑非线性影响，则非线性标志向量和参数向量均应赋零值,输入运行参数；开环截止频率c 约为1，故计算步距h取经验公式值,运行sp4_4.m求解环节输出y4数值解数据和响应曲线,主要内容,计算机控制系统的数字仿真,控制系统的结构及其拓扑描述,面向系统结构的数字仿真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,计算机控制系统的数字仿真,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的数学描述：,对采样信号的描述Z变换法,设连续信号为x(t)，则在复频域可用拉氏变换描述为：X(s)=L x(t)当 x(t)经采样成为脉冲信号x*(t)后，由下式描述：,对其拉氏变换，得：,令：z=e T s则定义：,为 x(t)的Z变换函数，写作：X(z)=Z x(t),成为关于算子z的多项式形式，适用于描述采样信号 x*(t)在采样时刻t=kT 的变化情况。,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的数学描述：,采样时刻之间信号变化的描述扩展Z变换法,设控制对象传递函数为G(s)，其脉冲响应函数为g(t)，则按扩展Z变换定义有：G(z,)=Z g(kT+T)=Z G(s)eTs 0 1,由上式继续推导可得：G(z,m)=Z g(k+m)T T)=Z g(k T(1 m)T)=Z g(k T T)=Z g(t)e Ts 0 1,扩展Z变换的求取方法与普通Z变换相同，典型函数的扩展Z变换通过查表方式求取更为方便。一般情况可用极点留数法：,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的数学描述：,对离散(采样)信号相互作用的描述差分方程,差分方程的一般形式表述如下：y(k)+a1y(k-1)+any(k-n)=b0u(k)+b1u(k-1)+bmu(k-m)(nm),往往为求解方便，高阶差分方程也表为状态方程形式。单输入-单输出情况下，状态方程一般形式为：,两边求零初始条件下的Z变换，可得：Y(z)+a 1 z-1 Y(z)+a n z-n Y(z)=b 0 U(z)+b 1 z-1 U(z)+b m z-m U(z),(n m),计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的数学描述：,采样系统数学描述的相互转换,当采样系统分别表为：Z传递函数分子、分母系数向量形式：(numd,dend)=(b 0,b 1,b m,1,a 1,a n)零极点增益向量形式：(Zd,Pd,Kd)=(z d 1,z d m,p d 1,p d n,K d)部分分式向量形式：(Rd,Pd,hd)=(r d 1,r d n,p d 1,p d n,h d)还有离散状态方程各系数矩阵形式：(Ad,Bd,Cd,Dd),几种形式之间均可利用MATLAB语言控制系统工具箱中的数学模型转换函数tf2ss()、tf2zp()、ss2tf()、ss2zp()、zp2tf()、zp2ss()以及residue()等作相互转换,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的仿真方法：,差分方程递推求解法,已知：,，则：U(z)=D(z)E(z),当 D(z)形如：,很方便得到：(1+c1 z-1+c l z-l)U(z)=(d 0+d 1 z-1+d r z-r)E(z)Z反变换，并整理得到递推式：u k=-c 1 u k-1-c l u k-l+d 0 e k+d 1 e k-1+d r e k-r 相当于一个多步法递推算式，只要u k 和e k 的前若干步值已知，就可以递推得到 uk。,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的仿真方法：,同样，已知：,容易求出：,也能得到：yk=-a 1 y k-1-a n y k-n+b 0 u k+b 1 u k-1+b m u k-m 再考虑：e k=r k-y k就能按信号传递过程，从参考输入r k 开始，逐步求得各部分解e k、u k 和输出y k。,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的仿真方法：,连续部分按环节离散化方法,当系统连续部分较复杂时，不必去化简和求取G(z)，而按照连续系统环节离散化仿真方法，将连续部分中各环节离散化处理后，与采样部分一并考虑进行仿真。,连续部分各环节之间虚设采样开关和保持器，按环节离散化方法建立模型，应取数量级小于采样周期T较多的仿真步距h，才能很好地反映出连续系统在离散信号每隔周期T作用下，各环节在T内的细微变化,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的仿真方法：,控制器设计为连续系统环节D(s),样系统的控制器有时设计为连续系统环节形式，其传递函数为D(s)。但其发生作用又是每相隔一个采样周期 T才经采样开关传递给控制对象连续部分。在T时刻内，D(s)、G0(s)同时都在按照自己规律连续变化,对这类系统仿真，要顾及到两部分连续系统各环节D(s)、G0(s)各自的实际变化过程，对两部分都应正确地通过仿真得到准确的结果，并在每采样周期T到来时，将变化结果及时传递到相应环节去,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统仿真程序实现：,高阶差分方程的仿真程序,若采样系统直接给出输入输出闭环Z传递函数G B(z)形式，即：,相应差分方程：,y(k)+a1 y(k-1)+an y(k-n)=b0 u(k)+b1 u(k-1)+bm u(k-m),需求解一组高阶差分方程：,可见，以上算法最终都归结为求解高阶差分方程问题。在计算机上实现高阶差分方程的求解程序，应当注意以下问题：1.建立向量存储单元,保存和记忆输入u k、输出y k 前若干时刻的值u k-1,u k-m 和y k-1,y k-n。2.每运算一个时刻值后，要及时刷新和摒弃相应的存储单元内容。即：只保留u k 及其前m个时刻的数值，y k 及其前n个时刻的数值，因此，要安排相应的平移操作程序,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统仿真程序实现：,纯滞后环节的处理方法及仿真程序,采样控制系统中常见一些控制对象包含有滞后(延迟)环节。其数学模型：,即：y(t)=u(t-),将y(t)离散化成为 y(kT)，并将滞后时间 常数表为T的函数，则：=(M 1+M 2)T其中：M1为整数，M2为(0，1)之间的小数。于是：y(kT)=u kT-(M 1+M 2)T 简单地有：,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统仿真程序实现：,以下分两种情况讨论：,1.当M2=0时，滞后环节时间常数为采样周期T的整倍数，信号yk 滞后 uk 整 M1个节拍，这在仿真程序中很容易实现。,2.当M20时，滞后环节时间常数不为采样周期T的整倍数，仿真实现要复杂些。从表达式：y(k)=u k-(M1+M2)看出，y(k)应在 u(k)的前 M1 步值u(k-M1)和前 M1+1 步值 u k-(M1+1)之间,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统仿真程序实现：,扩展Z变换的处理方法及仿真程序,上例中，当M20时，实际上是在求 y(k)的采样时刻点之间的值，虽然用直线插补方法较简单，但精度相对差一些。前节所述的扩展Z变换方法在此也可用来解决滞后环节时间常数不为采样周期T整倍数的仿真问题。,由式(4-30)、式(4-31)知：,先看M2=0情况。此时=M1，显然可得：,而 M2 0 时，=M1+M2，且 0 M2 1,式(4-32)可写成为：,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统仿真程序实现：,相当于扩展Z变换中，滞后因子=M2情况，令 m=1=1 M2,则利用扩展Z变换式(4-26)、式(4-27)，有：G(z,m)=z 1 Z G(s)e m T s 其中：,采用留数法：,本章小结-1,控制系统结构形式有多种，用图论拓扑结构加以描述，会给控制系统计算机仿真带来极大方便。任何复杂联接结构的线性控制系统都是由一些简单的线性环节组合而成的。具有典型闭环结构形式的系统，“二次模型化”过程简单明了。可以很方便地编程实现数值积分法求解系统动态响应。复杂联接闭环结构形式的系统，是用一阶环节作为典型环节和联接矩阵得到系统结构仿真模型，过数值积分法求取各环节动态响应。但必须注意保证系 统仿真求解的基本条件。,本章小结-2,离散相似法可使仿真运算求解过程大为简化，能很方便地将常见非线性环节影响加以考虑，编程实现对含有典型非线性环节控制系统的仿真求解过程。离散相似法对计算步距h选取要求较严格。计算机控制系统特点是系统中具有不随时间连续变化的物理量。采样系统数学模型也可以应用MATLAB语言进行相互转换。对采样控制系统的仿真应根据采样控制系统的结构形式不同而选用相应方法。采样控制系统高阶差分方程的仿真求解步骤是“存入平移取出计算”。采样控制系统中含有纯滞后环节的仿真，可以根据纯滞后时间 是否为采样周期T的整倍数，对两采样时刻之间值采用直线插补运算求解，或扩展Z变换处理方式运算求解。,The end,