数列和函数极限的概念.ppt

,E-mail:,济南大学数学科学院,主讲教师,张长温,微 积 分,引言,（一）上大学学什么？（清华大学老师）,珍惜时光,三个方面,做人之道,治学之方,健身之术,学会向书本、老师、周围学,学会自学,尝试研究性的学习方法：,提出问题、研究问题、解决问题,注重持续性学习：,有计划地安排学习,（二）学数学学什麽？,数学的基本特征,抽象性,演绎性,广泛性,（研究对象）,（论证方法）,（应用）,假设,结论,logic,理性思维,微积分基本内容简介,微积分,微分,极限,积分,一元函数极限，二元函数极限,一元函数积分，二元函数积分,连续,导数,一元函数连续，二元函数连续,一元函数导数，二元函数偏导数,级数，微分方程,推荐参考书：,同济大学编高等数学（第六版）（上、下）高等教育出版社,几个新概念,第一章 函数,1 集合的笛卡尔乘积,特例:,为平面上的全体点集.,定义 设有数集A 与 B.对任意的,所有,二元有序数组(x,y)所构成的集合,称为集合A 与 B 的笛,卡尔乘积，,即,2 邻域的概念,数集,邻域，,点x0 的左 邻域:,点x0 的右 邻域:,3 函数的有界性,使,称,为D 上的有界,定义 设函数 f(x)定义在 集合 D 上，如果对于,函数.否则，称函数 f(x)在集合 D 上无界.,说明:还可定义函数 f(x)在集合 D 上有上界、有下界,若函数 f(x)在集合 D 上是有界函数，,也称函数,f(x)在集合 D 上是有界的,例如 函数 sin x,cos x 在其定义域内有界.,函数 y=x 在其定义域内无界.,如果存在一个实数 M，对每一个,都有,则称函数 f(x)在集合 D 上有上界.,如果存在一个实数 N，对每一个,都有,则称函数 f(x)在集合 D 上有下界.,如果函数 f(x)在集合 D 上即有上界又有下界，则,f(x)在集合 D 上有界.,无界函数的定义,如果对任意的正实数 M，总存在,使得,例如函数,但是，,4 反函数,在函数定义中，要求函数是单值的，即,如果,则在定义域D与值域 f(D)之间就有如下关系：,这是一个由 f(D)到D之间的新的对应关系：,称为函数,的反函数，,记作,由定义可以知道：,反函数 的定义域是函数 f 的,值域 f(D)；,函数 的值域是函数 f 的定义域 D.,例如函数,由于,严格单调，,有反函数.,再例如函数,严格单调，,有反函数.,习惯上,记,5 隐函数,因变量 y 是自变量 x 的函数，但 y 不能用x 的一,个数学表达式表示出来.这样的函数称为隐函数.,隐函数一般由方程 F(x,y)=0 确定.,也就是已知,y 是 x 的函数，,且 y 和 x 的关系满足方程F(x,y)=0.,数学表达式表示出来.这样的函数称为显函数.,因变量 y 是自变量 x 的函数，且 y 能用x 的一个,例如 y是 x 的函数且 y 和 x 的关系由方程,确定的函数.,6 初等函数,(1)基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数.,常数、,(2)初等函数,由基本初等函数,否则称为非初等函数.,例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤,所构成,称为初等函数.,可表为,故为初等函数.,非初等函数举例,符号函数,当 x 0,当 x=0,当 x 0,取整函数,当,注意：,二、收敛数列的性质,三、极限存在准则,一、数列极限的定义,数列极限的内容：,第二章 极限与连续,1）极限内容：,数列的极限、,函数的极限.,一、数列（无穷数列）的极限的定义,首先看下面几个例子：,例如,趋势不定,收 敛,发 散,数列极限的描述性定义：,定义 对于数列，,如果当n无限增大时，数列,趋近于一个确定的常数 A，,时，数列,则称当n 趋于无穷大,以 A 为极限，记作,亦称数列 收敛于；,是发散的,如果数列 没有极限，,就称,数列极限就是当n无限增大时，数列的变化趋势.,趋于一个常数 A的含义：,与常数 A“无限接近”.,数列极限的严格数学定义（定义）,定义,如果对于任意给定的正数,总存在一个正,整数 N（或者），,恒成立，,的极限为,则称当n 趋于无穷大时，数列,A,记作,亦称数列 收敛于；,是发散的,如果数列 没有极限，,就称,当 n N 时,总有,即,几何解释:,例1.设,证明等比数列,的极限为 0.即,（常用结论.记住！）,注意：,二、收敛数列的性质,1.收敛数列的极限唯一.,2.收敛数列一定有界.,即如果,则一定,存在一个正数,使得对所有的n，,成立.,3.收敛数列的局部保号性.,即如果,则一定存在一个正整数 N，使得当,C 为常数.,三、极限存在准则,1.两边夹法则;2.单调有界法则.,1.两边夹法则(准则1),例.证明,证:利用两边夹法则.,由,后面可以知道，,2.单调有界数列必有极限(准则2).,即单调增有上界，或者单调减有下界的数列一定收敛.,二、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,函数的极限,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,例 考虑函数，当x 趋于无穷大,时的变化趋势.,容易看出：当x 趋于无限增大或无限,减小时，函数无限接近0.,事实上，0 就是当x 趋于无限增大或无限减小时，,函数的极限.,自变量趋于无穷时函数极限的直观定义,定义,对于函数 f(x)，,当自变量 x 趋于无穷大时，,函数 f(x)和某常数 A 无限接近，,则称函数 f(x)以常数 A,为极限，,记做,两种特殊情况:,简单的常用结论,二、自变量趋于有限值时函数的极限,引例1 考虑函数 当 时的极限.,容易看出：,当x 趋于1时，,y=f(x)趋于2.,引例2 考虑函数,当 时的极限.,y=f(x)也趋于2.,当x 趋于1时，,所以，研究函数在某一点的极限与该函数在这一点,是否有定义无关.,函数在某点极限的描述性定义,定义 设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域(点 x0 本,亦称当x 趋于x0 时，函数 f(x)的极限存在.否则称当,身可以除外)内有定义，如果当x 趋于x0时，函数 y=,f(x)和某常数 A无限接近,以常数 A 为极限记作,x 趋于x0时，函数 f(x)的极限不存在,则称当x 趋于x0 时 f(x),简单的常用结论,函数极限的性质,定理1.若,则A 唯一.（唯一性）,定理2.若,且 A 0,则存在,(A 0)，,点x0 的空心邻域,（局部保号性）,定理 3.若,则存在点 x0 的空心邻域,以及正数 M 0,（局部有界性）,且,则,定理 4.若在 x0 的某空心邻域内,思考:若定理 2 中的条件改为,是否必有,不能!,如,三、左极限与右极限,类似地可定义左极限:,定义 设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域(点 x0 本,身可以除外)内有定义，,函数 y=f(x)和某常数 A无限接近,以常数 A 为右极限记作,则称函数 f(x),如果当x 从x0的右侧趋于x0时，,定理（极限存在定理）,的充要条件是,注：本定理主要用在分段函数分段点处极限的求解.,例1.研究当 时函数 的极限,解,由极限存在定理可得,注意下列结论：,若函数 f(x)在点 x0 有极限，则,反之，则不一定成立！,例如符号函数在点 x=0 处.,有极限,且为 f(x)在点 x0 极限的绝对值，,在点 x0 一定,例2 设函数,解:利用极限存在定理，,因为,显然,所以,不存在.,无穷大量与无穷小量,二、无穷大量,三、无穷小量与无穷大量的关系,一、无穷小量,定义1.若,或,则称函数 f(x),为,时的无穷小量.,当,例如,函数 x-1当,时的无穷小量,函数,时为无穷小量;,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小量!,类似地对于数列也可以定义无穷小量,定理.(无穷小量与函数极限的关系),其中,为 时的无穷小量.,（若函数在某点的极限存在，,则该函数等于它的极限加上一个无穷小量.）,的充分必要条件为,定理 无穷小量与局部有界函数的乘积还是无穷小,量.,例如,注意：,都不存在.,无穷大量,定义2.无穷小量的倒数为无穷大量.,当,时为无穷大量,记作,或,则称函数,即如果,或,注意：无穷大量是极限不存在的函数.,都是无穷小量,引例.,但是,可见无穷小量趋于 0 的速度是多样的.,无穷小量的阶就是研究无穷小量趋于0的快慢.,无穷小量的阶,设,定义.,是自变量 时的无穷小量,若,则称 是比 较高阶的无穷小量,记作,若,若,或,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,极限的运算,一、函数极限的运算法则(数列极限有类似的法则),定理,则有,推论1,(C 为常数),其中g(x),B 不为零.,推论2,(n 为正整数),(以后可以证明：n为实数时，推论2也成立),(2),(3)可以推广到有限个和，积的情况.,仍然成立.,说明：可以证明以上函数极限运算法则对于,补例1.设 n 次多项式函数,试证,证:,其中,都是多项式,若,试证:,证:,说明:若,不能直接用商的运算法则.,补例2.设有分式函数,例1 求,解:x=1 时,分母=0,分子0,但因,例2 求,例3 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,原式,为非负常数),一般有如下结果：,数列极限的一般有如下结果：,为非负常数),例4 求,解:,时,分子,分母,分子分母同除以,则,原式,例5 求,解:,例6求,解,例7已知,求,解,所以,解:,时,分子,分母,例8 求,分子分母同除以,则,原式,例9 求,解,（课本91页11题9）,例10 求,解,（课本91页11题17）,例11 求,（课本92页11题19）,解,例12 求（课本92页11题20，21）,(提示：分子分母同时有理化.),例13 求,解,（课本92页11题28）,有界,例14 求,（课本92页11题30）,解,例15,例16,（课本93页18题）,解,由已知上式极限为零，,故分子的次数低于分母的次数.,所以，,例17,（课本92页11题23）,解,例18 求,解,（课本92页11题29）,例19,（课本93页17题）,解,例20,（课本91页11题15）,解,三、复合函数的极限运算法则,定理 设函数,是由函数,与函数,复合而成，,在点 x0 的某空心邻域,内有定义，且,且 x 满足,时,则有,说明:1 若定理中,则类似可得,2 定理表示，如果函数,满足,定理的条件，做代换,可把求,化为求,解 1 令,已知,原式=,例1 求,2,例2 求,原式=,解法1,解法 2,令,则,原式=,解:,令,则,例3.试确定常数a 使得,是多项式,且,求,例4 设函数,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式，得,可见,故,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,问,