数值计算方法(第2章).ppt
第2章 非线性方程与方程组的数值解法,本章重点介绍求解非线性方程 的几种常见和有效的数值方法,同时也对非线性方程组 求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.,例2.1.将一半径为r,密度为1的球浸入水中,求球体没入水中的高度.解:,2.1二分法,求非线性方程,确定方程的有根区间 计算根的近似值,的根的方法,分为两步：,首先确定有限区间：依据零点定理。设，且，则方程 在区间 上至少有一个根。如果 在 上恒正或恒负，则此根唯一。,二分法,用二分法(将区间对平分)求解。令 若，则 为有根区间，否则 为有根区间 记新的有根区间为，则 且,对 重复上述做法得且,设 所求的根为，则 即 取 为 的近似解,求方程f(x)=0的根的二分法算法,例题,例2 设方程,等步长扫描法求有根区间,用计算机求有根区间：等步长扫描法。设h0是给定的步长，取，若 则扫描成功；否则令，继续上述方法，直到成功。如果 则扫描失败。再将h 缩小，继续以上步骤。,等步长扫描算法,算法：（求方程 的有根区间）(1)输入；(2)；(3)，若 输出失败信息，停机。(4)若。输出，已算出方程的一个根，停机。,(5)若。输出 为有根区间，停机(6)，转 3）注：如果对足够小的步长h扫描失败。说明：在 内无根在 内有偶重根,例题,例1 设方程 解：取h=0.1,扫描得：又 即 在 有唯一根。,h=0.1,a=1,a=1.3,b=1.4,a=1.3,b=1.35.a=1.3,b=1.325,a=1.3,b=1.3125,a=1.3125,b=1.325,2.2一般迭代法,2.2.1 迭代法及收敛性 对于 有时可以写成 形式 如：,迭代法及收敛性,考察方程。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值，代入 中的右端得到，再以 为一个猜测值，代入 的右端得 反复迭代得,迭代法及收敛性,若 收敛，即 则得 是 的一个根,例题,例2 设方程,该方法比二分法快!,迭代法的几何意义,交点的横坐标,y=x,简单迭代法,将 变为另一种等价形式。选取 的某一近似值，则按递推关系 产生的迭代序列。这种方法算为简单迭代法。,例题,例2.2.1 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。解：由 建立迭代关系 k=10,1,2,3.计算结果如下:,例题,精确到小数点后五位,例题,但如果由 建立迭代公式 仍取，则有，显然结果越来越大，是发散序列,迭代法的收敛性,定理（压缩映像原理）设迭代函数 在闭区间 上满足（1）（2）满足Lipschitz条件即 有且。,压缩映像原理,则 在 上存在 唯一解，且对，由 产生的序列 收敛于。并且有误差估计式:,压缩映像原理,证明：不失一般性,不妨设 否则 为方程的根。首先证明根的存在性 令,压缩映像原理,则，即 由条件2）是 上的连续函数 是 上的连续函数。故由零点定理 在 上至少有一根,压缩映像原理,再证根的唯一性 设有 均为方程的根 则 因为 0L1，所以只可能，即根是唯一的。,压缩映像原理,最后证迭代序列的收敛性 与n 无关，而0L1 即,压缩映像原理,误差估计 若 满足定理条件，则 这是事后估计，也就是停机标准。L越小，收敛速度越快。这是事前估计。选取n，预先估计迭代次数。,例题,例 证明函数 在区间1，2上满足迭代收敛条件。证明：,例题,例题,若取迭代函数，不满足压缩映像原理，故不能肯定 收敛到方程的根。,简单迭代收敛情况的几何解释,压缩映像原理推论,推论设迭代函数 在闭区间 上满足,定理设迭代函数 在 上连续可微,2.2.2 Steffensen加速收敛法,迭代法收敛的阶 定义 设序列 收敛到，若有实数 和非零常数C，使得 其中，则称该序列是p 阶收敛的，C 称为渐进误差常数。,迭代法收敛的阶,当p=1时，称为线性收敛(01时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。,迭代法收敛的阶,定理2.2.2 设 是方程 的不动点，若为足够小的正数。如果 且，则从任意 出发，由 产生的序列 收敛到，当 时敛速是线性的。,迭代法收敛的阶,证明：满足压缩映像原理,迭代法收敛的阶,敛速是线性的 线性收敛到。,Steffensen迭代格式,由线性收敛知 当n充分大时有 即,Steffensen迭代格式,展开有：,Steffensen迭代格式,已知，则，改成,n=0，1，2，,Steffensen迭代格式,也可以改写成其中迭代函数,Steffensen迭代法收敛的充要条件,定理2.2.3,Steffensen迭代法收敛的充要条件,证明：必要性,Steffensen迭代法收敛的充要条件,充分性,Steffensen算法的收敛速度,Steffensen算法的收敛速度,定理2.2.5 在定理假设下，若 产生的序列 至少平方收敛到。,Steffensen算法的收敛速度,Steffensen算法的收敛速度,Steffensen算法的收敛速度,Steffensen算法的收敛速度,由定理知 至少以平方速度收敛到。也就是说：简单迭代法是线性收敛；Steffensen迭代至少平方以上收敛（加速收敛）。,例题,例试用Steffensen算法求解方程解法一、取，由,n=0，1，2，,例题,取初值，计算结果如下：,例题,解法二、取，由对于该迭代函数在一般迭代法中是发散的，而Steffensen格式却是收敛的。,n=0，1，2，,例题,取初值，计算结果如下：,Steffensen迭代格式几何解释,Steffensen迭代算法,Steffensen迭代算法,2.2.2 Steffensen加速收敛法,迭代法收敛的阶 定义 设序列 收敛到，若有实数 和非零常数C，使得 其中，则称该序列是p 阶收敛的，C 称为渐进误差常数。,迭代法收敛的阶,当p=1时，称为线性收敛(01时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。,2.3 Newton迭代法,设x*是方程f(x)=0的根，又x0 为x*附近的一个值，将f(x)在x0附近做泰勒展式 令，则,Newton迭代法,去掉 的二次项，有：即以x1代替x0重复以上的过程，继续下去得：,Newton迭代法,以此产生的序列Xn得到f(x)=0的近似解，称为Newton法，又叫切线法。,Newton迭代法几何解释,几何意义,Newton迭代法收敛性,定理2.3.1 设函数，且满足 若初值 时，由Newton法产生的序列收敛到 在上的唯一根,并且收敛阶至少为2,。,证明迭代序列的收敛性,例题,例2.3.1 用Newton法求 的近似解。解：由零点定理。,例2.3.2 用Newton法计算。解：,例2.3.3 用Newton法求 的近似解。解：由零点定理。,N=4时小数点后14位无变化,x4为近似解,Newton迭代法算法框图,Newton迭代法算法,Newton迭代法收敛性,定理2.3.2 设函数，且满足 若初值 满足 时，由Newton法产生的序列收敛到 在a,b上的唯一根。,Newton迭代法收敛性,证明：根的存在性根的唯一性,Newton迭代法收敛性,收敛性,Newton迭代法收敛性,Newton迭代法收敛性,Newton迭代法收敛性,推论 在定理条件下，Newton迭代法具有平方收敛速度。,简化Newton迭代法,用x0点的导数替换x点的导数,以此产生的序列Xn得到f(x)=0的近似解，称为简化Newton法。,简化Newton迭代法,X2 x1 x0,简化Newton迭代法,用常数c替换x点的导数,以此产生的序列Xn得到f(x)=0的近似解，称为推广简化Newton法。,简化Newton迭代法,下山Newton迭代法,称为下山Newton法，通常选。直到,下山Newton迭代法,例2.3.3 用下山Newton法，求,弦割法,Newton迭代法有一个较强的要求是 且存在。因此，用弦的斜率 近似的替代。,弦割法,令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2,弦割法,弦截法的几何解释,定理2.3.3 设函数，且满足 则存在,当 时，,定理2.3.4 设函数，且满足 若初值,满足 时，由弦割法法产生的序列收敛到 在a,b上的唯一根。,例题,例2.4.4 用弦割法求方程在区间（1，2）内的实根。解：取x0=1,x1=2,代入公式计算结果,如表所示。,例2.3.5 用Newton法求 的近似解。解：由零点定理。,其中,x1由Newton法算出,N=7时小数点后14位无变化,x4为近似解,求解方程f(x)=0的弦割法,
