数值分析第9章常微分方程数值解法.ppt

第十章,常微分方程数值解法,（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations）,问题驱动：蝴蝶效应,洛伦兹吸引子(Lorenz attractor)是由MIT大学的气象学家Edward Lorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象蝴蝶效应。,图蝴蝶效应示意图,洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：,该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦兹借助于这个模型，将大气流体运动的强度x与水平和垂直方向的温度变化y和z联系了起来。参数,称为普兰特数，,是规范,化的瑞利数，,和几何形状相关。洛伦兹方程是非线性方程组，,无法求出解析解，必须使用数值方法求解上述微分方程组。洛伦兹用数值解绘制结果图，并发现了混沌现象。,1 引 言,微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。许多著名的数学家，如 Bernoulli（家族），Euler、Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循历史传统，研究重要的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的求解。作为科学史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常微分方程的近似计算得到的。本章主要介绍常微分方程数值解的若干方法。,一、初值问题的数值解法,1、一阶常微分方程初值问题的一般形式,常微分方程的数值解法分为（1）初值问题的数值解法（2）边值问题的数值解法,(2)一般构造方法：离散点函数值集合+线性组合结构 近似公式,2.迭代格式的构造,(1)构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程组加以求解。由于离散化的出发点不同，产生出各种不同的数值方法。基本方法有：有限差分法（数值微分）、有限体积法（数值积分）、有限元法（函数插值）等等。,(3)如何保证迭代公式的稳定性与收敛性?,3.微分方程的数值解法需要解决的主要问题,(1)如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的迭代公式？,(2)如何估计迭代公式的局部截断误差与整体误差？,称 在区域D上对 满足Lipschitz条件是指:,记,4、相关定义,二、初值问题解的存在唯一性,考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-Value Problem*/:,则上述IVP存在唯一解。,只要 在 上连续,且关于 y 满足 Lipschitz 条件，,即存在与 无关的常数 L 使,对任意定义在 上的 都成立，,求函数 y(x)在一系列节点 a=x0 x1 xn=b 处的近似值 的方法称为微分方程的数值解法。,称节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi=h(常数)。,称为微分方程的数值解。,三、初值问题的离散化方法,离散化方法的基本特点是依照某一递推公式，,值,取。,按节点从左至右的顺序依次求出 的近似,如果计算 需用到前r步的值,则称这类方法为r步方法。,2 欧拉方法/*Eulers Method*/,欧拉公式(单步显示公式）：,向前差商近似导数,亦称为欧拉折线法/*Eulers polygonal arc method*/,在假设 yi=y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri=y(xi+1)yi+1 称为局部截断误差/*local truncation error*/。,定义,若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。,定义,欧拉法的局部截断误差：,Ri 的主项/*leading term*/,欧拉法具有 1 阶精度。,例1:用欧拉公式求解初值问题,取步长。,解:应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：,其中。,计算结果列于下表：,可用来检验近似解的准确程度。,进行计算，数值解已达到了一定的精度。,这个初值问题的准确解为，,从上表最后一列，我们看到取步长,欧拉公式的改进：,隐式欧拉法/*implicit Euler method*/,向后差商近似导数,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。,梯形公式/*trapezoid formula*/,显、隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差，,即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。,但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到,迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,中点欧拉公式/*midpoint formula*/,中心差商近似导数,假设,则可以导出即中点公式具有 2 阶精度。,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,Cant you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages?,Do you think it possible?,Well,call me greedy,OK,lets make it possible.,改进欧拉法/*modified Eulers method*/,Step 1:先用显式欧拉公式作预测，算出,注:此法亦称为预测-校正法/*predictor-corrector method*/,可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它,是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程,简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,改进的欧拉法,在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合，计算公式为,应用改进欧拉法,如果序列 收敛,它的极限便满足方程,改进欧拉法的截断误差,因此，改进欧拉法公式具有 2 阶精度,例2:,用改进Euler公式求解例1中的初值问题，,取步长。,解：对此初值问题采用改进Euler公式，其具体形式为,计算结果列于下表：,改进的Euler法,Euler法,通过计算结果得比较可以看出，改进的Euler方法,的计算精度比Euler方法要高。,3 龙格-库塔法/*Runge-Kutta Method*/,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，,欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,以某一斜率沿直线达到 点。,考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,斜率一定取K1 K2 的平均值吗？,步长一定是一个h 吗？,首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得,Step 1:将 K2 在(xi,yi)点作 Taylor 展开,Step 2:将 K2 代入第1式，得到,Step 3:将 yi+1 与 y(xi+1)在 xi 点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有 个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和 ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,考虑一阶常微分方程初值问题,将区域a,b进行分划：,若,则,n级显式Runge-Kutta方法,二阶Runge-Kutta方法,取n=2,记,由此得,另一方面,为使局部截断误差为,应取,改进的Euler方法,取,中点方法,取,二阶Heun方法,取,二级Runge-Kutta方法不超过二阶,记,则,因此局部截断误差只能达到,三级Runge-Kutta方法,取n=3,记,又由于,因此要使局部截断误差为，必须,Kutta方法,取,三阶Heun方法,取,三级Runge-Kutta方法不超过三阶,完全类似于二级Runge-Kutta方法的分析,只能达到,三级Runge-Kutta方法的局部截断误差,将 和 都展开到 项,易证,四级R-K方法,取n=4,局部截断误差为O(h5),四阶经典龙格-库塔法/*Classical Runge-Kutta Method*/：,附注：,二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,注：龙格-库塔法的主要运算在于计算 的值，即计算 的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精,太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。,度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不,4 单步方法的收敛性与稳定性/*Convergency and Stability*/,收敛性/*Convergency*/,例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的 x=xi=i h，有,稳定性/*Stability*/,例：考察初值问题 在区间0,0.5上的解.分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.00002.0000 4.00008.0000 1.6000101 3.2000101,1.00002.5000101 6.25001021.56251023.90631039.7656104,1.00002.50006.25001.56261013.90631019.7656101,1.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107,What is wrong?!,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程/*test equation*/,常数，可以是复数,我们称算法A 比算法B 稳定，就是指 A 的绝对稳定区域比 B 的大。,当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设只在,初值产生误差，则若此误差以后逐步衰减,就称该算法相对于 绝对稳定，的全体构成,绝对稳定区域。,例：考察显式欧拉法,由此可见，要保证初始误差0 以后逐步衰减，必须满足：,例：考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,例：隐式龙格-库塔法,其中2阶方法 的绝对稳定区域为,无条件稳定,而显式 1 4 阶方法的绝对稳定区域为,