数值分析第8讲正交多项式.ppt
数值分析,Numerical Analysis,河北理工大学HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY,第三章,函数逼近,函 数 逼 近,函数逼近的基本概念,1,正交函数系的性质,正交多项式的构造,函数的最佳平方逼近,正交多项式的基本概念,第1节 函数逼近的基本概念,函数逼近,（足够的小）,N维空间,N+1维空间,定理1,Weierstrass,范数与赋范空间,内积与内积空间,N维数量空间内积,推而广之,内积空间常用的范数为：,内积空间的重要结论,定理2,Cauchy-Schwarz不等式,特别地,定理3,Gram矩阵,第2节 正交多项式,定义6.2,一、正交多项式的概念,三角函数系：,正交性：,回忆傅氏级数的结论,区间a,b上关于权函数的正交函数系必定线性无关,证明,证毕,定理6.2,二、正交多项式的性质,证明：,定理6.3,证毕,三、正交多项式系的主要特征,四、正交多项式系的构造,Clearx,ff0=1;fk_:=xk-Sum(Integratexk*fi,x,0,1)/(Integratefi2,x,0,1)*fi,i,0,k-1Tablefk,k,0,6/N;Expand%/N;MatrixForm%Fi_,j_:=Integratefifj,x,0,1TableFi,j,i,0,6,j,0,6;MatrixForm%,程序设计,请同学们写出,正交性验证：,请同学们写出,及其结构特点,五、勒让德(Legendre)正交多项式,请同学们写出,3.23切夫多项式,六、切比雪夫(Chebyshev)正交多项式,及其结构特点,请同学们写出,七、拉盖尔（Laguerre）正交多项式,第3节 函数的最佳平方逼近,为定义在a,b上的一组线性无关的连续函数。,如果函数,使得,一、最佳平方逼近的概念,设函数f(x)在区间a,b上连续，,特别地,二、最佳平方逼近函数的求解,根据多元函数取极值的必要条件得：,注意,Clearg,f,Gfx_:=？gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1GFi_:=Integratefxgi,x,0,1A=TableGi,j,i,0,n,j,0,n;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,n;MatrixForm%LinearSolveA,b/NF=%.Tablegi,i,0,n,程序设计,求 在0,1上的一次最佳平方逼近多项式,【解】,正规方程组为,所以 在0,1上的一次最佳平方逼近多项式为,注 意,若用正交多项式，正则方程组较简单,求 在0,1上的二次最佳平方逼近多项式,首先构造正交多项式,【解】,Clearg,f,G,Ffx_:=SinPi*x;gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,0,1)/(Integrategi2,x,0,1)*gi,i,0,k-1Tablegk,k,0,2;MatrixFormExpand%Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1TableGi,j,i,0,2,j,0,2;MatrixForm%GFi_:=Integratefxgi,x,0,1Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,2;Fn/N;Expand%,程序设计,求,利用已知的正交多项式系,Legendre多项式是-1,1上正交多项式系,【解】,正规方程组的解为：,Clearg,f,Gfx_:=Expx;gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,-1,1GFi_:=Integratefxgi,x,-1,1A=TableGi,j,i,0,3,j,0,3;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,3;MatrixForm%LinearSolveA,b/N;F=%.Tablegi,i,0,3,程序设计,Clearg,f,G,Ffx_:=Expx;gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,-1,1)/(Integrategi2,x,-1,1)*gi,i,0,k-1Tablegk,k,0,3;MatrixFormExpand%Gi_,j_:=Integrategigj,x,-1,1TableGi,j,i,0,3,j,0,3;MatrixForm%GFi_:=Integratefxgi,x,-1,1Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,3;Fn/N;Expand%,程序设计,OK!Thats the end!,程序设计,Clearg,f,G,Ffx_:=SinPi*x;gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,0,1)/(Integrategi2,x,0,1)*gi,i,0,k-1Tablegk,k,0,2;MatrixFormExpand%Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1TableGi,j,i,0,2,j,0,2;MatrixForm%GFi_:=Integratefxgi,x,0,1Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,2;Fn/N;Expand%,程序设计,Clearg,f,Gfx_:=Sqrtx;gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1GFi_:=Integratefxgi,x,0,1A=TableGi,j,i,0,2,j,0,2;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,2;MatrixForm%LinearSolveA,b/N;F=%.Tablegi,i,0,2,程序设计,Clearg,f,Gfx_:=CosPi*x;gn_:=xn;Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1GFi_:=Integratefxgi,x,0,1A=TableGi,j,i,0,1,j,0,1;MatrixForm%b=TableGFi,i,0,1;MatrixForm%LinearSolveA,b/NF=%.Tablegi,i,0,1,程序设计,
