教案1 向量与空间平面.ppt
【授课时数】总时数：4学时.,【学习目标】1、知道空间直角坐标系、向量、平面方程的概念；2、会进行向量的坐标表示，向量的运算（线形运算、数量积、向量积和混合积）；3、会求平面方程、平面与平面、点到平面的距离，会判断平面与平面之间的位置关系（平行、垂直）,【重、难点】重点：向量概念，向量坐标表示及其运算，向量的数量积与向量积，平面的点法式方程 难点：两向量的向量积，平面与平面的位置关系，由实例讲解方法,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,一、空间直角坐标系,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,二、空间两点间的距离,特殊地：若两点分别为,解,原结论成立.,解,设P点坐标为,所求点为,空间直角坐标系,空间两点间距离公式,（注意它与平面直角坐标系的区别）,（轴、面、卦限）,小结,填空题,练习题,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,三、向量,或,或,或,1.概念,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,空间直角坐标系中任一点M与原点,构成的向量.,1 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,2.向量的加减法,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,3.向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,定理,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,例3 化简,解,例4 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,4.低阶行列式,（按列（或行）展开）,1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,2.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,(对角线法则),注意：,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,例如,性质3 如果行列式有两行（列）完全相同，则,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,此行列式为零.,性质4 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘,性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，,以同一数k，等于用数k乘此行列式.,则此行列式为零,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一,例如,数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,性质7上三角行列式等于对角线上元素的乘积,例如,解一,解二,5.向量的坐标,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,按基本单位向量的坐标分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标：,向量的坐标表达式：,特殊地：,方向角的定义 非零向量与三条坐标轴正向的夹角,向量 的与三条坐标轴的方向角为,6.向量的模与方向余弦的坐标表示式,方向角的范围：,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量模长的坐标表示式,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,解,思考题,思考题解答,对角线的长为,启示,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,定义,7.两向量的内积(数量积或点积),结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,关于数量积的说明:,内积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（3）分配律：,（2）数因子的结合律：,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,解,证,8.两向量的外积(向量积或叉积),定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,设,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,外积的几何意义:,例如，,外积符合下列运算规律：,（1）反交换律：,（3）分配律：,（2）关于数因子的结合律：,解,解,三角形ABC的面积为,设,上式为混合积的坐标表达式,9.向量的混合积,解,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,解,上式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条件）,小结,思考题,思考题解答,练习题,平行四边形的面积,零向量,零向量,垂直,平行,如果一非零向量垂直于一平面，那么这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,四、平面及其方程,1.平面的点法式方程,上式称为平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,解,所求平面方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,由平面的点法式方程,上式称为平面的一般方程,法向量,2.平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,平面通过 坐标面；,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,称为平面的截距式程,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,解,化简得,令,所求平面方程为,（通常取锐角）,定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,3.两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式,得,两平面夹角余弦公式,即,两平面夹角公式,4.两平面的位置关系,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,夹角,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面平行但不重合,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面重合.,解,上式称为点到平面距离公式.,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,小结,思考题,思考题解答,练 习 题,【授课小结】通过本课题学习，学生应该达到：1、会进行向量的坐标表示，向量的运算（线形运算、数量积、向量积和混合积）；2、会求平面方程，平面与平面之间的夹角，点到平面的距离,【课后练习】（一）P045习题1、2、3.,
