二几个初等函数的麦克劳林公式ppt课件.ppt

二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒(Taylor)公式,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x 的一次多项式,1.求 n 次近似多项式,要求:,故,令,则,2.余项估计,令,(称为余项),则有,公式 称为 的 n 阶泰勒公式.,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒中值定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,*可以证明:,式成立,特例:,(1)当 n=0 时,泰勒公式变为,(2)当 n=1 时,泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,称为麦克劳林（Maclaurin）公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,其中,类似可得,其中,其中,已知,其中,类似可得,三、泰勒公式的应用,1.在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0,x 的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1)已知 x 和误差限,要求确定项数 n;,2)已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差;,3)已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围.,已知,例1.计算无理数 e 的近似值,使误差不超过,解:,令 x=1,得,由于,欲使,由计算可知当 n=9 时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,例2.用近似公式,计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围.,解:,近似公式的误差,令,解得,即当,时,由给定的近似公式计算的结果,能准确到 0.005.,2.利用泰勒公式求极限,例3.求,解:,由于,用洛必塔法则不方便!,3.利用泰勒公式证明不等式,例4.证明,证:,内容小结,1.泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式.,2.常用函数的麦克劳林公式(P140 P142),3.泰勒公式的应用,(1)近似计算,(3)其他应用,求极限,证明不等式 等.,(2)利用多项式逼近函数,泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,思考与练习,计算,解:,原式,作业 P1434;5;7;8;10(2),泰勒(1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式.,他是有限差分理论的奠基人.,麦克劳林(1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数.,