极值偏移与拐点偏移歌 论文.docx

极值偏移与拐点偏移歌极值偏移与拐点偏移解题思路极值拐点话偏移，对称何造瞬力J变量范困极值分，导数再把单调论；一结论无谶拐点，衍生函数命题变。，1.极值点偏移(,(w)=0)P如果连续函数/(%)的图像关于直线X=W对称，m是f(x)的极值点，对于/(X)=Z的两个零点七,，显然等2=W,即，两个零点的中点与极值点重合，我们简称极值重合.如果连续的数了(%)的图像不是轴对称图形，此时m是/(X)的极值点，对于/(x)=r的两个零点占,叼，显然Wa=m,即，项,M的中点与极值点不重合，我们简称极值偏移.如图如果连续函数/(X)的图像关于点(肛/SO)对称，且M是/(X)的拐点，对于满足/(占)+/(/)=2/(M的XkX2,显然W)士=加,即，工卜七的中点与拐点重合，我们简称拐点重合.如，三次函数/(X)=V-3/+3x.如果连续函数/(X)的图像关于点(肛/50)不对称，且m是/(x)的拐点，对于满足/(占)+/(均)=2/(加)的项,均，显然'、Hm，即，七,出的中点与拐点不重合，我们简称拐点偏移.如图.一3.对称构造做法的解题思路利用极值偏移和拐点偏移编瑁的试题很多，其解答方法虽无固定模式，但对称构造新函数法是最简里最给力.的方法。具体构造方法由以下两种形式：，(1)对结论为X+Xz2m或$+2冽的问题，如果f(m)=0,可以构造F(x)=(x)-(2w-x)(2)对结论xlx2疗或x1x2苏的问题，如果,(w)=0可以构造F(x)=(x)-(一).÷-X(3)对结论为天+均2物或修+均2朋的问题，如果/“(加)=0,可以构造F(x)=(x)+(2w-x).p(4)对结论项巧疝或不巧小的问题，如果广8)=0,可以构造2F(x)=(x)+(一).X新函数构造后，还需要确定变量的范围和函数的单调性，具体方法如下一由于两个变量分布在极值点(或拐点)m的左右两侧，可以利用极值点来确定变量的范围(即，X1胴且切加为其后利用导数来确定新函数的单调性，最后利用单调性进行解答。即口诀"极值拐点话偏移，对称构造最给力；变量范围极值分，导数再把单调论例1：(2016新课标I卷第2问)M(x)=(r-2)ex+(x-l)2(0)有两个零点x1,X2.证明：x1+x2<2.P解：(1)广(X)=(X-IX/+2。).，XP(-s1)p(L>尸(XA-P则f(x)在(YJ)递减，在Q,+)递胤4=1是极小值点.，不妨设要使/(毛)=(w),由口诀“变量范围极值分“，可知XlV1电要证再+x2V2,即证Xl<2-x2<1,只需证明fa。>/(2-由口诀"极值拐点话偏移，对称构造最给力”，我们可以对称构造新函数：<令F(x)=/(x)-/(2-x),xe(l-o).，由口诀“导数再把单调论“，我们利用导数确定新函数产(X)在Q,+)上的单调性.F(X)=r()+f,(2-X)=(x-l×ex-e2-)>0.则Fa)在Q,y)上递胤由巧>1，则尸(W)>产(I)=0,可知/(必)>2-9)."从而可得再+巧<2*例2.由数/(x)=xlnX的图像与直线y-m交于不同的两点A(FJJ,B(x2,y1),求证：x1x2<e2.P证明：*(x)=lnx+l.÷,(0,办(-l1+oo)<3丁(AA一/+3则/(功在(U-I)递减，在(e",+8)递胤=1是极小值点.当0<x<l时，/(x)<0/(I)=Oj当x>l时，/(x)>0j当x0.时，由洛必三11(x)0j当Xwo时，/(x)+x.p不妨设再<均，要使/(再)=f(W),结合图像，由口诀“变量范困极值分“，可知0<x<i<x2<1.4je要证X1X2<,即证X<一<J,只需证明/(x2)=/(x1)>/(4-).Pex2eeX2由口诀"极值拐点话偏移，对称构造最给力”，我们可以对称构造新出数：令F(x)=/(x)-/(-？-),Xw，J)一ex由口诀“导数再把单调论“，我们利用导数确定新出数尸(力在(。",1)上的单调性一FG)=八X)+备八£)=(l+ln力1-3)CbOi则(力在(e",l)上递增.一由与>/,则F(x2)>F(/)=O,可知/(x2)>/(J-)16X2从而可得X1X2<c'*例3./(x)=2hx+x2+x,1£X】,七满足/(项)+/'()=4,求证：x1+x22*证明：,(x)=+2x+lfrW=2-4-,则x=l是拐点易知/(%)在(0,+8)递增，且/(1)=2,要使/(不)+/(占)=4,贝UO<x1lx2.要证项+/N2,艮喷/2-勺>1,只需证明4一/(x1)=(x2)/(2一毛).，即证f(Xi)+/(2-%)4“由口诀"极值拐点话偏移，对称构造最给力”，我们可以对称构造新函数：，令F(x)=/(x)÷(2-x),xe(OJ一由口诀“导数再把单调论“，我们利用导数确定新的数产(力在(0上的单调性Ff(X)=Z(X)-f,(2-x)=>0式2-力则Fa)在(OJ)上递增.，由0<x1l,则尸(X)尸Q)=4,可知/(X)+f(2一七)4."从而可得项+必24.结论与球的极值点硬点无关时的解题策略如果命题结论与函数的极值点和拐点无关，直接应用上述对称构造函数的方法肯定无法解答，常见的处理策略有以下两种。(1)衍生辎数，衍生新函数就是对原磴(进行变形，衍生出一个新曲数，使这个函数的极值点或者拐点与三论直接发生联系，然后再用对称构造函数的方法进行解答.(2)转化命题，转化命题就是对问题结论或者问题本身进行变形转化，使新命题的结论和函数的极值点或者拐点发生直接联系，然后再用对称构造函数的方法进行解答.-例4.函数，(工)=/-0¥有两个不同的零点再，x2,求证：x1+X,>2.分析：f(x)=ex-,f,x)=ex.若0,则/'(x)>0,/(x)在R上递增，至多有一个零点；要使f(X)有两个零点，必需>0且/(Ina)<0=>>e.由J=。"与y="图像可知：x1>O1X2>0.由结论须+x2>2可以看出,1不是f(x)的极值点和拐点。由口诀“结论无关极拐点，衍生函数命题变”，此题可以尝试对原函数进行衍生变换，生成一个以1为极值点的新函数进行证明，值得一提的是：这个新函数一定要与f(x)密切相关，否则，无法利用题设条件.方法1：衍生新函数法由f(x)=c'-r=0="-ax,可得X-InX-In<7=0.令g(x)=X-EX-Ina,则g'(x)=-.X(0.1)(IM)g'()+显然，1是g(x)的极小值点*又电,壬是/(X)的零点r典Jg(XI)=g(z)=O,且0<项<l<w由口诀“极值拐点话偏移，对称构造最给力”，我们再对称构造新函数:(x)=g(x)-g(2-x)(O<x<l)贝IIa)=g'(x)+g'(2-X)=2尸2<0.X(X-2)所以，处%)在(U)上递减，又0<再<1,则力(xi)>Ml)=O可得g(%)>g(2-毛)，于是g(w)>g(2-甬)又2-均>Lx2>1,由g(x)在Qc)递增，则巧>2-再r于是再+x2>2.方法2：衍生新困数法由f(x)=CX-ax=0=>=.XCxx-1令g(力=一一，则g'(X)=J-/.XX(04)(Ig)Cg'()+显然，1是g(x)的极小值点又巧是/()的零点，则g()=g(x2)=°，且0再l2由口诀"极值拐点话偏移，对称构造最给力”，我们对称构造新函数:(x)=g(x)-g(2-x)(0<x<l)贝 W(X) = g'(x) + g'(2-x)&-占卜T)易知P=I在(Oj)上递减，则A'(x)<0,所以，M力在(OJ)上递减，又0<再V1,则(再)>MI)=0"可得g(%)>g(2-X),于是g(Q>g(2-甬)*又2r>lsM>l,由g(x)在Q,+)递增，则/>2-内，于是x1+>2.,例5.已知%)=%111%-；桃，一*,wR.若f(x)有两个极值点再,x2,且XI<x2,求证：演x2"2(e为自然对数的底数)分析：g(x)=,(x)=InX-WXf则口,吃是g(x)的两个不同实根./,I-WX-mxg(力=，g(X)=。XX由结论毛巧>/可以看出，e不是g(%)的极值点和拐点。由口诀“结论无关极拐点，衍生函数命题变”，此题可以尝试对原函数进行衍生变换，生成一个以e为极值点的新函数进行证明，值得一提的是：这个新函数一定要与g()密切相关，否则，无法利用题设条件.)证明1：(衍生函数法)Pz.,InX由g()=i11-mx=0=>m=*X令(%)=-m,h,(x)X(QCA(es+<x>)/h,(x)+P一,显然，e是x)的极大值点，由g(")=g(±)=Or可知MXI)=双巧)=0,0<xl<e<x2由口诀"极值拐点话偏移，对称构造最给力”，我们再对称构造新函数：,e2w(x)=h(x)-H)(0<x<e)X则ux)=力'(力+41(2-x)=Q-InXXQ>0.pX(ex)所以，(x)在(QC)上递增.又0<再<。，则(XI)<“(c)=0.p可得应占)<A()r于是力(与)<岚竺)*甬再l2又一>c,W>e,由h(x)在(c,+cc)递滤则出>f于是Xlx2>e1.>再不证明2:转化命题结论法”欲证XIxl>e2,只需证In再+lnX2>2*再是F(X)的两个极值点，则XIXi是g(力=InX-mx的两个零点，、1-wxg(X)=X显然次>O,否则，函数g(x)在(0,京)上递增,最多只有1个零点.一(0")*(w15+x),g'(”+¼>7显然，MT是g(%)的极大值点由i；黑二鼠二(J)=由演+1眸=加(项+)“可得：x1+x2=(Inx1+Inx2)>«-'mm问题转化为：已知XIX:是g(x)=hx-咏的两个零点,O<X1<<x2,求证：m21x1+x2>一此时一是g(x)的极大值点，满足极值偏移的条件)，mm由口诀"极值拐点话偏移，对称构造最给力”，我们再对称构造新函数：一h(x)=g(x)-g(-x)(0<x<-)，mm贝UIa)=g'(x)+g,(2-X)=¾):>OGmx2-mx)所以，M力在(O,L)上递增.，m又0<再<!，则久再)<(工)=0*mm可得gC)<g(3-甬)，于是g(x?)<g(二一Xi)*mm211122又演>；x:>>由g()在(一,+<»)递减，则M>XIrBDXi+2>mmmmmm综上,X1X2>e2.4