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第十三章 动能定理,质点系动能定理建立了质点系动能的变化与作用于质系上的力的功之间的关系。从能量的角度建立了质系的运动变化和受力间的关系。,13-1 力的功,力的功的概念,功:能量从一种形式转化为另一种形式的过程中所表现出来的量度。力在路程中的积累效应。,一、常力的功：,常力（大小和方向均不变的力）在位移方向的投影与其路程的乘积，称为力在路程中所作的功。,M1,M2,讨论：,力作正功；,力作负功；,力不作功；,二、变力的功,力的元功：,在一无限小位移中力所做的功称为元功。,直角坐标形式,在一般情况下，上式右边 不表示某个坐标函数的全微分，所以元功用符号 而不用。,。,力在无限小位移 中可视为常力，小弧段 可视为直线。,力在有限路程上的功：,力的元功,力在有限路程 上的功为力在此路程上元功的定积分。,或,功的单位为焦耳(J),合力的功,质点M受n个力作用,沿有限曲线从M1M2,作用于质点的合力在任一路程中所的功，等于各分力在同一路程所做的功的代数和。,几种常见力的功,（1）重力的功,质点：,重力在直角坐标轴上的投影,重力的功,重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹无关。,质点沿轨迹由M1运动到M2,质点系重力做功,质心坐标公式,由此可得,所有质点重力做功之和,：为质系的质量，,：质系运动起始与终了位置质心的高度差。,质点系重力的功也与质心运动轨迹的形状无关。,讨论：,质心降低时，,质心升高时，,功为正值；,功为负值。,（2）弹性力的功,质点受指向固定中心点O的弹性力作用,质点的矢径,弹性限度内弹性力,为弹簧的刚度系数，,为弹簧的原长，,为沿质点矢径方向的单位矢量。,弹性力在有限路程 上的功,分别为质点在起点及终点处弹簧的变形量。,弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。,弹性力作正功；,讨论：,弹性力作负功；,：弹性变形量,：弹性力,注：,始末位置变形量差值相同，弹性力的功不相同。,摩擦力的功：,1、滑动摩擦力的功：,滑动摩擦力,摩擦力的功,动摩擦力的功恒为负值，它不仅取决于质点的起止位置，且与质点的运动路径有关。,2、滚动摩擦力的功：,在固定面上只滚不滑的轮,接触点C为速度瞬心，滑动摩擦力不做功。,不计滚阻时，纯滚动的接触点也为理想约束。,质系内力的功,A、B两质点间有相互作用的内力，,对于固定点的矢径为,元功之和,方向相反,与,得,说明：1)当质系内质点间的距离AB可变化时，内力的元功之和不为零。2)刚体内力功之和恒等于零。,理想约束,定义：约束力的元功的和等于零的约束称为理想约束。,常见的理想约束：,（1）光滑固定面,约束力垂直于作用点的位移,光滑面约束力的功恒等于零。,（2）光滑铰链或轴承约束,所以约束力的功为零,（3）刚性连接的约束,约束和刚体的内力一样,元功之和恒等于零,（4）联结两个刚体的铰,两个刚体相互间的约束力,两力在,点O的微小位移上的元功之和等于零。,（5）柔性而不可伸长的绳索约束,绳索两端的约束力大小相等,绳索不可伸长,AB两点的微小位移在绳索中心线上的投影,不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零。,计算力的功时，将作用力分为外力和内力并不方便，在理想约束的情形下，若将作用力分为主动力与约束力，可使功的计算得到简化。若约束是非理想的，如需考虑摩擦力的功，在此情形下可将摩擦力当作主动力看待。,理想约束，其约束力的元功之和均等于零。,质系内力的功之和一般不为零。,13-2 质点、质点系和刚体的动能,1.质点的动能,动能是标量，恒取正值。,2.质点系的动能：,质系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质系的动能,动能是描述质点运动强度的一个物理量,动能的单位与功的单位相同。,3.刚体的动能,平动刚体的动能,刚体平动时，刚体上各点速度相同。,定轴转动刚体的动能,任一点的速度,绕定轴转动刚体的动能,刚体对Z轴的转动惯量。,平面运动刚体的动能,刚体质心C所在平面如图，,速度瞬心,绕通过速度瞬心 并与运动平面垂直的轴的转动。,动能,转动惯量的平行轴定理,代入上式,质心C的速度的大小。,轴是随时间变化的，计算不方便。,平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。,平面运动刚体的动能,13-3 动能定理,质点动能定理的微分形式,质点运动微分方程矢量形式,方程两边点乘,一、质点的动能定理,质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。,质点动能定理的微分形式,质点动能定理的积分形式,或,在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用在质点上力所作的全功（合力功）。,质点动能定理的积分形式,注：,质点动能增加，接受能量。,质点动能减少，输出能量。,质点系动能定理微分形式,第i个质点动能定理的微分形式,质点系n个质点的动能定理微分形式方程相加,质点系的动能。,上式写成,二、质点系动能定理,质点系动能定理积分形式,质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。,质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。,例13-1卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶矩M作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知鼓轮的半径为 质量为，质量分布在轮缘上；圆柱体的半径为，质量为，质量均匀分布。设斜面的倾角为，圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱体中心C的速度与其路程之间的关系。,解：1、以鼓轮和圆柱体组成的整个系统作为分析对象；,2、分析系统的受力并计算力的功：,主动力,约束力,O点的位移为零,的功为零。,D点为速度瞬心,的功为零。,系统为具有理想约束的一个自由度系统。,主动力的功,的功为零。,外力,3、分析系统的运动并计算动能：,系统的初动能,为鼓轮对于中心轴O转动惯量；,圆柱体对于过质心C的轴的转动惯量。,分别为鼓轮和圆柱体的角速度。,代入后得,系统的末动能,4、应用质系动能定理并求解：,质系动能定理,得,前面求得：主动力的功,系统的动能,圆柱体中心C的速度,1具有理想约束的一个自由度系统，应用动能定理可直接建立系统的速度量与位移量之间的关系；进一步对时间求导数，可求出系统的加速度量。所以，在这种情形下应用动能定理求解已知力求运动的问题是很方便的。2应用动能定理解题的步骤：（1）明确分析对象，一般以整个系统为研究对象；（2）分析系统的受力，区分主动力与约束力，在理想约束的情况下约束力不做功；（3）分析系统的运动，计算系统在任意位置的动能或在起始和终了位置的动能；（4）应用动能定理建立系统的动力学方程，而后求解；（5）对问题的进一步分析与讨论。,例13-2质量为m的物块，自高度h处自由落下，落到有弹簧支承的板上，如图所示。弹簧的刚性系数为，不计弹簧和板的质量。求弹簧的最大变形。,解：分为两个阶段,1重物由位置落到板上,只有重力做功。,动能定理,求得,2物块继续向下运动，弹簧被压缩，物块速度逐渐减小，当速度等于零时，弹簧被压缩到最大变形，重力和弹性力均做功。,动能定理,解得,弹簧的变形量是正值，因此取正号,解法二：,两个阶段合在一起考虑,解得的结果与前面所得相同。,上式说明，在物块从位置到位置的运动过程中，重力做正功，弹性力做负功，恰好抵消，因此物块运动始末位置的动能是相同的。显然，物块在运动过程中动能是变化的，但在应用动能定理时不必考虑始末位置之间动能是如何变化的。,例13-3提升机构如图所示，设启动时电动机的转矩M视为常量，大齿轮及卷筒对于轴 AB的转动惯量为，小齿轮、联轴节及电动机转子对于轴 CD的转动惯量为，被提升的重物重为 P，卷筒、大齿轮及小齿轮的半径分别为 及。略去摩擦及钢丝绳质量，求重物从静止开始上升距离S时的速度及加速度。,解：1、研究整个系统（包括电机）对象；,2、计算主动力的功：,系统所受的约束为理想约束,电动机的转矩M和重力P做功,3、计算系统始末位置的动能：,系统由静止状态开始运动，初始位置的动能,当重物上升高度S时，,重物的速度，轴AB和CD,的角速度分别为,系统在此位置的动能,4、应用动能定理，并求解重物的速度：,列出方程,运动学关系,得,重物的速度,上式建立了重物的速度与上升距离之间的关系。在一般情况下，对于一个自由度系统应用动能定理可直接建立系统的速度与系统的位移之间的关系。,5、求重物的加速度,将式两边对时间求导数,注意：,由此得,由上面加速度 的表达式中可看出，分母恒为正值。在启动时，故要求驱动力矩，启动后若重物匀速上升，此时。,13-4 功率、功率方程、机械效率,单位时间内力所做的功。,一、功率,用功率来衡量机器做功的快慢程度，是衡量机器性能的一项重要指标。,力的元功为,力的功率,力的功率等于力在力的作用点的速度方向上的投影与速度的乘积。,功率 一定时，大则 小，小则 大。,力的功率：,力矩或转矩的功率,力矩或转矩的元功,力矩或转矩的功率,力矩或转矩的功率等于力矩与物体转动的角速度的乘积。,二、功率方程,动能定理的微分形式,上式两边除以,功率方程,质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。,1）当机器启动或加速运动时，,即输入功率要大于输出功率；,2）当机器停车或负荷突然增加时，机器做减速运动，,即输入功率小于输出功率；,3）当机器匀速运转时，,即输入功率和输出功率相等，称为功率平衡。,三、机械效率,机械在稳定运转时，有用输出功率与输入功率之比。,机械效率说明机械对于输入能量的有效利用程度，是评价机械质量的指标之一。它与机械的传动方式、制造精度与工作条件有关，一般情况下。,例13-4车床电动机的功率，当稳定运转时主轴的转速，如图所示，设转动时由于摩擦而损耗的功率是输入功率的30%，工件的直径，求此转速下的切削力。,解：车床稳定运转时，,输入功率与输出功率相等,代入上式得,表示切削力的功率,即,得,13-5 势力场、势能、机械能守恒定律,一、势力场：,力场：如质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，具有这种特性的空间就称之。,势力场或保守力场：如质点在某一力场内运动时，力场力对于质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关，则这种力场称之。,质点在势力场内所受的力称为势力或保守力。,如：重力、弹性力及万有引力都是势力。,二、势能、势能函数,势能：在势力场中质点从某一位置 移至选定的基点 的过程中势力所做的功。,表示,势能为零的点为零势点，可任意选取。,注：,2）对于不同的零势点，势力场中同一位置的势能可有不同值。,3）势力作正功，势能减小；反之势能增加。,1）,几种常见力的势能,（1）重力场中的势能：,重力的势能,取基点的位置,上式可写为,对于质点系或刚体,是系统的重量，是质心的坐标。,（2）弹性力场中的势能：,在弹性力场中,式中 和 分别为弹簧端点在 和 时弹簧的变形量。,如取弹簧的自然位置为基点，有,于是得,（3）万有引力场中的势能：,为质量为 的物体作用于质量为 的物体上的万有引力。,点为势能基点,万有引力在 点的势能,得,如势能基点选在无穷远处，即,得,势能函数：质点或质系的势能仅与质点或质心的位置有关，在一般情形下，质点或质系的势能只是质点或质心坐标的单值连续函数，这个函数称为势能函数。,表示为,等势面：势能函数相等的各点所组成的曲面称之。,如重力场的等势面是不同高度的水平面,弹性力场的等势面是以弹簧固定端为中心的球面,1）对应于不同的C有不同的等势面，势力场中等势面有无 数个。,注：,2）当质点沿任一等势面运动时，势力的功恒等于零。势力的方向恒与等势面垂直，指向是能减小的方向。,当 时的等势面称为零等势面，若选零等势面为势能的基面（零势面），某一位置的势能等于势能函数在该位置的函数值。例如在重力场中，一般选水平面为零势面；在弹性力场中选弹簧自由长度，初变形为零处为零势能位置；万有引力场中选无穷远处为零势能位置。,重力势能,弹性力势能,万有引力势能,设质点在 和 处的势能分别为,有势力的功,O点为零势点。,则,因势力的功与路径无关,质系从位置运动到位置时，势力的功等于质系在位置时的势能和在位置时的势能之差。,机械能守恒定律,为系统中所有势力的功之和。,势力场动能定理,即质系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能。,质系机械能守恒定律,质点系在势力场内运动时，其机械能保持不变。或质系的动能和势能可以互相转化，但总的机械能保持不变。,保守系统：具有理想约束，且所受的主动力皆为势力的质点系称为保守系统。,势力场具有机械能守恒的特性，因此势力场又称为保守力场，而势力又称为保守力。,质系在非保守力作用下运动时，则机械能不守恒。,例如：摩擦力做功时总是使机械能减少，但是减少的能量并未消失，而是转化为另一形式的能量（热能），总能量仍然是守恒的。对于整个系统来说，总的能量仍是守恒的，这就是普遍形式的能量守恒定律，机械能守恒定律只不过是它的特殊情形。,例13-5试用机械能守恒定律解例13-2题。,解：选图中位置作为运动的初始位置，位置作为运动的终了位置，则系统的动能,弹簧未变形时的位置作为弹性力势能的零位，取终了位置作为重力势能的零位。,初始位置与终了位置的势能分别为,机械能守恒定律,将上述各值代入后得,与例13-2中所得结果完全相同。,13-6 普遍定理的综合应用,标量形式,矢量形式,13-6 普遍定理的综合应用,质系动力学普遍定理,质系动能定理。,质系动量定理,质系动量矩定理,动量定理和动量矩定理分别建立了质系动量和动量矩与质系所受外力系的主矢量和外力系的主矩之间的关系，它们是矢量形式的。动能定理建立了质系的动能与作用于质系上的力的功之间的关系，是标量形式的。,动量定理和动量矩定理,作用在系统上的力一般按外力和内力分类。,动能定理中力一般按主动力和约束力分类，在理想约束的情形下约束力的功之和为零。,应用质系普遍定理可以解决质系动力学的两类问题。在实际应用中，对于具有理想约束的一个自由度系统，经常用动能定理解决已知力求运动的问题。在主动力为势力的情形下还可以应用机械能守恒定律求系统的运动。系统的运动规律确定后，一般用动量或动量矩定理求未知约束力。,例13-6质量为，半径为 的均质圆柱体，在半径为 的固定大圆槽内作无滑动的滚动。试列写系统的运动微分方程。,解：1、以圆柱体为分析对象；,2、圆柱体的受力图如图所示，在只滚不滑的情形下，摩擦力、正压力 不做功，只有主动力 做功，所以为理想约束的情形。,3、选 为广义坐标，正方向如图所示。,系统的动能,而,代入上式后得,4、应用动能定理建立系统的运动与受力之间的关系；动能定理的微分形式,在理想约束的情形下，,为主动力的元功之和。,广义坐标 的微小增量，正方向如图所示。,圆柱体质心C的微小位移为,，重力的元功为,代入上式得,两边同除以,得,由此得到系统的运动微分方程为,5、讨论：,（1）本题也可用机械能守恒定律求解，设圆柱体的初始位置在质心C位于最低位置处，此时圆柱体的动能为,，即给圆柱体一初始速度，势能,圆柱体在任意位置的动能为,势能为,由机械能守恒定律,得,上式两边对时间求导数后，得到与式完全相同的结果。,（2）由本题的分析可以看出，对于具有理想约束的一个自由度系统，可直接应用动能定理建立系统的运动与受力之间的关系，以解决已知力求运动的问题。,例13-7一矿井提升设备如图所示。质量为、回转半径为 的鼓轮装在固定轴O上，鼓轮上半径为 的轮上用钢索吊有一平衡重量。鼓轮上半径为 的轮上用钢索牵引矿车，车重。设车在倾角为 的轨道上运动。如在鼓轮上作用一常力矩。求：（1）启动时矿车的加速度；（2）两段钢索中的拉力；（3）鼓轮的轴承约束力。不计各处的摩擦及车轮的滚动摩阻。,解：1、分析对象整个系统，该系统为具有理想约束的一个自由度系统。,设初始时质系处于静止，鼓轮顺时针转过 角后，有,质系动能定理建立质系的动能方程,质系的动能方程,根据约束条件有以下运动学关系,代入上式后有,上式两边对时间求导数，并消去,得矿车的加速度为,2、求钢索拉力和鼓轮轴承约束力是已知运动求力的问题。分别以平衡重和鼓轮为分析对象，将钢索内力和约束力暴露出来，其受力图如图（b）、（c）所示。,动量定理有,得,动量矩定理,质系动量定理,鼓轮的动力学方程,由以上三方程可分别求出,例13-8均质杆AB，长，质量为，沿光滑墙面滑下，如例图(a)所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。,解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。系统在任一位置的动能为,由瞬心法求质心的速度,所以,系统的主动力图为图（a）所示。,重力的元功为,由动能定理,所以,系统的运动微分方程为,讨论：,（1）平面运动刚体可用式,，计算刚体动能,式中,为刚体对瞬心的转动惯量，为质心与瞬心间的距离。,质心的速度 也可用式 计算。,（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角 为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为,系统的动能,主动力的元功,根据动能定理建立的方程为,所以,“”号说明当 取正值时 为负，即反时针方向。,（3）本题也可用平面运动微分方程求解。,