教学课件：第4章-控制系统数字仿真.ppt

第4章控制系统数字仿真 数值积分法,连续系统数值积分方法,连续系统的数学模型，一般都能以微分方程的形式给出，因而对连续系统数学仿真问题可归结为在计算机上来求解如下微分方程初值问题（解析解很难得到）而数值积分法是上述问题的数值解法，它首先给出一差分方程（可在计算机上求解）代替原微分方程，通过解差分方程得到数值解。也可以说，采用数值积分法能够将常微分方程模型变成离散形式的仿真模型差分方程。,基本原理,连续系统数值积分方法,令,则,对,两边积分,有,当,此式是微分方程初值问题在tm+1时刻的精确解,连续系统数值积分方法,数值积分法用公式,来代替解析解，其中，分别是，的近似解。此差分方程为仿真模型。,所谓数值解法就是寻求初值问题的解在一系列离散时间点,上的近似解。,相邻两个离散时间点的间距,称为步长或步距。,数值积分法的主要问题归结为如何对函数 进行数值积分，求出,在区间,上定积分的近似解。,一.欧拉法,将在 上的,近似看成常数，即,则,即,其中,欧拉积分公式,连续系统数值积分方法,欧拉公式计算简单，但精度较低，原因是，用矩形面积代替准确的曲面面积，形成了较大的误差面积。,为了提高计算精度产生了梯形法。,连续系统数值积分方法,二.梯形法,用梯形的面积近似代替定积分,式中,所以,即,连续系统数值积分方法,梯形法问题：在计算 时，先要用 去计算，而此时 还未求出，所以，一般采用欧拉公式先预报一个 然后将预报 代入，求出，即,式中，,梯形法比欧拉法精度要高，同时，每前进一个步距，计算工作量也比欧拉法约多一倍。,预报校正公式,连续系统数值积分方法,对初值问题，将解析解在其初值附近展开成泰勒级数，并只取前三项，则有,三.龙格-库塔法,连续系统数值积分方法,对 泰勒级数展开，并只取前三项，有,将、代入，有,连续系统数值积分方法,为了避免计算导数项，令,三个方程中有四个未知数，解不唯一。限定，有,则,连续系统数值积分方法,二阶龙格Runge-库塔Kutta法,比较后，有,取到解析解的二阶导数项，其局部截断误差正比于步长，称二阶龙格-库塔法。若取到解析解的三阶或四阶导数项，相应的局部截断误差正比于 或，则有相应的三阶或四阶龙格-库塔法。,将数值方法中的 由 替换，得到数值解，则差 称为计算的局部截断误差。,连续系统数值积分方法,在计算精度要求较高的情况下，使用四阶龙格-库塔法。,四阶龙格-库塔法。,连续系统数值积分方法,取前两项,欧拉积分公式,取前三项,二阶龙格-库塔法,梯形法预报校正公式,连续系统数值积分方法,取前五项,四阶龙格-库塔法。,连续系统数值积分方法,通过对龙格-库塔法的介绍，可将前面讲的几种数值积分方法统一起来，都可看成是解析解在初值附近展开成泰勒级数所产生的，只是其泰勒级数所取项数的多少不同。从理论上说，取的项数越多，计算精度越高，但相应的计算公式更复杂，计算工作量也更大。,连续系统数值积分方法,以上介绍的几种数值积分公式，有一个共同的特点，在计算 时只用到，而不直接用，各项的值，即在本次计算中，仅仅用到前一次的计算结果，而不需要利用更前面各步的结果。这类计算方法称为单步法。单步法运算有下列优点：(1)需要存储的数据量少，占用的存储空间少。(2)只需要知道初值，就可启动递推公式进行运算，具有这种能力的计算方法称为自启动的计算方法。(3)容易实现变步长运算。,连续系统数值积分方法,与单步法相对应的还有一类数值积分方法，在它的数值积分公式中，本次计算不仅利用前一次的计算结果，还必须利用更前面各次结果，此类方法称为多步法。如四阶阿达姆斯(Adams)积分公式,多步法与单步法相比，欲达到相同精度，计算工作量较小，利用上述公式计算 时，只需计算，而，已由前三次计算求出，而四阶龙格库塔公式每前进一步都要计算，相当于四次计算右端函数，因此在相同的条件下多步法比单步法要快。,连续系统数值积分方法,工程实际系统中大量的仿真对象是以一阶微分方程组或矩阵微分方程的形式给出，如,或,四.微分方程数值积分的矩阵分析方法,连续系统数值积分方法,(1)欧拉公式,(2)梯形公式,(3)二阶龙格-库塔公式,连续系统数值积分方法,(4)四阶龙格-库塔公式,对 维向量，每前进一个步距，至少要求 个 之值。,连续系统数值积分方法,对线性定常系统，四阶龙格库塔法参数,连续系统数值积分方法,五.数值积分方法的稳定性,采用数值积分法求解稳定的常微分方程，应该保持原系统的稳定特征。但是如果计算步长取的不合理，有可能使仿真出现不稳定的结果。,连续系统数值积分方法,已知微分方程,其精确解为,取，用欧拉法和四阶龙格-库塔法计算 时的：,连续系统数值积分方法,欧拉法,四阶龙格-库塔法,精确解,连续系统数值积分方法,原系统的稳定性与数值积分法计算的稳定性是不同的两个概念。前者用原系统的微分方程、传递函数来讨论，后者用逼近微分方程的差分方程来讨论。对于一个稳定的连续系统，当用某数值积分方法进行仿真计算时，如果计算步长取的不合理，有可能使仿真出现不稳定的结果。由于选用的数值积分法不同，即使对同一系统，差分方程也各不相同，稳定性也各不一样。针对高阶微分方程，讨论数值积分方法的稳定性比较困难，通常用简单的一阶微分方程来考查不同数值积分方法的稳定性。,连续系统数值积分方法,微分方程,称测试方程。据稳定性理论，当其特征方程的根在平面的左半平面，即根的实部 时，则原系统稳定。此时相应的数值积分法的稳定性如何呢？,连续系统数值积分方法,欧拉法的稳定性,按欧拉公式有,连续系统数值积分方法,当，则，表明随着计算步数的增加，结果将逐渐扩大，以致发散。,有问题,当，则，随着计算步数的增加，结果逐渐减小并趋于零或有界，在这种情况下，称此差分方程是稳定的。合理的选择步长使其满足，是保证欧拉法计算稳定的重要条件。,连续系统数值积分方法,二阶龙格-库塔法,三阶龙格-库塔法,四阶龙格-库塔法,连续系统数值积分方法,一般数值积分方法的稳定性与所选用的计算步距有关。若步距取得较大，截断误差就会相应地增大；反之，若步距取得较小，截断误差就会减小，但在给定时间范围内，计算次数必然增加，使舍入误差积累，相应地增加。,六 数值方法的稳定性、计算精度与步距的关系,连续系统数值积分方法,两种误差对步距的要求是矛盾的，但两者之和有一个最小值，步距最好能选在最小值。然而，实际要做到这一点是很困难的。一般只能根据经验确定一个h0附近的合理步长区。,连续系统数值积分方法,一.控制系统的典型结构形式,1.单输入-单输出开环控制结构控制器、控制对象等环节可用第3章所述任何一种数学模型描述,为参考输入量,为控制量,为输出量。,控制系统的结构及其描述,2.单输入-单输出前馈控制结构本身仍为开环控制形式，在已知误差变化规律的情况下，加入补偿环节，对误差作提前修正。补偿环节同样可用任一种数学模型描述。,控制系统的结构及其描述,3.单输入单输出闭环控制结构这是控制系统中应用最广泛的控制结构形式，大多数控制系统都采用这种闭环负反馈形式。反馈环节可用任一种数学模型描述。当反馈为单位反馈时，闭环系统称作单位反馈系统。,控制系统的结构及其描述,凡是单输入-单输出控制系统结构均能方便地表示为图论中的拓扑结构形式。各环节用序号表示，每个环节都有自己的输入和输出变量ui和yi(i1,2,.，6)，其相互关系的数学描述，可以是第3章所述形式的任一种。,控制系统的结构及其描述,4.多输入-多输出控制系统结构若干个单输入-单输出控制系统结构形式通过一定方式组合在一起，构成了多输入-多输出控制系统结构形式，用来描述较复杂的多变量控制系统。,控制系统的结构及其描述,(1)比例环节,(2)惯性环节,(3)惯性比例环节,(4)积分环节,控制系统的结构及其描述,二.控制系统的典型环节描述,(5)比例积分环节,(6)二阶振荡环节,式中，为阻尼比，为无阻尼自然振荡频率。,控制系统的结构及其描述,(7)纯滞后环节,式中，,(8)高阶线性环节,为纯滞后时间。,控制系统的结构及其描述,式中，为分母多项式系数，亦称特征多项式系数；为分子多项式系数。,三.控制系统的连接矩阵,要完整地将系统描述出来，应该分析各环节输出 对其他环节有无输入作用，才能完整地进行仿真分析。,控制系统的结构及其描述,写出每个环节输入受哪些环节输出的影响,控制系统的结构及其描述,引入向量,则有,控制系统的结构及其描述,式中，,W:nn型为连接矩阵，表示各环节之间的连接关系；W0：nm型为连接矩阵，表示环节与参考输入之间的连接关系。,Wij:ui和yj之间的关系,控制系统的结构及其描述,wij0，环节j不与环节i相连；wij 0，环节j与环节i有连接关系；wij 0，环节j与环节i直接相连(wij=1)或通过比例系数相连(wij为任意正实数)；wij 0，环节j与环节i直接负反馈相连(wij=-1)或通过比例系数负反馈相连(wij为任意负实数)；wii 0，环节i单位自反馈(wii=l或wii=-1)或通过比例系数自反馈(wii为任意实数)。,Wij:ui和yj之间的关系,面向结构图的数字仿真,一.典型闭环系统的数字仿真,1.典型闭环系统结构形式,面向结构图的数字仿真,2.系统仿真模型与求解思路仿真模型是指经一定方式把数学模型转化为便于在计算机上运行的表达形式。这种表达形式往往是一些适合于具体编程实现的数学关系式。,面向结构图的数字仿真,按能控标准型写出开环状态方程,式中,其中,面向结构图的数字仿真,控制量，代入得,再由，,，则,即得系统闭环状态方程，其中 为系统闭环系数矩阵，而输入矩阵B和输出矩阵C不变。,面向结构图的数字仿真,采用四阶龙格库塔法求解闭环状态方程,龙格库塔系数,由,知,面向结构图的数字仿真,最后，再由,求得 时刻状态，立即可得输出相应时刻值,按以上算式，取k0，1，2，N不断递推，即求得所需时刻各点的状态变量 和输出量。,面向结构图的数字仿真,3仿真程序框图与实现,输入数据模块和初始化程序模块：将开环传递函数的分母、分子多项式系数和反馈系数输入计算机，自动求取首一化表达形式，自动形成开、闭环状态方程各矩阵。运行程序模块（仿真程序核心）：按照给定的计算步长，采用已确定的数值算法，对系统中各状态变量和输出逐点变化情况进行求解运算。输出程序模块：在规定的时间范围内，将计算数据按照一定要求存储，并在仿真结束时，按指定格式输出仿真结果，以便对系统进行分析研究。,仿真程序须建立：输入数据块、初始化块、运行计算块、输出结果块。,面向结构图的数字仿真,EXP41b.M%输入数据 a=an,a1,a0;%n1维分母系数向量 b=bm,.,b1,b0;%ml维分子系数向量 X0=x1,x2,.,xn;%状态向量初值 v=v0;%反馈系数 n=n0;%系统阶次 T0=t0;%起始时间 Tf=tf;%终止时间 h=h0;%计算步长 R=r;%阶跃输入函数的幅值,面向结构图的数字仿真,%形成开闭环系数b=b/a(1);a=a/a(1);A=a(2:n+1)%首一化处理A=rot90(rot90(eye(n-1,n);-fliplr(A)%形成能控标准形A阵B=zeros(1,n-1),1;%形成输入矩阵B(n维列向量)m1=length(b);%分子系数向量维数m+1C=fliplr(b),zeros(1,n-m1);%形成输出矩阵C(n维行向量)A=A-B*C*v;%形成闭换系数矩阵X=X0;y=0;t=T0;%设初值，准备开始递推运算,fliplr:矩阵或向量左右翻转rot90:逆时针转90度,面向结构图的数字仿真,%运算求解N=round(Tf-T0)/h);%确定输出点数for i=1:N%四阶龙格-库塔法 K1=A*X+B*R K2=A*(X+h*K1/2)+B*R;K3=A*(X+h*K2/2)+B*R;K4=A*(X+h*K3)+B*R%求各系数K X=X+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6%求状态 y=y,C*X;%求输出并以向量形式保存 t=t,t(i)+h;%输出对应时刻以向量形式保存end,面向结构图的数字仿真,%输出结果t,y;%输出数据形式结果plot(t,y)%输出曲线形式结果,面向结构图的数字仿真,解：求解过程如下：(1)取开环放大系数k=1，反馈系数v=1，阶跃输入幅值R=1。(2)利用MATLAB中conv()函数，计算开环传递函数G(s)的分母、分子多项式系数an,a1,a0和bm,.,b1,b0。(3)设系统状态向量初值X0为零向量。(4)系统运行参数n=4，T0=0，Tf=10，h=0.25。,求系统的阶跃响应 y(t)的数值解,面向结构图的数字仿真,(5)按以上步骤和参数，在MATLAB环境下，输入命令：k=1a=conv(1 0 0,conv(0.25 1,0.25 1)b=2*k kX0=0 0 0 0v=1,n=4,T0=0,Tf=10,h=0.25,R=1EXP41b%运行EXP41b.M仿真程序,面向结构图的数字仿真,面向结构图的数字仿真,将复杂结构图简化成为典型结构存在如下问题：,二.复杂连接的闭环系统数字仿真,系统结构复杂时，化简并非易事，使工作量陡增；有时需要得知结构图中某些环节的输出变量情况，若经过化简消去这些环节，则不便进行观察分析；在分析中需要改变某个参数，观察其对输出的影响，但改动一个参数值，就有可能需将所有开环传递函数分子、分母系数统统重新计算再次输入计算机，很不方便；对实际系统中存在的非线性情况，无法加以考虑。,面向结构图的数字仿真,复杂连接闭环系统数字仿真特点：(1)可按照系统结构图输入各环节参数，对应关系明确，改变参数方便。(2)可方便地观察各环节输出动态响应。(3)各环节存在非线性特性时易于处理。,复杂连接闭环系统数字仿真基本思路：与实际系统的结构图相对应，在计算机程序中方便地描述各典型环节及其之间的连接关系，由计算机程序自动形成闭环状态方程，运用数值积分方法求解响应。,面向结构图的数字仿真,1典型环节的二次模型化典型环节要既具有代表性，又不致于造成输入数据复杂烦琐。,比例积分：,惯性环节：,一阶超前滞后环节：,二阶振荡环节：,比例环节：,积分环节：,面向结构图的数字仿真,除二阶振荡环节外，都是一阶环节，可用一个通用一阶环节表示,式中，为第i个环节的输出；为第i个环节的输入。n为系统中的环节数。,面向结构图的数字仿真,二阶振荡环节完全可以用一阶环节等效连接得到。,面向结构图的数字仿真,输入向量，各分量表示各环节输入量；,输出向量，各分量表示各环节输出量；,模型参数矩阵为,系统中所有环节输出、输入关系用矩阵表示如下:,面向结构图的数字仿真,整理为矩阵形式得,2系统的连接矩阵与仿真求解1)连接矩阵,面向结构图的数字仿真,整理，得,为了得到关于Y的状态方程，使,即,2)求系统的解,代入U，有,式中，,面向结构图的数字仿真,若 存在，有,即,式中，,面向结构图的数字仿真,建立系统仿真模型还应注意以下两点：(1)存在的条件,面向结构图的数字仿真,显然不是微分方程而是代数方程，因而使 不存在。为避免出现代数方程，应保证所有环节的，从而使环节能用微分方程给出。当现纯比例、纯微分这类使 的环节时，则应设法与其他环节合并处理，或设法化为系统可接受的环节。,原因在于第一个环节为纯比例环节，第三个环节为纯微分环节，按典型环节给出的方程分别为,面向结构图的数字仿真,(2),的条件,只要被输入函数作用的那些环节的 即可。,面向结构图的数字仿真,3仿真程序框图与实现l)系统参数输入方法系统参数输入按各环节 输入参数矩阵P。,然后由程序自动形成A、B、C、D各矩阵和闭环状态方程各系数矩阵。,面向结构图的数字仿真,2)连接矩阵输入方法连接矩阵W和W0有大量零元素，为了加快输入速度，可采取以下方法：建立非零元素矩阵Wij(m3型，m为矩阵W和W0中非零元素的个数)，将非零元素按照i，j，Wij 次序逐行输入，然后由程序自动生成矩阵W和W0。,例如,3)程序框图,面向结构图的数字仿真,4)程序实现%输入数据P=a1,b1,cl,dl;a2,b2,c2,d2;an,bn,cn,dn;%各环节参数输入WIJ=i,j,wij;%连接阵非零元素输入n=n0;%环节个数 V0=v0;%阶跃输入幅值Y0=y1,y2,yn;%各环节初值h=h0;%计算步长l=l0;%打印间隔点数T0=t0;Tf=tf;Nout=nout;%输出环节编号,面向结构图的数字仿真,%形成闭环各系数阵A=diag(P(:,1);B=diag(P(:,2);C=diag(P(:,3);D=diag(P(:,4);m=length(WIJ(:,1);%求非零元素个数W0=zeros(n,1);W=zeros(n,n);%建立初始W、W0阵for k=1:m if(WIJ(k,2)=0)W0(WIJ(k,1)=WIJ(k,3);else W(WIJ(k,1),(WIJ(k,2)=WIJ(k,3);endend%求W0阵和W阵Q=B-D*W;Qn=inv(Q);%求Q和Q-1阵R=C*W-A;V1=C*W0;%求R和V1阵A1=Qn*R;B1=Qn*V1;%形成闭环系数阵,面向结构图的数字仿真,%数值积分求解Y=Y0;y=Y(Nout);t=T0;%置初值，做好求解准备N=round(Tf-T0)/(h*l);%总输出点数for i=1:N%每循环一次，输出一点数据 for j=1:l;%每输出点之间计算Ll次 K1=A1*Y+B1*V0;K2=A1*(Y+h*K1/2)+B1*V0;K3=A1*(Y+h*K2/2)+B1*V0;K4=A1*(Y+h*K3)+B1*V0;Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;end;y=y,Y(Nout);%保存输出环节动态响应值t=t,t(i)+h*l;%保存时间向量end,面向结构图的数字仿真,%输出结果t,y;%输出响应数据plot(t,y)%输出响应图形,面向结构图的数字仿真,4计算步长的选择程序中采用固定步长计算方法，即计算步长是固定不变的，这样计算过程简便，误差也在工程设计允许范围之内。通常可按以下经验数据选择四阶龙格-库塔法的步长值。,系统开环频率特性的剪切频率；,系统阶跃响应的上升时间,系统阶跃响应的调节时间(过渡过程时间),或,小结,本章在数值积分法的基础上，详细介绍了数字仿真原理和连续系统的两种基本仿真方法。通过本章学习应重点掌握以下内容：（1）熟悉在数字计算机仿真技术中常用的几种数值积分法，特别是四阶龙格-库塔法；（2）典型环节及其系数矩阵的确定；（3）各连接矩阵的确定；（4）利用MATLAB在四阶龙格-库塔法的基础上，对以状态空间表达式和方框图描述的连续系统进行仿真。,