微积分课件(导数与微分).ppt
第三章 导数与微分,第一节 导数的概念第二节 函数和、差、积、商的求导法则第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则第四节 高阶导数第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数第六节 函数的微分第七节 导数在经济分析中的应用,第一节 导数的概念,一、问题的提出二、导数的定义三、由定义求导数四、导数的几何意义与物理意义五、可导与连续的关系,一、问题的提出,1.自由落体运动的瞬时速度问题,取极限得,第一节 导数的概念,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,第一节 导数的概念,二、导数的定义,定义,第一节 导数的概念,其它形式,即,第一节 导数的概念,关于导数的说明：,第一节 导数的概念,第一节 导数的概念,步骤:,例1,解,第一节 导数的概念,例2,解,更一般地,例如,第一节 导数的概念,例3,解,第一节 导数的概念,例4,解,第一节 导数的概念,例5,解,第一节 导数的概念,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,第一节 导数的概念,第一节 导数的概念,例6,解,第一节 导数的概念,三、导数的几何意义,第一节 导数的概念,切线方程为,法线方程为,切线方程为,法线方程为,例7,解,根据导数的几何意义知,所求切线的斜率为,所求切线方程为,法线方程为,第一节 导数的概念,第一节 导数的概念,四、函数可导性与连续性的关系,另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。,例如,第一节 导数的概念,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,一、和、差、积、商的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式,一、和、差、积、商的求导法则,定理,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,证(3),证(1)、(2)略.,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,例1,解,例2,解,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,例5,解,同理可得,第二节 函数和、差、积、商的求导法则,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,一、反函数的导数二、复合函数的求导法则,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,一、反函数的导数,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,证,于是有,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,例7,解,同理可得,例8,解,特别地,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,二、复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,证,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,推广,例9,解,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,例10,解,例11,解,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,例12,解,例13,解,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,四、基本求导法则与导数公式,第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则,第四节 高阶导数,一、高阶导数的定义二、高阶导数求导举例三、高阶导数的运算法则:,第四节 高阶导数,一、高阶导数的定义,引例 变速直线运动的加速度.,定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,第四节 高阶导数,二、高阶导数求法举例,例1,解,第四节 高阶导数,例2,解,第四节 高阶导数,例3,解,第四节 高阶导数,例4,解,同理可得,第四节 高阶导数,莱布尼兹公式,三、高阶导数的运算法则:,第四节 高阶导数,例6,解,第四节 高阶导数,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,例1,解,解得,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,例2,解,所求切线方程为,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,例3,解,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,一般地,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,例4,解,等式两边取对数得,例5,解,等式两边取对数得,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,三、由参数方程所确定的函数的导数,由复合函数及反函数的求导法则得,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,例6,解,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,所求切线方程为,第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数,例7,解,例8,解,第六节 函数的微分,一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用六、小结,一、微分的定义,实例:正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量.,第六节 函数的微分,定义,第六节 函数的微分,定理,证,(1)必要性,第六节 函数的微分,(2)充分性,第六节 函数的微分,例1,解,第六节 函数的微分,第六节 函数的微分,二、微分的几何意义,几何意义:(如图),M,N,T,）,Q,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,第六节 函数的微分,3.复合函数的微分法则,2.函数和、差、积、商的微分法则,第六节 函数的微分,例2,解,例3,解,第六节 函数的微分,四、微分形式的不变性,第六节 函数的微分,例5,解,例4,解,第六节 函数的微分,五、微分在近似计算中的应用1.计算函数增量的近似值,例6,解,第六节 函数的微分,1.函数的近似计算,例7,解,第六节 函数的微分,第六节 函数的微分,常用近似公式,证明,第六节 函数的微分,例8,解,第六节 函数的微分,
