微积分第3章导数与微分.ppt
第三章 导数与微分,1,1,第三章 导数与微分,3.1 引出导数概念的例题,3.2 导数概念,3.3 导数的基本公式与运算法则,3.4 高阶导数,3.5 微分,第三章 导数与微分,2,一、变速直线运动的速度,问题：已知 s f(t)为物体运动的路程函数，求 t0 时刻的瞬时速度.,t0 至 t0t 时间内平均速度:,t0 时刻的瞬时速度:,3.1 引出导数概念的例题,第三章 导数与微分,3,割线MN的斜率：,切线MT的斜率：,二、切线问题,问题：求曲线 y=f(x)在 M(x0 y0)处的切线的斜率,第三章 导数与微分,4,4,3.2 导数概念,一、导数的定义,二、导数的几何意义,三、左、右导数,四、可导与连续的关系,第三章 导数与微分,5,一、导数的定义,否则称 f 在点x0处不可导.,注：,1.意义：函数关于自变量的瞬时变化率.,3.计算：(*)式,2.亦可记作,第三章 导数与微分,6,例1 讨论下列函数在指定点的导数：1)f(x)x2 在点 x 2 处;2)在点 x=0 处.,不存在,f(x)在点 x 0 处不可导,2),解 1),第三章 导数与微分,7,即,记作,2.导函数 常简称导数.,第三章 导数与微分,8,例2 求下列函数的导(函)数:1)y x2;2)y=1/x.,解 1),2),第三章 导数与微分,9,二、导数的几何意义,M(x0,y0)点处的切线方程：,M(x0,y0)点处的法线方程：,切线MT的斜率：,求曲线的切线、法线,例3 求曲线 y=1/x 在点(1,1)处的切线方程、法线方程.,（答案：切线 y=2-x,法线 y=x）,第三章 导数与微分,10,三、左、右导数,2.f 在区间(a,b 上可导，对于端点 b 仅要求左导数存在.,（答案：左导数-1,右导数1,不可导）,第三章 导数与微分,11,四、可导与连续的关系,第三章 导数与微分,12,第三章 导数与微分,12,例5.,求下列函数的导函数：,(2)xn,(nN+);,(3)sin x,cos x;,(4)log ax(a 0,a1,x 0).,nxn-1,cos x,log ae/x,-sin x,ln x(x 0),1/x,(1)c(常函数);,答案：0,记结论,第三章 导数与微分,13,第三章 导数与微分,13,3.3 导数的基本公式与运算法则,一、导数的四则运算,二、复合函数的导数,三、反函数的导数,四、隐函数的导数,五、取对数求导法,六、参变量函数的导数,七、基本求导法则与公式,第三章 导数与微分,14,第三章 导数与微分,14,一、导数的四则运算,特别地，,第三章 导数与微分,15,第三章 导数与微分,15,例1,解,注：对于多项式 f 而言,总是比 f 低一个幂次.,例2,解,第三章 导数与微分,16,第三章 导数与微分,16,例3 求下列函数的导数：,解,第三章 导数与微分,17,第三章 导数与微分,17,二、复合函数的导数,2.复合函数求导：由外到里,逐步分解,逐步求导.,第三章 导数与微分,18,第三章 导数与微分,18,解:(i),可以分解成 y=sin u与u=x2 的复合.,由链式法则，有,或直接写作：,例4 求下列函数的导数：,第三章 导数与微分,19,第三章 导数与微分,19,定理 设 y=f(x)在 x0 可导，f(x0)0.若其反函数 x=f-1(y)在 y0=f(x0)连续，则 x=f-1(y)在 y0 可导 且,三、反函数的导数,或写成：,第三章 导数与微分,20,第三章 导数与微分,20,例5.求下列函数的导数：,记结论(1)(2),第三章 导数与微分,第三章 导数与微分,四、隐函数的导数,若F(x,y)=0确定了隐函数 y=f(x),怎样求？,F(x,y)=0,方法一：,F(x,y)=0,方法二：,（答案：）,21,第三章 导数与微分,22,记结论,2.已知 求,3.求曲线 在(1,-2)处的切线与法线方程.,第三章 导数与微分,23,第三章 导数与微分,23,(适用于多个函数相乘除、乘方、开方以及幂指函数的情形),方程两边取对数，再分别求导.,五、取对数求导法,记结论,第三章 导数与微分,24,第三章 导数与微分,24,六、参变量函数的导数,设 y=f(x)由参数方程 确定，可导，且 有反函数，则,例10.求由上半椭圆的参量方程 所确定,的函数 y=f(x)的导数,并求此椭圆在 处的切线方程.,第三章 导数与微分,25,第三章 导数与微分,25,1.求导法则：,七、基本求导法则与公式（课本 p.125-126）,要牢记！,第三章 导数与微分,26,第三章 导数与微分,26,2.基本初等函数的导数公式：,要牢记！,第三章 导数与微分,27,第三章 导数与微分,27,5.4 高阶导数,一、高阶导数的定义,二、高阶导数的计算,第三章 导数与微分,28,第三章 导数与微分,28,问题的引入：,一、高阶导数的定义,速度：,加速度：,存在，则称 f 在点x0处二阶可导，称该极限值为 f 在点 x0,处的二阶导数，记作.,若函数 f 的导函数 在点 x0 可导，即,变速直线运动,注：,若f 在I 的每点处都二阶可导,则f 在I上有二阶导函数,第三章 导数与微分,29,第三章 导数与微分,29,二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,一阶导数的导数称为二阶导数,一般地，函数 f(x)的 n-1 阶导函数的导函数称为,f(x)的 n 阶导(函)数.,记作,注：,f(x)称为 f(x)的零阶导数，称为 f(x)的一阶导数.,记作.,记作.,记作.,第三章 导数与微分,30,第三章 导数与微分,30,例1.求下列函数的各阶导数:,二、高阶导数的计算,1.逐阶求导，寻求规律，写出通式,第三章 导数与微分,31,第三章 导数与微分,31,乘法法则:,2.高阶导数求导法则*,加法法则:,莱布尼茨公式,例2.计算：,的 20 阶导数.,的二阶导数，其中 f 二阶可导.,不要求掌握,第三章 导数与微分,32,第三章 导数与微分,32,小结：导(函)数的计算,利用导函数：,一、的计算,根据函数构成：,二、的计算,反函数求导法则,复合函数求导法则,隐函数,参变量函数,幂指函数,利用求导法则,三、的计算,分段函数,第三章 导数与微分,33,第三章 导数与微分,33,5.5 微分,一、微分的定义,二、微分的几何意义,三、微分法则,四、微分的应用,第三章 导数与微分,34,第三章 导数与微分,34,则称 f 在点x0处可微，称 Ax 为 f 在点x0处的微分.,设函数 y=f(x)在某U(x0)内有定义,x0 处的自变量增量与,函数增量分别记为x,y.,若存在常数 A，使得,记作,或,一、微分的定义,且,注：,2.对自变量 x 有:dx=x,1.若f 在I 的每点处都可微，则称 f 为I 上的可微函数.,或写作,故,第三章 导数与微分,35,第三章 导数与微分,35,例1 求函数 y x 2 当 x 由 1 改变到 101 时的微分,例2 求函数 y ln x 的微分,dy 的计算：,例：,注：,第三章 导数与微分,36,第三章 导数与微分,36,二、微分的几何意义,几何意义：当 x 较小时，可近似以”直”(切线)代”曲”(曲线),第三章 导数与微分,37,第三章 导数与微分,37,三、微分法则,根据求导法则可以得到：,(一阶微分形式不变性),第三章 导数与微分,38,第三章 导数与微分,38,例3.求 的微分.,例4.求 的微分.,第三章 导数与微分,39,第三章 导数与微分,39,四、微分的应用,函数的近似计算,例如：,例6.试求 sin 33o 的近似值(保留三位有效数字).,问题:已知 f(x0)的值,试估计 f 在 x0 附近点 x 处的函数值.,特别地，在原点附近有,例5.试求 的近似值.,第三章 导数与微分,40,第三章 导数与微分,40,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,导数的概念,函数的增量问题,微分的概念,求导数与微分的方法,叫做 微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做 微分学.,导数与微分的联系:,近似计算的基本公式:,
