微积分总复习.ppt

总 复 习,极 限,（1）两个无穷小量的代数和仍为无穷小量;,（2）两个无穷小量的积仍为无穷小量；,（3）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量.,无穷大量的性质,（1）两个无穷大量的积仍为无穷大量；,（2）无穷大量与有界变量的和、差仍为无穷大量.,无穷大量与无穷小量的性质不同处,(1)两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量.,（2）无穷大量乘有界变量不一定是无穷大量.,无穷小量比较,记作,定理,1.极限的基本性质,性质1,（唯一性）,性质2,（局部有界性）,（局部保号性),性质3,性质4,（不等式性质）,结论1、,多项式或分母极限不为 0 的有理分式，,分母极限为 0 的有理分式,分子极限不为 0,分子极限为 0,约去零因子,结论2、,结论3、,无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量。,若分段函数在分段点处左右两侧表达式不同，求分段函数在分段点处的极限时，要利用定理：,计算无限项数列和的极限，要先求和，再求极限。,（夹逼定理或迫敛性）,定理,对于分段函数在分界点的连续性,一般按以下三步考察:,连 续,1.3.6 闭区间上连续函数的性质,推论,导 数,互为反函数的两个函数，它们的导数互为倒数。,隐函数的求导,取队数求导法,分段函数求导法,复合函数的微分法则、微分形式不变性.,求微分方法：,隐函数的微分,例,解法I,第一步，两边求微分，,第二步，解出dy，,解法II,先用隐函数求导法，求出,再用微分公式，求出,中值定理,二、拉格朗日中值定理(Lagrange):,一、罗尔定理（Rolle):,三、柯西中值定理(Cauchy),注意与零点定理应用的区别,应用,洛 必 达 法 则,3.2.1、型未定式,3.2.2、型未定式,3.2.3、其它未定式,讨论函数单调性、极值、凸性、拐点以及渐近线的步骤：,(1)确定函数的定义域;,(b)以上述点作为分点,将定义域分为若干个部分区间,(c)据表写出单调性、极值结论.,(I)首先讨论单调性、极值,(II)其次讨论凸性、拐点,(b)以上述点作为分点,将定义域分为若干个部分区间,(c)据表写出凸性、拐点结论.,(III)最后讨论渐近线,定积分的定义,定理4.2.1(微积分学基本定理),定理4.2.3 牛顿-莱布尼兹公式,1、直接积分法：就是直接利用已有的数学结论、积分基本公式与积分的性质来计算积分的方法,2、凑微分法（第一类换元法）,凑微分法的步骤,3、换元积分法(变量代换法),利用第二换元法，当被积函数含有根式时，可作如下变换：,三角代换,定积分换元：换元必须换限,4、分部积分法,或者,或者,1、幂函数三角函数,2、幂函数指数函数,把三角函数或指数函数放入微分号,3、幂函数对数函数(单一的对数函数）,4、幂函数反三角函数（单一的反三角函数）,把幂函数放入微分号,5、指数函数三角函数,解方程,求有理函数积分步骤：,1、将假有理分式分解为多项式与真分式之和;,2、真分式用凑微分法,或将真分式分解为部分分式之和;,3、求多项式与部分分式的积分.,有理函数的原函数都是初等函数.这类问题能 够彻底解决.,1.无穷积分,2.瑕积分,广义积分包括：无穷限积分 和瑕积分,仿照牛顿-莱布尼兹的形式，假设,记,注 瑕积分与定积分的记号在形式上相同，因此计算中应特别,注意。在下例中，如果没有发现x=1是瑕点，则会导致下面的错误解法,无穷限积分,是参,注：（1）此积分是收敛的。,例 1,例 2,例 3,常用的泊松积分，可以证明,例,解,定 积 分 应 用,1、平面图形的面积,X型：由垂直于x轴的直线穿过，以x为积分变量,Y型：由垂直于y轴的直线穿过，以y为积分变量,画草图.,得交点,取y 为积分变量,解.,由,积分区间为-2,4.,所求面积为:,取x为积分变量,积分区间为0,8.,2、已知截面面积函数的立体体积,3、旋转体体积,1.求由,绕 x 轴旋转一周而成的立体的体积V.,围成的曲边梯形,2.由,绕 y 轴旋转一周,围成的曲边梯形,而成的立体的体积为:,于是所求圆锥体的体积为：,补充例题 求以 r 为底半径,h为高的圆锥的体积。,解,OP 的直线方程为：,