微积分学PPt标准课件28-第28讲一元微分学应用.ppt

一元微积分学,大 学 数 学（一）,第一讲 一元微积分的应用(一),脚本编写：刘楚中,教案制作：刘楚中,函数的单调性、极值,第六章 一元微积分的应用,本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。,第六章 一元微积分的应用,第一、二节 运用导数研究函数,一、导数的简单应用,二、函数的单调性,三、函数极值,四、函数的最大值、最小值,五、函数的凹凸性,一、导数的简单应用,解,解,解,解,在实际问题中，往往是同时出现几个变量.变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数(例如，都是时间 t 的函数.)从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题.,解,解,解,下面我们运用函数的导数(微分)来研究函数的有关性质：单调性、凹凸性、极值等，并研究如何作出函数的图形.,由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:,二、函数的单调性,观察下面的图形,你能得出什么结论？,综上所述,可知:,提供了判断函数单调性的方法,解,三、函 数 的 极 值,函数的极值是个局部性的概念.,我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:,定理,费 马Pierre de Fermat(16011665),费马，法国数学家.出身于一个商人家庭.他的祖父、父亲、叔父都从商.他的父亲是当地的第二执政官,经办着一个生意兴隆的皮革商店.费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职.曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵族特权.精通 6 种语言.业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作.,费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”.,首先考察下列函数的图形:,判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右,对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号.,两侧函数的单调性.,(单调增加),(单调减少),(单调减少),(单调增加),定理,由定理中(1)的条件,得,由定理中(2)的条件,得,看这一部分,此时应另找其他方法.,高阶的泰勒展开式？,定理,列表讨论单调性,判别极值:,解,极小,极小,极大,解,解,首先看看函数的图形.,由图形可知:,不是函数的极值点.,问题在于如何进行解析描述.,我们再看一下泰勒公式：,就是说：,综上所述,定理,在工程技术和生产实践中,常常需要考虑,在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最,省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映,到数学上就是最优化问题.,优化技术应用价值很大,三、函 数 的 最大、最小值,怎样求函数在一个区间上 的最大、最小值呢？,温故而知新,最小值,只要先求出函数,一切极值可疑点(驻点和一阶导数不存在的,点),然后比较极值可疑点的函数值及区间端,点函数值,其中最大者就是函数,最小者就是函数,求最值的几个特殊情况,极大(小)值点,则该点就是函数的最大(小)值点.,实际判断原则,计算函数值:,(端点值),解,没有什么新的东西,设容积(体积)为 V,半径为 r,高为 h.,用料最省即指容器的表面积 A 最小.,应用题,解,又 A 的最小值一定存在,故当要求的容器的容积为 A 时,选择半径,某出版社出版一种书,印刷 x 册所需,成本为,每册售价 p 与,假设书可全部售出,问应将价格 p 定为多,少才能使出版社获利最大？,由经验公式,得,于是,得唯一极值可疑点,解,即为 Q 的最大点.,从而应将价格 p 定为,此时最大获利为,将一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁.,问应如何选择矩形截面的高 h 和宽 b才能使梁的抗,弯截面模量 W 最大？,由力学知识,梁的抗弯截面模量为,由右图可以看出：,解,问题归结为求函数 W 的最大值：,由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,故当,梁的抗弯截面模量最大.,极小,利用导数的性质证明不等式是一种常用的,技巧,它包含以下几个部分:,利用微分中值定理,利用泰勒公式(二阶以上的),利用函数的单调性,利用函数的极值和最值,