微积分复习(线面积分).ppt

,如何学习,一、曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,曲线、曲面积分,第九章,第 九 章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区 间 平面域 空间域,曲线积分,曲线弧,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,一、曲线积分的计算法,1.基本方法,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)选择积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,解答提示:,计算,其中L为圆周,提示:利用极坐标,原式=,说明:若用参数方程计算,则,1(1),1(3).计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,1(6).计算,其中 由平面 y=z 截球面,提示:因在 上有,故,原式=,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,(1)利用对称性及重心公式简化计算;,(2)利用积分与路径无关的等价条件;,(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);,(4)利用斯托克斯公式;,(5)利用两类曲线积分的联系公式.,2.基本技巧,例1.计算,其中 为曲线,解:利用轮换对称性,有,利用重心公式知,(的重心在原点),例2.计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心、,解法1 令,则,这说明积分与路径无关,故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2)若 L 同例2,如何计算下述积分:,(1)若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,思考题解答:,(1),(2),证:把,例3.设在上半平面,内函数,具有,连续偏导数,且对任意 t 0 都有,证明,对D内任意分段光滑的闭曲线L,都有,两边对t求导,得:,则有,因此结论成立.,(2006考研),计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,练习题:P244 题 3(5);P245 题 6;11.,3(5).,用格林公式:,P245 6.,设在右半平面 x 0 内,力,构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,P245 11.,求力,沿有向闭曲线 所作的,其中 为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,功,设三角形区域为,方向向上,则,方法2,利用,公式,斯托克斯公式,例4.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算,解:记 为平面,上 L 所围部分的上侧,D为 在 xOy 面上的投影.,由斯托克斯公式,公式,D 的形心,二、曲面积分的计算法,1.基本方法,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)选择积分变量 代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:始终非负,第二类:有向投影,(3)确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,思 考 题,1)二重积分是哪一类积分?,答:第一类曲面积分的特例.,2)设曲面,问下列等式是否成立?,不对!对坐标的积分与 的侧有关,2.基本技巧,(1)利用对称性及重心公式简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3)两类曲面积分的转化,练习:,P244 题4(3),其中 为半球面,的上侧.,且取下侧,原式=,P244 题4(2),P245 题 10 同样可利用高斯公式计算.,记半球域为,高斯公式有,计算,利用,例5.,证明:设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,例6.计算曲面积分,其中,解:,思考:本题 改为椭球面,时,应如何,计算?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式.,例7.设 是曲面,解:取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xOy 平面上夹于,之间的部分,且取下侧,取上侧,计算,则,第二项添加辅助面,再用高斯公式,注意曲面的方向!,得,例8.计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,备用题 1.已知平面区域,L为D 的边界,试证,证:(1)根据格林公式,所以相等,从而,左端相等,即(1)成立.,(2003 考研),因、两式右端积分具有轮换对称性,(2)由式,由轮换对称性,(1)在任一固定时刻,此卫星能监视的地球表面积是,2.地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机,能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像,若地球半径为R,卫星距地球表面高度为 H=0.25 R,卫星绕地球一周的时间为 T,试求,(2)在,解:如图建立坐标系.,的时间内,卫星监视的地球,表面积是多少?,多少?,设卫星绕 y 轴旋转,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为,(2)在,时间内监视的地球表面积为,点击图片任意处播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中S0 为盲区面积,(1)利用球坐标,任一固定时刻监视的地球表面积为,(2)在,其中盲区面积,时间内监视的地球表面积为,斯托克斯(Stokes)公式,例3.计算,其中L为双纽线,解:在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,例4.计算曲线积分,其中 为螺旋,的一段弧.,解:,线,例5.计算,其中 为球面,被平面 所截的圆周.,解:由对称性可知,例3.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,例4.设在力场,作用下,质点由,沿 移动到,解:(1),(2)的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中 为,例5.求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解:取 的参数方程,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,令,二者夹角为,例6.设,曲线段 L 的长度为s,证明,续,证:,设,说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,例7.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,区域 D 分类,单连通区域(无“洞”区域),多连通区域(有“洞”区域),域 D 边界L 的正向:域的内部靠左,定理1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,(格林公式),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有,(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在 D 内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明:,根据定理2,若在某区域D内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,定理2,4)若已知 d u=P dx+Q dy,则对D内任一分段光滑曲,定理2,注:此式称为曲线积分的基本公式(P211定理4).,它类似于微积分基本公式:,例4.计算,其中L 为上半,从 O(0,0)到 A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D,则,例5.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使,例6.验证,在右半平面(x 0)内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在 上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,例2.计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示 在平面,例3.,设,计算,解:锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的,投影域为,则,思考:若例3 中被积函数改为,计算结果如何?,例5.计算,解:取球面坐标系,则,有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦,0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面,0 为右侧 0 为左侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧,设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:,其面元,在 xOy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量.,分析:若 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R 叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2.定义：,引例中,流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面 上对 z,x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面 上对 x,y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面 上对 y,z 的曲面积分;,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,(2)用 表示 的反向曲面,则,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理:设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数,则,证:,取上侧,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧,则,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,令,向量形式,例4.位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为,解:,例5.设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角,计算,解:,例6.计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面 z=0,及 z=2 之间部分的下侧.,原式=,原式=,一、高斯(Gauss)公式,定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲,上有连续的一阶偏导数,函数 P,Q,R 在,面 所围成,则有,(Gauss 公式),高斯,的方向取外侧,例1.用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解:这里,利用Gauss 公式,得,原式=,及平面 z=0,z=3 所围空间,思考:若 改为内侧,结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?,利用质心公式,注意,例2.利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解:作辅助面,取上侧,介于z=0及 z=h,之间部分的下侧,为法向量的方向角.,所围区域为,则,一、斯托克斯公式,定理1.设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数,的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,证:,情形1.与平行 z 轴的直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见,不妨设 取上侧(如图).,则有,简介,则,(利用格林公式),定理1,因此,同理可证,三式相加,即得斯托克斯公式;,定理1,情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,注意:如果 是 xOy 面上的一块平面区域,则斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,证毕,定理1,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,定理1,例1.利用斯托克斯公式计算积分,其中 为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整,解:记三角形域为,取上侧,则,个边界,方向如图所示.,利用对称性,例2.为柱面,与平面 y=z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针,解:设 为平面 z=y 上被 所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,公式其他形式,计算,