微积分11 二重积分.ppt

第一节 二重积分的概念及性质,一、引例二、二重积分的定义三、二重积分的性质,解 分三步解决这个问题.,引例1 质量问题.,已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量)随点(x,y)的变化而连续变化,求D的质量.,分割 将D用两组曲线任意分割成n个小块:,其中任意两小块 和 除边界外无公共点.与一元函数的情况类似，我们用符号 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面.(i=1,2,n).,故所要求的质量m的近似值为,近似、求和 若记 为 的直径(即 表示 中任意两点间距离的最大值)，将任意一点 处的密度 近似看作为整个小块 的面密度.得,引例2 曲顶柱体的体积.,若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体的体积.,其中任意两小块 和 除边界外无公共点.其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.,取极限 若记，则定义,为所讨论的曲顶柱体的体积.,定义1 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.,分割 用任意两组曲线分割D成n个小块 其中任意两小块 和 除边界外无公共点，既表示第i小块，也表示第i小块的面积.,近似、求和 对任意点，作和式,取极限 若 为 的直径，记,若极限,存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点 的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为,(2),称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元，为面积微元(或面积元素).,由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质量等于其面密度 在D上的二重积分.因此二重积分 的物理意义可以解释为：二重积分的值等于面密度为f(x,y)的平面薄板D的质量.,二重积分 的几何意义：,(1)若在D上f(x,y)0，则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.,(2)若在D上f(x,y)0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下 方，二重积分 的值是负的，其绝对值 为该曲顶柱体的体积.,(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些 子区域上为负的，则 表示在这些子区域 上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).,二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).,二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的.,性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即,性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即,性质3 若D可以分为两个区域D1，D2，它们除边界外无公共点，则,性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则,性质5 若在D上处处有f(x,y)g(x,y)，则有,推论,性质6(估值定理)若在D上处处有mf(x,y)M，且S(D)为区域D的面积，则,(3),证 由f(x,y)在D上连续知，f(x,y)在D上能达到其最小值m和最大值M，因而估值式(3)成立.即有,成立.再由有界闭区域上连续函数的介值定理知，存在，使,(5),(5)式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值.因而，积分中值定理又可以这样说：“对有界闭区域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点 使 取f(x,y)在D上的平均值”.故积分中值定理也是连续函数的平均值定理.,例1 设D是圆域：，证明,解 在D上，的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面积S(D)=4=3.由估值公 式(3)得,第二节 二重积分的计算,一、二重积分在直角坐标系下的计算二、二重积分在极坐标系下的计算,二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.,在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个小块 从而有,由定积分的几何应用：设一立体满足，,在区间a,b上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体积,设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为,(1),在a,b上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投影到Oyz坐标面，它是区间y1(x),y2(x)上，以z=f(x,y)为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面的面积可以由对变元y的定积分来表示.,故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为,(2),将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分.,为了简便常记为,需要指出，计算 时，应将x视为常量，按定积分的计算方法解之.,同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为,(3),在c,d上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，则,所给立体体积,因此,(4),即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.,先对x积分时，中的y应视为常量，按定积分的计算方法解之.,在上述讨论中，我们假定f(x,y)0，但是实际上，上述结论并不受此限制.,如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个子区域，其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及重积分的可加性可求区域D上的二重积分.,为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：,(1)画出积分区域D的图形.,(2)若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方法是：,作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线，作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称之为出口曲线，作为积分上限.,而后对x积分时，其积分区间为区域D在Ox轴上投影区间a,b，a是下限，b是上限，即,如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时，在不同的范围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定.,例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所围成的四面体的体积.,解 即求以z=62x3y为顶，以ABC围成区域D为底的柱体体积.也就是计算二重积分,解法1 先对y积分.,作平行于y轴的直线与区域D相交，入口曲线为y=0，作为积分下限.出口曲线为，作为积分上限.,解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D 相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积 分下限，出口曲线为，作为积分上 限.积分区域D在y轴上投影区间为0,2，,这个结果与我们熟知的四面体的体积是一致的.,例2 计算积分，其中D是正方形区域：,解 像这样的正方形区域可以不必画，即得,例3 计算积分，其中D是由y=x，y=0和 所围成的三角形区域.,解法1 先对y积分.作平行于y轴的直线与积分 区域D相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为.,解法2 先对x积分.作平行于x轴的直线与积分区域D相交，沿x轴的正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为.D在y轴上的投影区间为.故,例4 计算积分，其中D由 y0确定.,解法1 先对y积分，作平行于y轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线y=0；出口曲线为，因此,解法2 先对x积分.作平行于x轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线为，出口曲线为，因此,比较两种解法可知，解法1比解法2简便些.说明将二重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序.,例5 计算积分，其中D是由不等式：所确定的长方形区域.,解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先对x积分，需用分部积分法.如先对y积分则不必，计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即,例6 计算，其中D由不等式及 所确定.,解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分.,作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为，出口曲线为y=x，因此,x轴上的积分区间为1,2.,解法2 化为先对x积分后对y积分的二次积分.,作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入口曲线不唯一，这需要将积分区域分为两个子区域.,在y轴上的积分区间为,当 时，平行于x轴的直线与区域D相交时，沿x轴正方向看，入口曲线为，出口曲线为x=2.,当 时，平行于x轴的直线与区域D相交时,沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.,显然解法1较简便.因此选择积分次序是将二重积分化为二次积分的重要问题.,例7 计算积分，其中区域D由直线y=x，y=0与x=1围成的区域.,解 由不定积分可知 不能用初等函数表示出来，因此，所给积分不能化为先对x积分后对y积分的积分次序.,欲化为先对y积分后对x积分的二次积分.作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，因此,将积分区域D投影到x轴上，投影区间为0,1.故,例8 计算二次积分,解 由不定积分可知 其被积函数 的原函数不能用初等函数表示，因此依题中所给积分次序不能计算出此二重积分.对此类问题常考虑采用交换积分次序的方法来解决.其一般步骤为：,(1)先依给定的二次积分限，定出积分区域D的范围，并依此作出D的图形.,(2)再依区域D的图形，依前述确定积分限的方法，确定出另一种积分次序的积分限.,由给定的积分限可知积分区域D的范围为,例8通常又称为交换二重积分次序问题.,例9 交换二次积分 的符号分次序.,解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.先依给定的积分限将积分区域Di用不等式表示：,如果转换为先对y积分，后对x积分，只需作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=x，出口曲线为y=2x，因此在D中，,例10 交换二次积分,的积分次序.,解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.,而 的解为(1,1),如果换为先对x积分，后对y积分，作平行于x轴的直线与D相交，沿x轴正方向看，入口曲线线，出口曲线为x=2y，因此.在区域D中,于是,由于 的解为(1,1)，,若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为，则有如下关系：,在极坐标系中，我们用r=常数和=常数来分割区域D.设 是由半径为r和 的两个圆弧与极角等于 和 的两条射线所围成的小区域.这个小区域近似地看作是边长为 和 的小矩形，所以它的面积,因此，在极坐标系中,于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为,这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式.,公式(6)区域D左端的边界的曲线方程应利用直角坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示.,现在分三种情形讨论：,(1)若极点在区域D之外.为了确定的变化范围，过原点作两射线：=和=，使D恰好被夹在 此二射线之间，且.那么，便知取值范围是；再确定r的取值范围.则D可以记为,从而有,(2)极点在区域D的边界线上，D的边界曲线为,又设射线 刚好夹住区域D，且,则D可以表记为,则有,(3)若极点在区域D的内部，D的边界曲线为.则D可以记为,则有,如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.,通常出现下面两类问题：,1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：,(1)将 代入被积函数.,(2)将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.,(3)将面积元dxdy换为.,2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.,例11 计算二重积分 区域D为由x2+y2=2y及x=0围成的第一象限内的区域.,解,区域D为第一象限内的圆心为(0,1)，半径为1的右半圆，极点在D的边界线上.D的边界曲线为x2+y2=2y，,用 代换，可得极坐标表达式.此时D可以表示为,例12 计算二重积分,其中D为,区域D的边界曲线为，将 代换，得极坐标系下的表达式r=1.因此D可以表示为,例13 求，D是由y=x，y=0，x2+y2=1在第一象限内所围成的区域.,区域D可以表示为,例14 计算二重积分，其中D是单位圆域：,例15 计算积分,解 积分域是圆环，D可以表示为：,例16 用极坐标计算例4中的二重积分.积分区域同例4中的D.,解 显然D可以表示为：有 故,例17 计算二重积分，其中D是由不等式 所确定的区域.,解 积分区域D由y=x和x2+y2=2x所围的弓形区 域.半圆的极坐标方程是，故,例18 计算积分，其中D是由不等式 所确定的区域.,例19 设f(x)为区间a,b上的连续函数，证明：对任意，总有,作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=b.因此 区域D上有.可得知,故原命题成立.,第三节 二重积分的应用,一、求平面图形的面积,二、求空间立体的体积,三、求平面薄片的质量,由二重积分的几何解释可以知道：以曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的直曲顶柱体的体积为：,特别当f(x,y)=1时，平面D的面积为：,由二重积分的物理解释可以知道，密度为f(x,y)的平面薄板D的质量为：,例1 求由抛物线x=y2和直线xy=2所围成图形的面积.,作平行于x轴的直线与y轴相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y2，出口曲线为x=2+y.因此,区域D在y轴上的投影区间为1,2.故,由二重积分的几何意义，若,在D上连续，,则以D为底，以,为顶的曲顶柱体的体积为,例2 设平面x=1，x=1，y=1和y=1围成的柱体被坐标平面z=0和平面x+y+z=3所截，求截下部分立体的体积.,解 由于所截得的形体是一个曲顶直柱体，其曲顶为z=3xy，而其底,因此，由二重积分的几何应用得到,例3 设平面薄片D是由x+y=2，y=x和x轴所围成的区域，它的密度，求该薄片的质量.,解 平面薄片D,先解方程组,得两曲线的交点为(1,1)，D可用不等式表示为,例4 设平面薄片D为介于圆 之外，而在圆 内的区域，且D内点(x,y)处的密度,求该平面薄片质量.,解 平面薄片D.,极点在区域D的边界上.区域D为极坐标系下的不等式表达式为,注意到，则,例5 设平面薄片所占Oxy平面上的区域D为，面密度为,求该薄片的质量m.,解 由二重积分的物理意义可知,