微分方程初步.ppt

【教育类精品资料】,9.1-9.2微分方程初步,积分问题,微分方程问题,推广,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,一、微分方程的基本概念,若未知函数都是一元函数，该微分方程称为常微分方程,切线斜率为 2x,求该曲线的方程.,引例,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C=1,因此所求曲线方程为,由 得,使方程成为恒等式的函数,微分方程的解,通解,（解中包含一个任意常数C）,特解,不含任意常数的解,分离变量微分方程,二、可分离变量的微分方程,分离变量方程的解法:,两边积分,得,则有,-方程的隐式通解,例1 求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,(C 为任意常数),(此式含分离变量时丢失的解 y=0),说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,例2 解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,由初始条件得 C=0,(C 为任意常数),故所求特解为,练习,解：分离变量,(C 0),两边积分得,三、齐次微分方程,三、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程；,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例1 解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,代入方程得,解得,故原方程通解为,