微分中值定理是极值问题、洛必达法则的理论基础.ppt

第三章 中值定理与导数的应用,微分中值定理是极值问题、洛必达法则的理论基础。Taylor展式开辟了计算数学的先河，是计量经济学、精算数学必不可少的基础理论。,第一节 导数的应用-中值定理,本节课的主要内容：,一个引理（费尔马定理），三个定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）。,一、罗尔(Rolle)定理,通常称导数为零的点为函数驻点（或称为稳定点，临界点）。,引理（费尔马Fermat定理）,局部最值（极值点）,可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.,费马定理的几何解释,如何证明？,引理（费尔马Fermat定理）,证明思路：,证明,保号性,例如,The theorem of Rolle,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,分析：,证明：,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,例如,例如,例1,分析,134页12,证,例1,练 习,证,134页 5,其中,综上所述,连续,可微,端点函数值相等,例2,分析,由罗尔定理,至少存在一点,证,分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.,练 习,证,对于罗尔定理中的第三个条件，很多函数都不满足，这样就限制了罗尔定理的适用范围。要是能取消就好了。,拉格朗日中值公式,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,分析:,分析:,证明：,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,微分中值定理,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,推论,注：,证明：,例3,证,练 习,证,证,由上式得,例4,证,练 习,对于拉格朗日中值定理，需要求函数的导数，我们知道对于参数方程（尤其是无法消参的参数方程）求导比较困难。于是我们，找到了更一般的柯西中值定理。,如何用中值定理表述？,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.,分析:,证明：,例4,分析:,证,分析,练 习,证,总结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,作业,习题3-1 1、4、5、7、8、9、12、14,