微分中值定理与泰勒公式内容要点.ppt

微分中值定理与泰勒公式,一、微分中值定理,1.Rolle定理,1 微分中值定理,2.Lagrange定理,3.Cauchy定理,4.Lagrange定理的推论,二、微分中值定理的主要应用,1.证明等式;,2.证明恒等式;,3.证明不等式;,4.讨论方程实根（或函数零点）的存在性,三、掌握微分中值定理应用方法的关键,在分析解题思路时，必须紧紧抓住“定理”、“函数”、“区间”三要素,“函数”辅助函数的构造,“定理”适用定理的选择,“区间”讨论区间的确定,四、运用中值定理证明关于一个中间点 的等式的统一方法,构造辅助函数，运用罗尔定理,辅助函数的构造方法：解微分方程法,第一步：将所证结论中的换成得一微分方程；,第二步：求微分方程的通解；,第三步：将通解恒等变形，使等式右端仅含常数，则左端即为所求作之辅助函数,五、运用中值定理证明关于两个中间点等式的方法,方法一：构造辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算,方法二：构造两个辅助函数，在同一个区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算,方法三：构造两个辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算,六、运用中值定理证明恒等式的统一方法,构造辅助函数，运用拉氏推论,辅助函数的构造方法：“减法”或“除法”,七、运用中值定理证明不等式的统一方法,构造辅助函数，运用拉、柯定理,2 泰勒公式,一、泰勒公式,二、泰勒公式的主要应用,1.证明等式;,2.证明不等式;,3.讨论方程实根（或函数零点）的存在性,三、泰勒公式的适用情形,题设函数具有二阶或二阶以上的导数,四、掌握泰勒公式应用方法的关键,正确选择“展开点 x0”及被展开的函数值,“展开点 x0”的选择方法：,(1)区间的中点；,(2)区间的端点；,（如：满足 或 的点.）,(4)区间内具有某种特殊 性质的点.,(3)区间内的任一点.,被展开函数值的选择方法：,(1)区间的中点处的函数值；,(2)区间的端点处的函数值；,(3)区间内任一点处的函数值.,