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12-1 梁弯曲时的正应力,12-2 惯性矩的计算,12-3 梁弯曲时的强度计算,12-4 梁弯曲时的切应力,12-5 提高弯曲强度的措施,第十二章 弯曲应力,梁横截面上 与弯矩M对应，与剪力F对应。,纯弯曲(pure bending)梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。,12-1 梁弯曲时的正应力,一、弯曲分类,横力弯曲(bending by transverse force)梁横截面上既有弯矩又有剪力；相应的，横截面既有正应力又有切应力。,二、纯弯曲时的正应力,计算公式的推导,(1)几何关系变形与应变,观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况,.弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；,.相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。,根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：,平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。,此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。,横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层(图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中性轴(neutral axis)。,（f),令中性层的半径为r(如图c)，则有,3纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为,(c),(2)物理关系力与变形（应力、应变）,梁的材料在线弹性范围内工作（胡克定律），且拉、压弹性模量相同时，有,这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按线性规律变化,即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离 y 成正比。,(3)静力学关系 应力与内力。,梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素sdA(图d)不可能组成轴力()，也不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩()，只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即,(d),将 代入上述三个静力学条件，有,(a),(b),(c),以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，属于截面的几何性质，而,其中,为截面对于z轴的静矩(static moment of an area)或一次矩（形心计算公式），其单位为m3。,为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。,为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita of an area)或二次轴矩，其单位为m4。,由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而该两式要求：,1.横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；,2.横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零，；在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。,(a),(b),(c),由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为,上式中的EIz称为梁的抗弯刚度（对Z轴）。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。,将上式代入得出的式子 即得弯曲正应力计算公式：,(c),应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。,中性轴 z 为横截面对称轴的梁(图a，b)其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁(图c)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。,中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为,式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）(section modulus in bending)，其单位为m3。,中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为,(1)矩形截面,简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数,思考:一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于形心轴 z 的惯性矩是否也是？,(2)圆截面,在等直圆杆扭转问题中已求得：,而由图可见，2=y2+z2,从而知,而弯曲截面系数为,根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得,(3)空心圆截面,由于空心圆截面的面积等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有,式中，。,根据对称性可知：,思考：空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？,而空心圆截面的弯曲截面系数为,纯弯曲理论的推广,工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即,例题12-1 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力smax。,解：在不考虑梁的自重()的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为,由型钢规格表查得56a号工字钢截面,于是有,显然，梁的自重引起的最大正应力仅为,而危险截面上的最大正应力变为,远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。,如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为,工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x，y(本节中的x轴就是以前我们所用的z轴)的一些几何性质，例如：,惯性矩(moment of inertia),惯性积(product of inertia),12-2 惯性矩的计算,在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自身形心且平行于组合截面某个轴(例如x轴)的惯性矩时，组合截面的惯性矩可利用平行移轴公式求得。组合截面对于某对相互垂直的轴(例如x，y轴)的惯性积也可类似地求得。,x,已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩 及惯性积，现需导出该截面对于与形心轴xC，yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为,1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式,因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为,于是有,注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 等于零，从而有,同理可得,以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。,2.组合截面的惯性矩及惯性积,若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为,x,例题12-2 试求图a所示截面对于x轴的惯性矩Ix，对于y轴的惯性矩Iy，以及对于x，y轴的惯性积Ixy。,(a),解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图b所示。,(1)求Ix,设矩形对x轴的惯性矩为，每个半圆形对x轴的惯性矩为，则有,其中：,至于 则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可得，而半圆形对于直径轴x(图b)的惯性矩等于圆形对x轴的惯性矩 的一半，于是得,然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：,将 d=80 mm，a=100 mm 代入后得,从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：,（2）求Iy,此组合截面的y轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式而有,将 d=80 mm，a=100 mm 代入后得,（3）求 Ixy,由 可知，只要x 轴或y 轴为截面的对称轴，则由于与该轴对称的任何两个面积元素dA的惯性积xydA数值相等而正负号相反，致使整个截面的惯性积必定等于零。图a所示截面的x 轴和y 轴都是对称轴，当然Ixy=0。,12-3 梁弯曲时的强度计算,等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：,式中，s为材料的许用弯曲正应力。,对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作,由拉、压许用应力st和sc不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力st和许用压应力sc。,(a),(b),例题12-3 图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力s=152 MPa。试选择工字钢的号码。,解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示,强度条件 要求：,此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。,由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为,此时危险截面上的最大工作应力为,其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。,如果计入梁的自重，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为,例12-4,如图所示一个铸铁梁，求此梁的最大压应力和最大拉应力,1、计算约束力,2、画出剪力弯矩图,？最大拉应力和最大压应力是否都发生在截面 C,3、计算截面的几何性质,设截面的形心位于 O 点,4、应力计算,考察C截面，弯矩为正,C截面下边受拉上边受压,4、应力计算,考察B截面，弯矩为负,B截面上边受拉下边受压,至此，该问题中最大拉应力位于B截面的上边缘，而最大压应力位于C截面的上边缘,一、矩形截面梁的切应力公式推导*,儒拉夫斯基假设,1）截面上任意一点的切应力 t 的方向和该截面上的剪力FQ的方向平行。,2）切应力沿宽度均匀分布，即t 的大小只与距离中性轴的距离有关。,12-4 梁弯曲时的切应力,取简支梁中dx的微段进行受力分析,若所切微段上无横向外力作用，则两截面的剪力相等。,则该微段上的应力分布如图,弯矩不同，两侧截面上的正应力也不相同,按照儒拉夫斯基假设，切应力和剪力平行。,为了研究横截面上距离中性层 y 处的切应力t的数值，可在该处用一个平行于中性层的纵截面pp1，将微段的下半部分截出。,研究 x 方向的平衡,距中性轴为 y 处的横线以外部分横截面积A1对中性轴的静矩。,同理可得,研究 x 方向的平衡,顶边分布的切应力的合力 dF的大小,由,横截面上的剪力,整个截面对中性轴的惯性矩,梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩,所求切应力点的位置的梁截面的宽度。,上述公式对组合矩形截面梁亦可使用。,对于矩形截面梁，公式可以进行转换,这样，公式可以改写为,在截面的两端，y=h/2,在中性层，y=0,如图切应力分布规律,二、特殊界面切应力,1.矩形截面梁,2.工字形截面梁,工字形截面由翼缘和腹板组成,上翼缘,下翼缘,腹板,由于腹板截面是狭长矩形，因此儒拉夫斯基假设仍然适用，若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。,经计算可得公式为,沿高度的分布规律如图,结果表明，腹板几乎全部承担了横截面上的剪力，且最大切应力和最小切应力相差不大，因此接近均匀分布。,3.圆形圆环形截面梁,根据分析结果，圆形和圆环形截面梁的最大弯曲切应力发生在中性轴上，并且沿中性轴均匀分布，其值分别为:,圆形截面,圆环形（薄壁）截面,4.T形截面梁,T形截面梁上的切应力分布规律如图所示：,最大切应力位于中性轴，大小为:,横截面中性轴z一侧面积（上部或下部对z轴的静矩）,腹板宽度,例12-5,如图所示矩形截面梁，已知,求 危险截面上a、c、d、e、f 五点的正应力和切应力,1）确定危险截面，首先画出剪力弯矩图,危险截面位于B截面右侧,2）计算截面惯性矩,3）计算正应力,拉,拉,位于中性轴,压,压,3）计算切应力,一、合理配置梁的荷载和支座,12.5 提高弯曲强度的措施,二、合理选取截面形状,(1)尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。,由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：,图a所示截面,图b所示截面,图c所示截面,图d所示截面,(2)对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料(例如建筑用钢)制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。,例 4-18 图,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,因,即,三、合理设计梁的外形,可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种变截面梁称为等强度梁。,
