建筑力学第四章-杆件的强度、刚度和稳定性计算.ppt

第四章 杆件的强度、刚度和稳定性计算,第一节 应力、应变、胡克定律1、应力 平衡力系作用下的杆件虽然不会产生运动，但一定会产生变形。的概念：考虑受力杆件I-I截面上任意一点A称为面积A上的平均应力。而 称为A点出的应力 应力表示了受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度，内力集度.,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。,应力就是单位面积上的力,正应力：杆件内部应力p的截面法线分量称为正应力。剪应力：杆件内部应力p的截面切线分量称为剪应力。应力的单位是帕斯卡，简称帕（Pa）1MPa(兆帕)=106 Pa，1GPa(吉帕)=109 P,内力：横截面上所有点应力的总和。,轴力FN表示截面上所有点正应力在轴线（或法线）方向上作用的总和。,剪力FQ表示截面上所有点剪应力在切线方向上作用的总和。,当同一横截面上正应力有正有负时，弯矩M表示截面上所有点正应力对正负应力分界轴x-x的力偶作用。,扭矩FT表示截面上所有点剪应力对截面中心点O点的力偶作用。,剪力FQ表示截面上所有点剪应力在切线方向上作用的总和。,当同一横截面上正应力有正有负时，弯矩M表示截面上所有点正应力对正负应力分界轴x-x的力偶作用。,扭矩FT表示截面上所有点剪应力对截面中心点O点的力偶作用。,刚度：构件抵抗变形的能力。杆件受轴向力作用时，沿杆轴方向会伸长（或缩短），称为纵向变形；同时杆的横向尺寸将减少（或增大），称为横向变形。,1）纵向变形与胡克定律,长为 的等直杆，在轴向力作用下，伸长了,纵向线应变为：,试验表明：当杆内的应力不超过材料的某一极限值，则正应力和正应变成线性正比关系,2、轴向拉伸（压缩）变形,称为胡克定律,英国科学家胡克（Robet Hooke，16351703）于1678年首次用试验方法论证了这种线性关系后提出的。,胡克定律：,EA称为杆的拉压刚度,上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A均为常值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。比例常数E 称为弹性模量，它表示材料在拉伸（压缩）时抵抗变形的能力，量纲与应力相同，常用单位为MPa.,2）横向变形、泊松比,横向正应变为：,当应力不超过一定限度时，横向应变与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。,法国科学家泊松（17811840）于1829年从理论上推演得出的结果。,横向变形因数或泊松比,表4-1给出了常用材料的E、值。,三、变形计算,常用材料的E、值,选择材料与材料的机械性质有关,确定尺寸与截面大小、形状有关,在面积A相同，但形状不同的情况下，应力分布不同。,平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算中不可缺少的几何参数。,第二节 截面的几何性质,截面的形心就是截面图形的几何中心,一、形心,1、形心的概念,通过形心的坐标轴称为形心轴,截面的形心就是截面图形的几何中心,一、形心,1、形心的概念,通过形心的坐标轴称为形心轴,形心坐标公式,解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则,例1 求图示图形的形心。,由于对称知：xC=0,1、静矩,A,平面图形对y轴的静矩,平面图形对z轴的静矩,单位：,二、静矩和惯性矩,（1）静矩可0；0；0。,（2）若图形形心C已知，则：,（3）求静矩的另一公式：,（4）,如果平面图形具有对称轴，则平面图形的形心必然在对称轴上。平面图形对其对称轴的静矩必为零。,若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必通过图形的形心。,轴过形心 S该轴=0,组合图形的静矩计算公式,求所示图形对y轴的静矩,z,z+dz,解：,2、惯性矩,A,ydA,A,zdA,图形对y轴的惯性矩,图形对z轴的惯性矩,单位：,惯性矩恒0；,例1、矩形。求,解：,（1）,（2）,dz,同理,c,例2、圆形。,3、平行移轴公式,已知:,(y、z轴过形心C),求,解：,平行移轴公式,注意：,（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算;,（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心轴的惯性矩最小.,根据定义：,整个图形对某一轴的静矩、惯性矩等于各个分图形对同一轴的静矩、惯性矩之和。,I,II,III,4、组合图形惯性矩的计算,例如:,则,同理,空心圆,其中,例：T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。,解:,(1)求形心,C,任选参考坐标系,如,I,II,而,(2)求,即：,惯性半径,（单位：）,5、惯性半径,工程中因为计算需要，常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积。,例：1、矩形。求,解：,dz,c,力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能。材料的力学性能 工程材料根据其断裂时发生变形的大小分为脆性材料和塑性材料两大类。在常温、静载条件下，这两种材料在拉伸和压缩时的力学性能具有明显的差异。,第三节 杆件的轴向拉伸（压缩）,1、材料在轴向拉伸（压缩）时的力学性能,1）低碳钢拉伸时的力学性能,常温、静载,标准试样（圆截面）,标准试样（矩形截面）,试样原始标距与原始横截面面积 关系者,有为比例试样。国际上使用的比例系数k的值为5.65。,若k 为5.65的值不能符合这一最小标距要求时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）。,应力应变图,（1）弹性阶段（Ob 段）,Oa 段为直线段，说明正应力和正应变成线性正比，材料遵循胡克定律，即=E。a点对应的应力称为比例极限，用P表示。弹性阶段最高点b对应的应力值为弹性极限，用e表示。,弹性模量E和 的关系：,应力应变图,过b点，应力变化不大，应变急剧增大，曲线上出现水平锯齿形状，材料失去继续抵抗变形的能力，发生屈服现象。工程上常称下屈服强度为材料的屈服极限，用s表示。材料在屈服阶段，其弹性变形基本不再增长，而塑性变形迅速增加，不能使用胡克定律。材料屈服时，在光滑试样表面可以观察到与轴线成的纹线，称为45滑移线。,（2）屈服阶段（bc 段）,材料晶格重组后，又增加了抵抗变形的能力，要使试件继续伸长就必须再增加拉力，这阶段称为强化阶段。曲线最高点d处的应力，称为强度极限(b)。若将杆件拉伸到强化阶段的某一点k时停止加载，并逐步卸载到零，则试样的应力应变曲线会沿着kO1回到O1，卸载后消失的应变O1k1为弹性应变，保留下的应变OO1为塑性应变。冷作硬化现象，在强化阶段某一点 k处，缓慢卸载，冷作硬化使材料的弹性强度提高，而塑性降低的现象。,（3）强化阶段（cd 段）,代表材料强度性能的主要指标：屈服极限s和 强度极限b,（4）局部径缩阶段（de段）,试样变形集中到某一局部区域，由于该区域横截面的收缩，形成了图示的“颈缩”现象最后在“颈缩”处被拉断。,两个塑性指标:,延伸率,断面收缩率,为塑性材料,为脆性材料,低碳钢的,为塑性材料,（2)延伸率和截面收缩率,杆件拉断后，弹性变形全部消失，而塑性变形保留下来。,（3）低碳钢压缩时的力学性能,试件和实验条件,常温、静载,屈服极限,比例极限,弹性极限,拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。,E-弹性摸量,塑性材料（低碳钢）的压缩,对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。,b拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。,（1）拉伸性能,2）铸铁的力学性能,脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同,压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限,（2）压缩性能,对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限0.2来表示。,3）其它材料的力学性能,建筑专业用的混凝土，压缩时的应力应变图，如图示。,混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右。,几种常用材料的主要力学性能,1.极限应力 塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显的塑性变形，影响其正常工作，称之为失效，因此把屈服极限作为塑性材料极限应力。即=s 脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失效的唯一标志，因而把强度极限作为脆性材料的极限应力。即=b 根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通称为极限应力(),4）许用应力与安全系数,工作应力杆件工作时由荷载引起的应力极限应力使材料丧失正常工作能力的应力,把极限应力除以一个大于1的因数，得到的应力值称为许用应力(),大于1的因数n 称为安全因数。,工程中安全因数n的取值范围，由国家标准规定，一般不能任意改变。,2.许用应力,思考：两根材料相同、粗细不同的直杆，在相同的拉力作用下，随着拉力的增加，哪根杆首先被拉断？答案：细杆说明：杆件的强度不仅与内力有关，而且与截面的尺寸有关。,哪个杆先破坏?,2、轴向拉伸（压缩）的强度计算,为了研究构件的强度问题，必须研究内力在截面上的分布集度应力。杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。,等截面直杆的假设推论：（1）平面假设：杆件横截面变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂直于杆轴。（2）横截面只沿杆轴线平行移动，任何两个横截面之间所有纵向纤维的伸长量（或缩短量）均相等，横截面上只有正应力，而且各点处的正应力都相等。,1）正应力计算公式 计算公式：,该式为横截面上的正应力计算公式。正应力和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。,A拉（压）杆横截面面积FN轴力,对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上，其计算公式为：,习惯上把杆件在荷载只有下产生的应力，称为工作应力。并且通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点称为危险点。对于产生轴向拉（压）变形的等直杆。轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任意一点都是危险点。,轴向拉压杆的强度条件,强度：构件抵抗破坏的能力。为了保障构件安全工作，构件内最大工作应力必须小于许用应力。,公式称为拉压杆的强度条件,2）强度条件,对于塑性材料的等截面杆，强度条件式为：,对于脆性材料的等截面杆，强度条件式为：,最大工作拉应力和允许拉应力,最大工作压应力和允许压应力,利用强度条件，可以解决以下三类强度问题：1、强度校核：在已知拉压杆的形状、尺寸和许用应力及受力情况下，检验构件能否满足上述强度条件，以判别构件能否安全工作。,轴向拉压杆的强度计算,在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%，在工程中仍然是允许的。,例题：起重吊钩的上端借螺母固定，若吊钩,螺栓内径,材料容许应力,试校核螺栓部分的强度。,计算螺栓内径处的面积,吊钩螺栓部分安全。,解：,2、设计截面：已知拉压杆所受的载荷及所用材料的许用应力，根据强度条件设计截面的形状和尺寸，表达式为：,在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%，在工程中仍然是允许的。,例题：图示一托架，AC是圆钢杆，许用拉应力,，BC是方木杆，,试选定钢杆直径d？,解：（1）、轴力分析。,并假设钢杆的轴力,3、计算许用载荷：已知拉压杆的截面尺寸及所用材料的容许应力，计算杆件所能承受的容许轴力，再根据此轴力计算容许载荷，表达式为：,在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%，在工程中仍然是允许的。,例题：已知一个三角架，AB杆由两根80807等边角钢组成，横截面积为A1，长度为2 m，AC杆由两根10号槽刚组成，横截面积为A2，钢材为3号钢，容许应力 求：容许载荷？,解：,（2）、计算容许轴力,查型钢表：,（1）、对A节点受力分析：,由强度计算公式：,（3）、计算容许载荷：,梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。,M,FQ,一、弯曲时梁的正应力计算公式,第 四 节 杆件的平面弯曲,1、弯曲正应力计算公式,纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。,平面弯曲,纯弯曲只有M无FQ,横力弯曲FQ、M同时存在,纯弯曲时梁横截面上的正应力,67,（1）实验观察与分析,1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。,2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。,1、平面假设：变形前杆件的横截面变形后仍为平面。,2.单向受力假设：各纵向纤维之间互不挤压。纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。因此梁横截面上只有正应力而无剪应力,68,梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层.,中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时，各横截面绕中性轴转动。,中性层,中性轴,横截面对称轴,纵向对称面,69,（2）正应力公式推导,1）变形几何条件,max,max,对于指定截面，为常数。,2）应力与应变的物理关系,由胡克定律的横截面上坐标为y处各点的正应力为：,横截面上正应力分布规律：1、受拉区 拉应力，受压区 压应力。2、中性轴上应力为零。3、沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。既沿截面宽度均匀分布。4、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处。若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力。,72,梁纯弯曲时横截面上任一点正应力计算公式：,MZ:横截面上的弯矩y:到中性轴的距离IZ:截面对中性轴的惯性矩，与截面形状和尺寸有关，常用单位为m4或mm4。,3）静力条件,使用此公式注意：公式中的M、y都用绝对值，的正负由M的正负判断。M0时：下侧受拉，中性轴以下0，以上0计算梁中某截面上一点的正应力步骤：（1）明确截面在梁上的位置，以便根据弯矩图确定截面的弯矩值；（2）计算截面对中性轴的惯性矩IZ(若中性轴Z轴位置，先求形心位置）；（3）计算点到中心轴距离y；（4）根据公式计算正应力，其正负号可根据M值及y的位置判断。,横力弯曲时正应力计算,横力弯曲时，截面上不仅有正应力，而且有剪应力，平面假设不严格成立。此外，在横力弯曲下，还有由横向力引起的挤压应力，因此与纯弯曲存在差异。但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时，剪力对正应力分布规律影响很小，所以纯弯曲正应力计算公式近似成立，即：,二、梁的正应力强度计算,为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。,横截面上距中性轴最远边缘处的弯曲正应力最大,即：,对于矩形截面：,Wz 称为抗弯截面系数（模量）与截面形状和尺寸有关，常用单位为m3或 mm3。,令,则,对于圆形截面：,d/2,如果梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力分别为：,最大拉压力,最大压应力,简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式,型钢查型钢表,1、梁的正应力强度条件,对于低碳钢等塑性材料，常将梁做成矩形、圆形、工字形等中心轴对称的截面，其弯曲正应力的强度条件为：,对于铸铁等脆性材料，常将梁做成T形等中心轴不对称的截面，其最大拉应力和最大压应力的强度条件为：,y1和y2分别表示梁上拉应力和压应力最大点离中心轴的距离；+和-分别为脆性材料的弯曲容许拉应力和容许压应力。,强度条件,利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算：正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。,强度条件的应用,1、强度校核,2、设计截面,3、确定容许荷载,81,长为l 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。,（压）,例,82,图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度L2m。yc96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。,三、提高梁抗弯强度的措施,弯曲正应力强度条件通常是控制量的强度的主要因素。提高梁强度的两种方法：1）合理安排梁的受力情况，降低梁的最大弯矩值；2）采用合理的截面形状，提高其抗弯截面模量的数值。,1.合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值,合理布置梁的支座,适当增加梁的支座,改善荷载的布置情况,2.选择合理的截面形状，尽量增大Wz值,梁的合理截面,工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理,根据材料特性选择截面,对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面,3.采用变截面梁,例:外伸梁,T 形梁截面，用铸铁制成，,校核梁的强度。,解：（1）梁的内力分析，找出危险截面,危险截面：B,D？,（2）找出危险截面上的危险点,危险点：a,b,d,de,d和a谁大谁小要计算,（3）计算危险点应力 校核强度,最大压应力：,最大拉应力：,梁的强度符合要求,95,四、梁的切应力强度计算,前面我们学习了，梁弯曲时横截面正应力分布规律及计算，在工程中，一般正应力是梁破坏的主要因素。但是，当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值，剪应力就不能忽略了。,V,1、矩形截面梁,假设：,1、横截面上的剪应力方向与剪力FQ的方向平行。2、剪应力沿截面宽度是均匀分布的，即横截面上至中性轴等距离各点的剪应力相等。,FQ 横截面上的剪力；Iz 截面对中性轴的惯性矩；b 所求点处截面的宽度；Sz 所求点处水平线以下（或以上）的面积对中性轴的静矩.,97,2、工字形截面及其他形状截面的剪应力,腹板上的剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，最大剪应力发生在中性轴上，工字钢翼缘上承担了绝大部分弯矩，腹板上承担绝大部分剪力。,FQ 横截面上的剪力；Iz 工字型截面对中性轴的惯性矩；d 腹板的厚度；Sz 横截面上所求剪应力处的水平线以下（或以上）至边缘部分面积A*对中性轴的静矩.,（1）工字型截面梁的弯曲剪应力,（2）圆形截面梁的弯曲剪应力,最大剪应力发生在中性轴上,z,y,R,b 圆截面距中性轴为y处截面的宽度，或AB弦的长度；Sz AB弦一侧部分的面积A*对中性轴z的静矩。,A,B,A为圆环形截面面积,（4）圆形截面梁的弯曲剪应力,（3）T字形截面梁的弯曲剪应力,最大剪应力发生在中性轴上,2.梁的剪应力强度条件,梁的最大剪应力都发生在截面中心轴上各点处，梁的剪应力强度条件为：,在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪应力强度条件进行校核。对于细长梁，按正应力强度条件设计的梁一般都可以满足剪应力强度条件就不必作剪应力校核，但在以下几种情况下，需校核梁的剪应力：（1）最大弯矩很小而最大剪力很大的梁；（2）焊接或铆接的组合截面梁（工字型截面梁）；（3）木梁，因为木材在顺纹方向的剪切强度较低，所以木材有可能沿中性层发生剪切破坏。,五、组合变形的强度计算,组合变形：受力构件产生的变形是由两种或两种以上的基本变形组合而成的。,组合变形的概念,计算原理、方法：,常见组合变形的类型：（1）斜弯曲（2）拉伸（压缩）与弯曲组合（3）偏心拉伸（压缩）,1.叠加原理：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独作用所产生的应力、变形等可叠加计算。,2.计算方法：“先分解，后叠加。”先分解-应先分解为各种基本变形，分别计算各基本变形。后叠加-将基本变形计算某量的结果叠加即得组合变形的结果。,受力特点：外力垂直杆轴且通过形心但未作用在纵向对称内变形特点：杆轴弯曲平面与外力作用平面不重合。,斜弯曲,概念：在实际工程中，杆件受横向力和轴向力的作用，则杆件将产生拉（压）弯组合变形。,如斜梁，将力P分解为Px、Py。则垂直于梁轴的横向力PY 使梁产生弯曲变形，轴向力Px使AB梁段产生轴向压缩变形。,如重力坝，自重使坝底受压力，水压力使坝体产生弯曲变形。,拉升（压缩）与弯曲的组合变形,P,偏心拉伸（压缩）外力与杆轴线平行但不重合，杆件产生轴向拉压与纯弯曲组合的变形。分为单向偏心拉伸（压缩）和双向偏心拉伸（压缩）。,一、单向偏心拉伸（压缩）时的正应力计算,偏心压缩（拉伸）与截面核心,单向偏心拉伸（压缩）：外力作用在截面的一条形心主轴上。,单向偏心压缩时,距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力,而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是拉应力,也可能是压应力.,强度条件：,截面核心,是使整个横截面上只产生压应力的荷载作用区域。,圆形、矩形、工字形和槽形等四种截面的截面核心,