实验数据处理方法第一部分概率论基础.ppt

实验数据处理方法第一部分：概率论基础,第四章特殊的概率密度函数,概率分布函数反映了随机变量的概率分布规律；在概率论中处理概率分布时一般不涉及分布的物理来源，为在实验数据分析中正确地掌握和运用这些分布函数，需要：熟悉公式及运算规则；分布的物理意义；实验数据处理中所用到的概率分布的来源：实验所涉及到的物理问题本身的统计性质带来的，这类分布比较多样化，是和所处理的物理问题有直接的联系；对实验测量结果作数据处理时所引进的。这一类分布比较标准化，且处理的方法也比较明确；本章内容：数据处理过程中常用的概率分布函数，给出它们的定义、性质和实际应用,第四章特殊的概率密度函数,4.1 二项式分布（Binomial Distribution),4.1 二项式分布（Binomial distribution),一、定义（亦称伯努利分布）：,考虑一个随机实验的两个互斥的结果：成功和失败，设成功的概率为p，则不成功的概率为1-p=q。在n次独立的实验中，有r次成功的概率为：,二、性质：,满足归一化条件,证：,4.1 二项式分布（Binomial distribution),在变换(r,p)(n-r,1-p)下保持不变：B(r;n,p)=B(n-r;n,1-p),当p=q=0.5时，是对称的;对于任意的p值，是非对称的;当n增大时，分布趋于对称;当n很大时，近似为正态分布,服从二项式分布的随机变量r 的平均值和 方差:,三、应用：,给出进行N次实验有r次成功的概率。,4.1 二项式分布（Binomial distribution),例1：直方图（Histogram),考虑一直方图，设A表示一事例落入Bin i，A表示某事例落入直方图中其它的Bin，如果共有n个独立的事例，其中有r个事例落入Bin i，n-r个事例分布于其它的Bin r服从二项式分布,Bin i中事例数r的期望值和方差：E(r)=n p V(r)=n p(1-p),r的标准偏差：,概率p是未知的，可由实验结果估计：,一维散点图,一维直方图,4.1 二项式分布（Binomial distribution),例2设在某实验中，所期望的事例出现的概率为p。问，需要作多少次实 验才能使至少有一个这样的事例出现的概率为？,设在N次实验中共出现了X这样的事例。X服从二项式分布,至少有一个这样的事例出现的概率：,0 2 1 3 2 3 1 2,N次,成功次数r,4.1 二项式分布（Binomial distribution),几何分布,负二项式分布,超几何分布,作一系列独立的伯努利实验，前r-1次实验失败，第r次成功的概率：,不是从n次实验中抽取的。,作一系列独立的伯努利实验，在第r次实验中事件是第k次成功，这类事件的概率为：,N个元素，其中a个表示成功，N-a个表示失败，从N个元素中一次抽取n个元素，其中有r个成功，n-r个失败的概率为：,4.1 二项式分布（Binomial distribution),超几何分布的期望值和方差为：,当 时，超几何分布近似为二项式分布,其中。,第四章特殊的概率密度函数,4.2 多项式分布（Multinomial distribution),4.2 多项式分布（Multinomial distribution),一、定义,设可能的实验结果可分成k组：A1、A、A k，每次实验结果落入某一组Ai的几率为pi,如果共进行了n次独立的实验，实验结果落入各个组的次数为r1、r、rk的概率为(),二、性质,多项式分布是二项式分布的推广，除具有二项式分布的一些特性外，还具有以下的附加性质：,4.2 多项式分布（Multinomial distribution),1）ri的期望值：E(ri)=Npi2）ri的方差：v(ri)=npi(1-pi)3）ri和rj的协方差：cov(ri,rj)=-npipj 相关系数：即：ri和rj总是负相关 一维直方图中，当bin宽度足够小时（pi0），ri和rj相关度很小。4）当n很大时，多项式分布趋向于多维正态分布,三、应用：,用于处理一次实验有多个可能的结果的情况,4.2 多项式分布（Multinomial distribution),例：设有n个事例，分布于直方图的k个bin中，某事例落入bin i的概率为pi，落入bin i的事例数为ri，则k个bin中事例数分别为r1、r、rk的概率为多项式分布,ri的期望值和方差：E(ri)=npi v(ri)=npi(1-pi)如果pi 1，即bin的数目k很大，则有v(ri)npi=ri,带误差棒的一维直方图,第四章特殊的概率密度函数,4.3 泊松分布（Possion distribution),4.3 泊松分布（Possion distribution),一、定义,泊松分布是二项式分布的极限形式：p0，n,但np=有限值.根据Stirling公式，当n很大时,4.3 泊松分布（Possion distribution),二、性质,期望值：E()=方差：V()=,三、应用：,泊松分布给出在事例率为常数的情况下，在某一给定时间间隔内得到r个独立事例的概率。,例1.气泡室中的气泡沿着带电粒子径迹的分布,设单位径迹长的上气泡的平均数目为常数g，假定,在长度间隔 l,l+l 上最多只有一个气泡；在l,l+l 这个间隔中找到一个气泡的概率正比于l；在两个不重迭的间隔中产生气泡的事件是互不相关的；,具有上述特点的随机过程就称为泊松过程。,4.3 泊松分布（Possion distribution),由假设1和2，在 l,l+l 中,有一个气泡的概率：p1(l)=gl,没有气泡的概率：p0(l)=1-p1(l)=1-gl,根据假设3,在l,l+l长度上没有气泡的概率在l长度上没有气泡的概率在l长度上没有气泡的概率,p0(l+l)=p0(l)p0(l),独立性,平均值=gl的泊松分布,取边界条件p0(0)=1,4.3 泊松分布（Possion distribution),求在长度l上观测到r个气泡的概率pr(l)：,根据假定，在间隔l,l+l内最多只能有一个气泡,r个气泡都在l内,r-1个气泡在l内，1个在l,对r=0（在0,l中不产生气泡），概率是,4.3 泊松分布（Possion distribution),服从泊松分布的变量的加法定理：几个独立的泊松分布变量的和还是泊松分布变量。,例2 放射源和本底辐射的叠加,从放射源中辐射出的粒子的数目服从泊松分布。,x：单位时间内从放射源中辐射出的平均粒子数,x：时间间隔t辐射出的粒子数目,如果将放射源放入一容器中，容器中的本底辐射服从=b的泊松分布,可测量量是来自放射源和本底的总粒子数，其分布为,=p的泊松分布,4.3 泊松分布（Possion distribution),例3 计数器的计数分布,设计数器的计数效率为p1,在时间间隔t内通过计数器的总粒子数N服从平均值为v的泊松分布。求在时间间隔内，计数器所记录到的粒子数的分布p(r),要得到r个计数，必须至少有r个粒子通过探测器。对于一个取得的N,得到 r个计数的概率服从二项式分布。,P(r)所有可以给出r个计数的概率之和,即：每个Bin中的事例是独立的泊松变量,4.3 泊松分布（Possion distribution),例4 多项式分布和泊松分布间的关系,考虑有k个Bin的直方图，每个Bin中的事例数ri服从多项式分布，设总事例数N服从平均值为的泊松分布，则联合概率密度,第四章特殊的概率密度函数,4.4 复合泊松分布(Compound Possion distribution),定义：,设是r1,r2,是一组N个独立的泊松变量，其平均值都为，n也是泊松变量，其平均值为，求,的分布P(r),根据边缘概率的定义，p(r)应为产生r个事例的所有的概率之和:,为n个独立的泊松变量的联合概率,根据泊松变量的加法定理,4.4 复合泊松分布(Compound Possion distribution),4.4 复合泊松分布(Compound Possion distribution),性质：,E(r)=V(r)=(+1),应用：,泊松型的随机过程触发另外一个泊松型的随机过程,例：云室中的液滴,带电粒子通过云室时，会受到一系列的散射，而每次散射过程都会引起液滴的产生。在一给定的径迹长度上，粒子受到的散射的次数服从泊松分布，每次散射所产生的液滴的数目也服从泊松分布。因此，在给定的径迹长度上所产生的液滴的数目r服从复合泊松分布。,：每次散射所产生的液滴的平均数目：在给定的径迹长度上粒子所受到的散射的平均次数,第四章特殊的概率密度函数,4.5 均匀分布(Uniform distribution),4.5 均匀分布(Uniform distribution),概率密度函数：,性质：,应用：,1、多丝室的位置分辨率：粒子在两丝间的击中位置分布是均匀分布：,1、期望值,2、方差,3、累积分布,丝距ba,位置分辨率：,2、均匀分布的随机数产生器,4.5 均匀分布(Uniform distribution),任意连续分布的随机变量Y的概率密度函数为g(y),2、均匀分布的随机数产生器,令,x的概率密度分布为,x是0,1区间的均匀分布的随机变量，是满足g(y)分布的随机变量,橡皮泥原有形状,橡皮泥压缩后的形状,第四章特殊的概率密度函数,4.6 指数分布(Exponential distribution),4.6 指数分布(Exponential distribution),概率密度函数：,性质：,期望值：,方差：,应用：,指数分布在粒子物理的应用非常广泛：衰变过程，衰减过程,4.6 指数分布(Exponential distribution),例：泡室中粒子径迹的距离分布,在l,l+l中出现第一个气泡,在位置l 处单位长度内产生第一个气泡的概率（即概率密度）为,在0,l中不出现气泡,根据泊松假设，两事件独立：,在l,l+l中出现一个气泡概率,联合概率密度两事件概率密度之积,在l,l+l 内出现第一个气泡的概率为,g为单位长度内平均气泡数目,4.6 指数分布(Exponential distribution),例：一个放射源两次相继的核衰变之间时间间隔的分布,在t,t+t中发生第一次核衰变,在时刻t 单位时间内发生一次核衰变的概率密度为,在0,t中没有核衰变,根据泊松假设，两事件独立：,在t,t+t中发生一次核衰变,联合概率密度两事件概率密度之积,在t,t+t 内发生一次核衰变的概率为,为单位时间间隔内平均衰变次数,t 的平均值（称为核的平均寿命）为,两次衰变的时间间隔t 的概率为,第四章特殊的概率密度函数,4.7 正态分布（高斯分布）(Normal or Gaussian distribution),4.7 正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distribution),概率密度函数：,性质：,1、期望值:,2、方差：,3、累积分布：,误差函数,4.7 正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distribution),标准正态分布：（Standard Normal Distribution）N(0,1),令,得标准正态概率密度函数,=0,=1的正态分布,累积标准正态分布函数：,G(y)的应用：,1、设x是服从正态分布的随机变量，求x落于区间a,b内的概率,1区间：,2区间：,3区间：,4.7 正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distribution),规则,4.7 正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distribution),2、已知概率值，求相对于平均值对称的区间,查表可得出,=0.9 a=1.645=0.95=1.960=0.99=20576=0.999=3.290,4.7 正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distribution),正态变量加法定理：,如果某一随机变量是一些正态变量的函数，该变量的分布形式是什么？,如果是线性函数 加法定理,设x1,x2,xn是相互独立的正态变量,则,也是服从正态分布的变量，其平均值和方差分别为,例：正态分布样本的样本平均值 和方差 的特征。,设n个独立的随机变量都服从正态分布，其平均值和方差分别为和2。对于由这n个量构成的正态样本,由正态变量的加法定理，样本平均值也是正态变量,的分布服从,4.7 正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distribution),可以证明：,1、,服从自由度为n1的2分布；,2、,是相互独立的随机变量,定理：,如果独立的随机变量服从相同的正态分布，则统计量 和 是相互独立的；反过来，如果随机样本的平均值和方差是相互独立的，则这一样本所代表的总体一定是正态分布。,4.7 正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distribution),和,中心极限定理（Central Limit Theorm）,设x1，x2，xn是一组n个独立的随机变量，xi的平均值和方差分别为i和i，则当n时，变量,服从标准正态分布N(0,1),例：高斯型随机变量产生器,设x 是在0，1之间均匀分布的随机数,对n个x的取值xi（i=1,2,.n）定义随机变量,在n时，服从正态分布，在实际应用时，可取n=12,4.7 正态分布（高斯分布）（Normal or Gaussian distribution),第四章特殊的概率密度函数,4.8 2分布(2 distribution),4.8 2分布(2 distribution),定义：,设x1,x2,xn，是一组n个相互独立的服从正态分布N(,2)的随机变量。这n个xi构成容量为n的正态样本，所代表的正态总体的平均值和方差分别为和2，定义,变量2的概率密度函数为,自由度为n的2分布,4.8 2分布(2 distribution),性质:,1、期望值：E(2)=n,2、方差：V(2)=2n,3、2分布的概率值,4.9 几种分布的关系,