微分中值定理与导数的应用.pptx

,微分中值定理与导数的应用,Differential Mean Value Theorem And Applications Of Derivatives,PREFACE,泰勒公式第三节,目录,Fermat,费马引理,CERTIFY,证明：,Rolle,罗尔定理,CERTIFY,若 M=m,则,因此,若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,则由费马引理得,证明：,注意 1,注意 2,在(a,b)内可导,且,在(a,b)内至少存在一点,使,证明提示:设,证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理。,证明：,CERTIFY,(1)存在性.,即方程有小于 1 的正根,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,(2)唯一性.,Lagrange,拉格朗日中值定理,CERTIFY,证明：,思路 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,即定理结论成立。,由罗尔定理知至少存在一点,问题转化为证,且,拉格朗日中值定理的有限增量形式,CERTIFY,推论：,证:在 I 上任取两点,格朗日中值公式,得,证明：,CERTIFY,例2.证明等式,设,令 x=0,得,CERTIFY,证明：,例3.证明不等式,设,中值定理条件,因此应有,即,因为,故,Cauchy,拉格朗日中值定理,分析：,构造辅助函数,证明：,作辅助函数,且,即,ANALYSIS,CERTIFY,THINK,思考,柯西定理的下述证法对吗?,两个 不一定相同,上面两式相比即得结论。,SIGNIFICANCE,几何意义,证明：,CERTIFY,问题转化为证,即,CERTIFY,证明：,法1 用柯西中值定理.,中值定理条件,因此,即,分析:,则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西,CERTIFY,证明：,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,法2 令,SUMMARY,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,费马引理,2.微分中值定理的应用,FOR WATCHING,THANK YOU,感谢您的下载观看,专家告诉,