实验三圆周率的近似计算.ppt

实验三圆周率的近似计算,实验目的：通过对割圆术、韦达公式、级数加速法、拉马努金公式、迭代法等计算方法的介绍和计算实验，提高学生对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识。,一、数值积分法,2.梯形公式,3.辛普森（Simpson）公式,左矩形公式,右矩形公式,中矩形公式,1.矩形公式,二、蒙特卡罗算法（Monte Carlo）,三、割圆术,其他数学家的工作:,四、韦达公式,推导过程：,那么,由归纳法,（重根号）,由公式(1)和(2)可得韦达公式,思考,能否利用韦达公式构造一种迭代算法？,五、利用级数计算,1.莱布尼兹级数(1674年发现),2.欧拉的两个级数(1748年发现),莱布尼兹级数和欧拉的这两个级数的收敛速度较慢。,下面给出加速算法。,由泰勒级数,即为莱布尼兹级数,令,故,Machin公式,由此原理，可以得到,高斯公式,斯托梅尔公式,类似公式,六、拉马努金(Ramanjan)公式,改进的计算公式Chudnovsky,该级数每增加一项，大约可以提高14位小数的精度。,1999年9月，日本东京大学教授金田康正和其助手用时37小时21分，计算出了 的2061.5843亿位小数，检验用时46小时7分钟。,七、迭代方法,迭代误差有估计式,迭代误差有估计式,练习题,1.利用勾股定理证明割圆术一节中公式,2.使用欧拉公式,计算出的前30位小数,和,3.使用高斯公式,计算出的前50位小数,和斯托梅尔公式,4.使用公式,的前 项计算的值对 分别列出计算误差计算时设$MaxPrecisiion=10000.,5.利用Bailey迭代公式,迭代3次，计算 的近似值，观察近似效果,使用误差估计式 打印迭代次数和迭代误差界的数据表,