实验一计算复变函数极限微分积分留数泰勒级数展开式.ppt

实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式,（一）实验类型：验证性（二）实验类别：基础实验（三）实验学时数：2学时,1、MATLAB求复变函数极限,2、MATLAB求复变函数微分,3、MATLAB求复变函数积分,4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数,5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式,MATLAB实现内容,1、MATLAB求复变函数极限用函数limit求复变函数极限【Matlab源程序】syms z f=;limit(f,z,z0)返回极限结果,例1 求 在z=0的极限 解 syms z;f=z*exp(z)/(sin(z)limit(f,z,0)ans=1,MATLAB基本命令,.,.,解【Matlab源程序】syms z f=sin(z)/z;limit(f,z,0),ans=1,limit(f,z,1+i),ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1),2、MATLAB求复变函数微分用函数diff求复变函数极限【Matlab源程序】syms z f=（）;diff(f,z)返回微分结果,例3设,解 syms z f=exp(z)/(1+z)*(sin(z);diff(f)ans=exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)2*cos(z),3、MATLAB求复变函数积分(1)用函数int求解非闭合路径的积分.【Matlab源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b)返回积分结果,例 4 求积分,解 syms z x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int(z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：x1=-1/3*ix2=-i/exp(i),(2)用函数int 求解闭合路径的积分.,解【Matlab源程序】syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i)10/(z-1)/(z-3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi),结果为 inc=779/78125000*i*pi+237/312500000*pi若只输出6位有效数值，使用语句 vpa(inc,6)结果为 ans=.238258e-5+.313254e-4*i,4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的 多项式 用函数residue求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数【Matlab源程序】R,P,K=residue(B,A)返回留数，极点 说明：向量B为f(z)的分子系数；向量A为f(z)的分母系数；向量R为留数；向量P为极点位置；向量k为直接项:,解 R,P,K=residue(1,0,1,1,1)结果为：R=2P=-1K=1-1,解 先求被积函数的留数 R,P,K=residue(1,0,1,0,0,0,-1),结果为：,R=0.2500 0.2500-0.2500+0.0000i-0.2500-0.0000iP=-1.0000 1.0000 0.0000+1.0000i 0.0000-1.0000iK=,可见在圆周,内有四个极点,所以积分值等于,S=2*pi*i*sum(R)结果为S=0故原积分,（2）如果已知函数奇点z0的重数为m,则可用下面的MATLAB语句求出相应的留数R=limit(F*(z-z0),z,z0)%单奇点R=limit(diff(F*(z-z0)m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,z0)%m重奇点,例8 求函数,在孤立奇点处的留数,syms zf=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z3*(z-1)R=limit(diff(f*z3,z,2)/prod(1:2),z,0)结果为：R=-1/4*3(1/2)+1/2;limit(f*(z-1),z,1)ans=1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3(1/2),MATLAB语句分别求出这两个奇点的留数,5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式（1）用函数taylor求f(z)泰勒级数展开式【Matlab源程序】syms z f=Taylor(f,z0)返回f(z)在点z0泰勒级数展开式,例9 求函数f=1/(z-b)在点z=a泰勒级数展开式前4项 syms z a b;f=1/(z-b);taylor(f,z,a,4)ans=1/(a-b)-1/(a-b)2*(z-a)+1/(a-b)3*(z-a)2-1/(a-b)4*(z-a)3,（2）求二元函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的泰勒级数 展开式.【Matlab源程序】syms x y;f=();F=maple(mtaylor,f,x,y,m)返回在(0,0)点处 的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(mtaylor,f,x=x0,y=y0,m)返回在(x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前m项.F=maple(mtaylor,f,x=a,m)返回对单变量 在x=a处的泰勒级数展开式的前m项.,例10 求函数,在原点(0，0)，以及（1，a）点处的Taylor展式,【Matlab源程序】syms x y;f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);maple(mtaylor,f,x,y,4)在(0,0)点处的泰勒级数展开式：ans=-2*x+x2+2*x3+2*y*x2+2*y2*x,maple(mtaylor,f,x=a,2)在x=a处泰勒级数展开式：ans=(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(x-a),maple(mtaylor,f,x=1,y=a,2)在(1,a)点处的泰勒级数展开式：ans=-exp(-1-a-a2)-exp(-1-a-a2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a2)*(-2*a-1)*(y-a),课本上例题每一类型各选一题，写出实验报告,作业：,P51:习题二，2.1，2.3,P76:习题三，3.8（1），（2）。3.11（2）,P91:例4.8（前4项），例4.9（前4项）。,P132:5.2,P132:5.7（2），5.8（2）。,