定积分的几何应用 (2).ppt

一、平面图形的面积二、定积分的元素法三、旋转体的体积四、小结、作业,5.4 定积分的几何应用,直角坐标系下平面图形面积的计算,一、平面图形的面积,例1,解,所围成的图形如图所示：,平面图形的面积。,例2,解,所围成的图形如图所示:,则,先解联立方程组,则图形的面积为,解,先求两曲线的交点。,例3,注意：此题选取纵坐标 为积分变量，而没有选取横坐标 为积分变量，请思考这时为什么？若选取横坐标 为积分变量能否得到这个问题的结果？,二、定积分的元素法,在定积分的应用中，经常采用“元素法”。为了说明这种方法，我们回顾引入定积分的概念时曾经举的两个例子：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程。这两个问题最终都归结为定积分的计算，且它们都满足下述三个条件：,一般地，如果一个量 满足上述三个条件，我们就可以考虑用定积分来表示这个量。确定量 的积分表达式的步骤是：,（1）根据问题的具体情况，选取积分变量 并确定其变化区间。,（2）在区间 上任取一小区间，求出相应于此区间的所求量 的部分量 的近似值：,（3）计算所求量,称为所求量 的元素（或微元）。下面我们利用这一方法来求旋转体的体积。,这个方法就称为定积分的元素法（或微元法）。,圆柱,圆锥,圆台,三、旋转体的体积,旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴,旋转体的体积公式,推导,如图由于图形关于坐标轴对称，故只需考虑其第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。,求椭圆 分别绕 轴与 轴旋转而成的旋转体的体积。,例4,解,（1）绕 轴旋转而成的旋转体的体积为：,（2）绕 轴旋转而成的旋转体的体积为：,特别地，当 时，得半径为 的球体积,计算由两条抛物线，所围成的图形绕 轴旋转而成 的旋转体的体积。,例5,解,先解联立方程组,得两抛物线的交点坐标为,设由曲线，直线 所围成的曲边梯形绕轴 旋转而成的旋转体的体积为；,由曲线,转而成的旋转体的体积为,则所求旋转体的体积为：,1、定积分的几何应用可直接代公式，这就要记住面积、体积公式。,四、小结,2、理解定积分的微元法。,