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机械结构有限元分析,滕儒民TP:0411-84709387 MP：,讲课内容,一、有限元基本理论绪论杆件结构（结构力学方法）平面问题-直接离散化简介三维问题、薄板、薄壳和参数单元二、常用商业化有限元分析系统及方法有限元建模的若干问题常用的有限元软件分析系统Ansys应用实例讲解,绪论,“有限单元”是由Clough首次提出的(1960)。有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。有限元方法是摆脱了各种各样的工程背景而成为一种具有普遍意义的数学方法。,绪论,有限元方法是将一个连续体有无限多个自由度（属于无限维空间），转化成一个有限自由度（属于有限维空间），建立有限元方程，求其近似解。建立有限元方程大体有三类方法：直接法：结构力学引申过来变分法：有限元方法最常用的一种形式 加权残值法：非线性，伽辽金Galerkin）法（即，选形函数为权函数的加权残值法）属于这一类。,绪论有限元一般分析过程,先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；-即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示-通常称为插值函数或位移函数基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程）借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线性方程组，引入边界条件求解该方程组即可。,绪论有限元一般分析过程,绪论-有限元法的应用,绪论有限元法的基本理论,材料力学=杆状构件；结构力学=杆所构成的杆件系统=桁架、刚架；弹性力学=非杆状结构如板、壳、挡土墙、堤坝等实体，对于杆状结构件作较精确的分析也需用弹性力学。,绪论有限元法的基本理论,绪论有限元法的基本理论,绪论有限元法的基本理论,弹性力学是结构有限元分析的力学基础位移分量、应力分量静力平衡方程几何方程物理方程虚功原理与最小势能原理数学方法变分原理泛函和变分里兹法,杆件结构,第一节 直梁,杆件结构,1.1 节点位移和节点载荷,1.2 单元刚度矩阵-根据在弹性范围内、小变形情况,杆件结构,基本概念说明,单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性 和物理特性的最小结构域。节点：单元与单元间的连接点。节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力节点载荷：作用于节点上的外载。注意：1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；2）节点力与节点载荷的差别,杆件结构,第二节 平面刚架,杆件结构,杆件结构,杆件结构例题,杆件结构例题,杆件结构例题,杆件结构例题,单元刚度矩阵的每一列相当于一组特定位移下的节点力。,平面问题直接离散化,什么是平面应力？当厚度很小时，垂直面内方向的应力为零。什么是平面应变？某一方向无位移。二者间弹性矩阵D的变换关系是什么？（平面应力=平面应变）,平面问题三角形单元,x,y,u,v,l,m,n,u,v,u,v,o,1、形状函数：,平面问题三角形单元,1、形状函数：,平面问题三角形单元,1、形状函数：,平面问题三角形单元,1、形状函数：代入节点的位移值,平面问题三角形单元,形状函数矩阵：,平面问题三角形单元,平面问题三角形单元,单元的应变与应力,平面问题三角形单元,以上分析可知三角形单元为常应力应变单元,平面问题三角形单元,单元刚度矩阵-虚功原理,单元刚度矩阵的特点,1）单元刚度矩阵是对称阵；2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。3）单元刚阵是奇异阵，即|K|=0，这是因为计算单元刚阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解，只能得到唯一的节点力解。4）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。,平面问题整体刚度矩阵的形成,平面问题整体刚度矩阵的形成,平面问题整体刚度矩阵的形成,整体刚度矩阵的特点,由于总刚矩阵是由单元刚度矩阵组装而成，因此，总刚矩阵具有单元刚阵的几种性质，即对称性、奇异性、主对角元素恒正、奇偶行元素之和分别为零。除此之外，总刚还具有如下两点性质：稀疏性带状性：B=2（D+1）,平面问题载荷移植,有限元法的收敛准则,影响有限元解的误差：1）离散误差2）位移函数误差收敛准则：1）位移函数必须包括常量应变（即线性项）；2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称为协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。,
