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1.3 行列式的性质,行列式的转置,行列式的性质,行列式转置,行列式的性质,将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D。即如果,行列式的转置：,若D=|aij|，,D T=|bij|，,则bij=aji(i,j=1,2,n)。,性质1,性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即D=DT。,证明：记D=|aij|，D T=|bij|，D T的一般项为,行列式的性质,将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D。,行列式的转置：,这也是D 的一般项，,所以 D=DT。,，,性质2,性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。,证明：记D=|aij|，交换D的第s行与第t(st)行得到的行列式为D1=|bij|，则bsj=atj、btj=asj(j=1,2,n)。,D1的一般项为,它与D的一般项相差一个负号，,所以D 1=-D。,，,推论,推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。,性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。,这是因为，将行列式 D 中具有相同元素的两行互换后所得的行列式仍为D，但由性质2，D=-D，所以D=0。,性质3,推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。,性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。,性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式。即,这是因为，,。,推论1，2,推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值为零。,推论1 如果行列式中某一行(列)的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式符号的外面。,推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。,性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。,性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式。,性质4,性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和：,这是因为，,性质5,性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变。,右边=,即,这是因为,例1,解：设,例1证明:奇数阶反对称行列式的值为零。,则,=(-1)nDT,D=,(-1)n,当n为奇数时，有D=-D，,=(-1)n D，,所以D=0。,(将D的每一行提出一个-1),(DT=D),例2,例2：,计算下列行列式：,分析：,这两个行列式的共同特点是：行列式的各行（列）之和相等。解决这类问题的一般方法是：把行列式的各列均加到第一列，再提取第一列的公因式，然后利用行列式的性质5化为三角行列式计算。,解答,解：,1 1 1 1,0 2 0 0,0 0 2 0,0 0 0 2,-,-,-,为了书写方便，我们作如下规定：(1)记号 表示第8行(列)提出公因子k；(2)记号 表示4行(列)与9行(列)互换；(3)记号 表示把第1行(列)乘以(-3)加到第2行(列)上等号上(下)面的记号表示行(列)变换。,2题,下一步,解：,-,-,-,1 2 3 4,0 1 1-3,0 2-2-2,0-1-1-1,2,解：,例3,例3 n 阶行列式,x+(n-1)a x+(n-1)a x+(n-1)a x+(n-1)a x+(n-1)a,x+(n-1)a a a a a,0 x-a 0 0 0,0 0 x-a 0 0,0 0 0 x-a 0,0 0 0 0 x-a,=x+(n-1)a(x-a)n-1。,+,+,+(-1),+(-1),例4,解：,=30。,=-2(-3)51,(-2),5,(-3),例5,例5,0-1-1 2,2 1 1 0,-1 2-1 0,1-1 0 2,0 0-2 2,0 0-2 4,0-1-1 2,1-1 0 2,0 3 1-4,0 1-1 2,0-1-1 2,1-1 0 2,+1,+(-2),+1,+3,0 0 0-2,0 0-2 4,0-1-1 2,1-1 0 2,=-1(-1)(-2)(-2),=4。,+(-1),例6,例6：,计算下列行列式：,解：,例7,1题解,例7：计算下列行列式：,解：,下一步,2题解,下一步,下一步,3题解,下一步,4题解,下一步,例5,例8：计算下列行列式：,解：,下一步,例8：计算下列行列式：,解：,结果,例8：计算下列行列式：,解：,推广,一般地，有如下n阶（VanderMonde)行列式：,做练习,例9:解下列方程：,解：,（1）,很显然，当2-x2=1时，行列式的第一列与第二列相同，则此行列式的值为零；当9-x2=5时行列式的第三列与第四列相同，则此行列式的值为零。,所以，方程的根为x=-1,1,-2,2,2题解,例9:解下列方程：,解：,（2）与（1）相同的道理，知该方程的根为：,大家做些练习，好吗？,练习,练习：计算下列行列式：,答案：,第1题的结果是30第2题的结果是27,作业,结束,作 业,结束,习题一(P39-42页):,12,13,15,16,17,18,19,20题,线性代数课件,课件研制与制作：沈家云,2003年1月,
