均值方差分析与资本资产定价模型.ppt

第3章 均值方差分析与资本资产定价模型,3.1 两种证券投资组合的均值-方差,3.1.1 投资组合,设有两种风险资产证券，,记为A和B，,3.1 两种证券投资组合的均值-方差,注：权重为正数，意味着投资者买入该资产。如果是卖空，投资于资产的权重是负数。,例如：假设你借100股某公司的股票，市场价格为10元，那么将股票卖出，可获得1000元现金。一段时间之后，该股票的价格5元，你在市场上购买100股，支付现金500，两者之间的差额为500元，你可以获利。,举例说明,1.如果你有资金1000元，投资于证券的金额为400元，投资于证券的金额为600元，,则有,举例说明,2.假设你有资金1000元，卖空证券获现金600元，共有1600元，投资于证券，于是,对于资产,则有,投资组合的期望收益与方差,设证券A的收益率为RA，证券B的收益率RB是随机变量，,假设我们已知RA和RB的概率分布，,称,投资组合的期望收益与方差,则期望收益,投资组合的期望收益与方差,3.1.2 联合线,假设,由式（3.1.1）,（1）如果我们假设,和,的相关系数为零，,由式（3.1.2）,3.1.2 联合线,设自有资金1000元，,卖空证券收入为500元，,将这两种资金(共1500元)投资于证券，,计算得,代入式（3.1.3）和式（3.1.4）得,3.1.2 联合线,表3.1 不同投资组合的期望收益和收益方差,利用上述表格中的数据在,的坐标系之下画出一条曲线,称为证券A和证券B的联合线。,3.1.2 联合线,图3.1 证券A和B的联合线,卖空B投资于A,同时投资于A和B,卖空A投资于B,3.1.2 联合线,假设相关系数不为零，,（2）假设RA和RB完全正相关,在（RB，RA）坐标系内，,是一条斜率为正的一条直线，即,如果,3.1.2 联合线,图3.2 证券A和证券B收益率完全正相关时的示意图,3.1.2 联合线,当RA和RB完全正相关时，相关系数,由式(3.1.2)，,3.1.2 联合线,表3.2 不同wA值的期望收益率和收益率方差,正相关时的联合线,3.1.2 联合线,（3）假设RA和RB完全负相关,在（RB，RA）坐标系内，,是一条斜率为负的一条直线，即,得,解得,3.1.2 联合线,于是得此直线的方程为,图3.3 证券A和证券B收益率完全负相关情况下的示意图,3.1.2 联合线,当RA和RB完全负相关时，相关系数为-1，,此时,表3.3 不同wA值的收益率期望和方差,完全负相关的情况,图3.4 3种不同情况下的联合线,3.1.1 两种投资组合均值-方差分析,设有两种证券A和B，,证券A的期望收益记为,证券B的期望收益记为,设,设投资于证券A的资金权重为,投资于证券B的权重记为,满足,投资组合,的期望收益记为,则有,投资组合的收益率,的方差,3.1.1 两种投资组合均值-方差分析,由式(3.1.9)和式(3.1.10)解得,代入式(3.1.10)，得,整理后，可得,3.1.1 两种投资组合均值-方差分析,若RA和RB不完全相关，,则,于是式(3.1.12)的右端作为,的二次函数恒大于零，,可以写成,的形式。,代入式（3.1.12），得,易见方程(3.1.13)在,平面上的图形是双曲线，,由于,它只有开口向右的一支。,3.1.1 两种投资组合均值-方差分析,（1）若RA和RB完全正相关，,可见方程(3.1.14)的图形是从,出发的两条射线，,其中的一条是,3.1.1 两种投资组合均值-方差分析,另一条是,（2）如果RA和RB完全负相关，,此时,也是两条射线，,这两条射线从,出发指向右方，,3.1.1 两种投资组合均值-方差分析,其中一条通过点,其方程为,另一条通过点,其方程为,3.1.1 两种投资组合均值-方差分析,（3）如果RA和RB无关，,此时,方程(3.1.12)变为,方程(3.1.20)是一条经过,和,的双曲线，,其顶点为,对应于此顶点的投资组合，方差最小，,其方差,而其期望收益介于A和B之间。,图3.5 不同情况下投资组合均值与方差的关系,3.2均值方差分析及两基金分离定理,3.2.1投资组合的期望收益和方差,设市场只有n种风险资产，,仅有两个时刻，,时刻0代表今天，时刻1代表明天，,其单期收益为,记,为收益率向量。,设,称w为投资组合，,其中wi是第i种资产Xi上的投资比例，,满足,这里没有,的限制，,说明市场有做空机制。,3.2.1投资组合的期望收益和方差,以,表示第i种资产收益的期望值，,为期望收益向量。,若w为投资组合，,满足,投资组合的收益率,也是随机变量，,其期望值,称为投资组合的期望收益。,3.2.1投资组合的期望收益和方差,设,是n维向量，,记,称n阶矩阵,为方差协方差阵。,如果,为可逆矩阵，,为正定矩阵，,投资组合,的收益率,的方差为,用矩阵表示,3.2.1投资组合的期望收益和方差,有效投资组合 的假设条件,(1)仅存在无风险利率Rf,可以无限制借贷，,(2)假设市场上的投资者的效用函数都是均值方差效用函数，,(3)假定市场无摩擦，即无任何交易成本，无税收，资产数量 单位无限可分,(4)假定市场的参与者都有相同的预期。,3.2.2 有效投资组合,定义3.1,如果一个投资组合对确定的方差具有最大的期望收益，或者对于确定的期望收益，有最小的方差，这样的投资组合称为“均值方差”有效的投资组合。,定义3.2,如果一个投资组合对确定的期望收益有最小的方差，那么称该投资组合为最小方差投资组合。,可行资产组合,均方有效前沿,最小方差资产组合,注：阴影部分代表资产组合的可行区域，AB弧表示的边界为有效资产组合集，它也称为资产组合的有效前沿“，而可行区域的整个边界（AB弧和AC弧）即为最小方差资产组合集。,结论：均方有效的资产组合也是最小方差资产组合，但其逆不对。,3.2.3求最小方差投资组合的 数学模型及其求解,求最小方差投资组合可归结为如下最优模型,的求解问题。,3.2.3求最小方差投资组合的 数学模型及其求解,模型（3.2.4）是具有等式约束的二次规划问题，可以用Lagrange乘数法求解，令,最优解的一阶条件为,3.2.3求最小方差投资组合的 数学模型及其求解,假设,可逆，,由方程（3.2.5a）得到最优解:,将式（3.2.6）代入式（3.2.5c），得,将式（3.2.6）代入式（3.2.5c）得,其中,(3.2.8a),因为,可逆，,又,所以,由（）及（）得,（3.2.8b),代入（）式，得,(3.2.9a),3.2.4 均值方差分析,对一般n种资产的情形,收益水平,的最小方差投资组合的方差为,再将,和,代入得,3.2.4 均值方差分析,0,在最小方差组合的方差均值空间是抛物线，,其顶点是,图3.6 最小方差组合的收益均值与方差的关系,3.2.4 均值方差分析,讨论最小方差投资组合的期望收益和其标准差之间的关系,将方程（3.2.9b）改写为,由（3.2.10）可见，在标准差均值空间种的图形是双曲线，,3.2.4 均值方差分析,0,图3.7 最小方差组合的期望收益与标准差的关系,全局最小方差资产组合,3.2.5两基金分离定理,讨论全体最小方差组合构成的集合的性质：,任何一个最小方差投资组合都可以用两个特殊的 最小方差投资组合的凸组合表示。,这条性质称为两基金分离定理。,由式（3.2.6）得,3.2.5两基金分离定理,其中，,假设,显然，,而且由式（3.2.8b）得,3.2.5两基金分离定理,令,则,所以,具有如下性质：,因为,所以对于权系数,相应的资产组合的收益率,3.2.5两基金分离定理,由（3.2.9a）知，,是全局最小方差投资组合,称wd为分散化资产组合，,对应的期望收益率为,将,代入式（3.2.9a）得,由图3.6可见，,相应于期望收益率,的最小方差投资组合是所有有效投资组合,中方差最小的一个，,称它为全局最小方差投资组合。,3.2.5两基金分离定理,同样，,将,代入式（3.2.9a）可得,因此,是相应于期望收益率,的最小方差投资组合。,定理3.1（两基金分离定理）：,任意最小方差投资组合都可以唯一的表示为全局最小方差投资组合,和可分散化资产组合,的组合，即,3.2.5两基金分离定理,这里,从定理3.1可见，,对于任意的,相应的最小方差资产组合可以表示成相应于,和,的最小方差投资组合,和,的组合。,称,和,为共同基金。,3.2.5两基金分离定理,两资产组合,和,期望收益之差,因为,所以,与,之差的符号取决于A的符号。,（1）如果全局最小方差的资产组合的收益率为正，则,在相应的双曲线的上半叶上。,（2）如果,则相反，在允许卖空的情况下，这种情况也可能出现。,3.2.5两基金分离定理,注1,对于任意两个不同期望收益水平的最小方差资产组合,和,他们与,和,有相同的分离作用，,即,可表示为,和,的组合。,注1证明：,由两基金分离定理，,和,可由,和,表示如下,由式（3.2.18a）和式（3.2.18b），,将,和,解出，得,注1证明：,由,将（）和（）代入，得,显然,这说明,可用,和,的组合来表示。,3.2.5两基金分离定理,注2,对任意的投资组合w,有,设,和,是两个最小方差组合，,则,注2证明：,这证明了第一个结论。,将式（）,代入式（），得,由前段证明可知,注2证明：,3.2.5两基金分离定理,若,是一个最小方差资产组合，,其方差不是全局最小值，,则存在最小方差资产组合,使,称,和,为零,相关（即协方差为零）的有效投资组合。,3.3 具有无风险资产的均值-方差分析,3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合,假定市场存在n种风险资产,及无风险资产,无风险资产的收益率是一常数，,设为,以w表示风险资产组合的权系数，,是投资于无风险资产的权系数，,表示投资于n+1种资产的投资组合的期望收益，,则,即,3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合,当投资者在市场上可以获得无风险资产时，资产组合问题在两方面发生了变化。,（1）与只有风险资产的预算约束不同的是，若投资者 在无风险资产的投资权重为 正时，表示储蓄；若权 重为负，则表示为购买风险资产而筹集资金，即借贷。,（2）与只有风险资产的预算约束不同的是，平均收益率 的限制必须表达成超额收益率形式。,3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合,最小方差资产组合问题可表示为如下的优化问题,利用拉格朗日乘数法，求解此二次规划问题，令,3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合,最优解的一阶条件为,解得最优解,3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合,为此将(3.3.4)代入(3.3.1b)得,因为,所以,令,则,3.3.2 具有无风险资产的均值方差分析,3.3.2 具有无风险资产的均值方差分析,（1）在均值方差坐标系下，最小方差资产组合的图形是抛物线，,（2）在均值和标准差坐标系下，图形是从点出发的两条射线，,斜率分别为,3.3.3 无风险资产情况下的 两基金分离定理,所有最小方差资产组合可表示成两个不同的资产组合的资产组合，在这种情况下，有一种自然的基金选择,即无风险资产和不含无风险资产的组合，即所谓切点资产组合，,其中,这一性质称为无风险资产存在情况下的“两基金分离定理”或“货币分离定理”。,3.3.4 切点组合的含义,切点资产组合的均值和方差分别为,3.3.4 切点组合的含义,切点资产组合,全局最小方差组合,切点组合恰好是任何风险资产的有效投资组合构成的抛物线与过,点斜率为,的直线的切点，,3.4 资本资产定价模型,