同济高数第十章第二节.ppt

2023/10/10,1,复习：,若数列递增有上界，则数列收敛，即单调有界数列必有极限。,常数项级数的基本概念:正项级数、交错级数、任意项级数,基本审敛法,2023/10/10,2,第二节 常数项级数的审敛法,一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛（任意项级数）,2023/10/10,3,一、正项级数及其审敛法,定义:,这种级数称为正项级数.,正项级数收敛的充要条件,定理1,部分和数列 为单调增加数列.,正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.,2023/10/10,4,定理2(比较审敛法),证明,即部分和数列有界,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,2023/10/10,5,推论,2023/10/10,6,解,由图可知,2023/10/10,7,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,离散问题连续化：,2023/10/10,8,证明,2023/10/10,9,定理3（比较审敛法的极限形式）,2023/10/10,10,证明,由比较审敛法的推论,得证.,2023/10/10,11,2023/10/10,12,解,原级数发散.,故原级数收敛.,2023/10/10,13,收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散,定理5(比值审敛法或 达朗贝尔判别法),证明,2023/10/10,14,收敛,发散,2023/10/10,15,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,2023/10/10,16,2023/10/10,17,解,2023/10/10,18,比值审敛法失效,改用比较审敛法,2023/10/10,19,级数收敛.,2023/10/10,20,所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛,因为,解,例6,判别下列正项级数的敛散性,1）,1）,2）,2）,因为,所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛,2023/10/10,21,二、交错级数及其审敛法,定理7(莱布尼茨定理),(1)unun1(n1 2 3),则级数收敛 且其和0 su1 其余项rn的绝对值|rn|un1,定义:正、负项相间的级数称为交错级数.,2023/10/10,22,证明,2023/10/10,23,满足收敛的两个条件,定理证毕.,2023/10/10,24,解,原级数收敛.,2023/10/10,25,三、绝对收敛与条件收敛,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,2023/10/10,26,2023/10/10,27,解,故由定理知原级数绝对收敛.,2023/10/10,28,2023/10/10,29,小结,2023/10/10,30,思考题,2023/10/10,31,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,