同济六版高等数学第四章第四节.ppt

4.4 有理函数的积分,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、有理函数的积分,有理函数的形式,当nm时,称这有理函数是真分式;而当nm时,称这有理函数是假分式.,有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数:,下页,假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.,有理函数,多项式+真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,例如,例1.将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,(2)用赋值法,故,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,提示：,求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分解,然后化成部分分式再积分.,解,例1,分母可因式分解的真分式的不定积分,下页,AB1 2A3B3,A6 B5,提示：,解,例2,下页,求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分解,然后化成部分分式再积分.,分母可因式分解的真分式的不定积分,提示：,解,例3,分母是二次质因式的真分式的不定积分,首页,例4.求,解:,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例5.求,解:原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a,b,c,d.得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定 A,B,C,D.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,二、可化为有理函数的积分举例,三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数.,用于三角函数有理式积分的变量代换,三角函数有理式的积分,下页,提示：,解,例4,下页,解,例4,下页,说明：,并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分.因为这种代换不一定是最简捷的代换.,请看如下积分:,下页,无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.,解,简单无理函数的积分,例5,下页,解,无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.,简单无理函数的积分,例6,下页,设,即xu32,则,解,无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.,简单无理函数的积分,例7,设xt6,于是dx6t5dt,从而,下页,解,无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.,简单无理函数的积分,例8,结束,内容小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:1.,2.原式,作业,P218 1,6,9,15,19,