同济六版高等数学第一章第八节.ppt

一、函数的连续性,二、函数的间断点,1.8 函数的连续性与间断点,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、函数的连续性,变量的增量,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义,下页,称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量为,在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量,函数的连续性定义,提示:,下页,设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此,Dy=f(x0+Dx)-f(x0),讨论:如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？,e 0 d 0 当|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e,提示:,下页,函数的连续性定义,左连续与右连续,结论,函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续,下页,函数的连续性定义,注:,连续函数,在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续,连续函数举例,1 多项式函数P(x)在区间(-+)内是连续的,这是因为 函数P(x)在(-+)内任意一点 x0处有定义 并且,下页,如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续,2 函数 y=sin x 在区间(-+)内是连续的,这是因为 函数y=sin x在(-+)内任意一点x处有定义 并且,首页,连续函数,在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续,连续函数举例,二、函数的间断点,间断点的定义,设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一,(1)在x0没有定义,则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点,(2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在,(3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0),下页,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,间断点举例,例1,下页,例2,当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次,所以点x=0是函数的间断点,所以点x=0称为函数的振荡间断点,下页,间断点举例,所以点x=1是函数的间断点,如果补充定义 令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续 所以x=1称为该函数的可去间断点,例3,下页,间断点举例,所以x=1是函数f(x)的间断点,如果改变函数f(x)在x=1处的定义 令f(1)=1 则函数在x=1成为连续 所以x=1也称为此函数的可去间断点,例4,下页,间断点举例,因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点,例5,下页,间断点举例,思考与练习,1.讨论函数,间断点的类型.,答案,2.确定函数,间断点的类型.,答案,3.p65 第4题,作业 P65 3（2）（3）（4）,1.讨论函数,x=2 是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,答案:x=1 是第一类可去间断点,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,2.确定函数,间断点的类型.,