同济六版高等数学二章.ppt

一、隐函数的导数,二、由参数方程所确定的函数的导数,2.4 由方程所确定的函数的导数,上页,下页,铃,结束,返回,首页,三、相关变化率,一、隐函数的导数,显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数,把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化,例如 方程xy310确定的隐函数为,下页,提示:,例1 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数,(ey)(xy)(e)(0),即 eyyy+xy0,隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.,一、隐函数的导数,方程中每一项对x求导得,解,(xy)y+xy.,(ey)e yy,下页,例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0,因为当x0时 从原方程得y0 所以,5y4y2y121x60,把方程两边分别对x求导数得,解法一,下页,5y4y2y121x60 根据原方程 当x0时 y0 将其代入上述方程得 2y10 从而 y|x005,把方程两边分别对x求导数得,解法二,下页,例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0,解,例3,把椭圆方程的两边分别对x求导 得,所求的切线方程为,下页,解,上式两边再对x求导 得,方程两边对x求导 得,下页,y f(x)ln f(x)对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数,此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数,设yf(x)两边取对数 得ln yln f(x)两边对x 求导 得,对数求导法,下页,例5 求yx sin x(x0)的导数,解法二,这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.,解法一,上式两边对x 求导 得,两边取对数 得,ln ysin xln x,yx sin xe sin xln x,下页,上式两边对x求导 得,说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的,例6,先在两边取对数 得,解,首页,二、由参数方程所确定的函数的导数,设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yyj-1(x)若xj(t)和yy(t)都可导 则,下页,例7,解,下页,再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为,于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为,x(t)=v1,y(t)=v2-gt,速度的水平分量与铅直分量分别为,先求速度的大小,解,下页,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出(即 t=0)时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,提示:,讨论:已知xj(t),yy(t)如何求y对x的二阶导数y?,下页,解,(t2np n为整数),结束,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例10 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升 其速度为140m/min(分)当气球高度为500m时 观察员视线的仰角增加率是多少？,解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则,两边对 t 求导,已知,h=500m 时,思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对 t 求导,已知,求,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.参数方程求导法,4.相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,思考与练习,1.设,求,2.设,由方程,确定,求,求,3.设,求其反函数的导数.,4.设,1.设,求,提示:分别用对数微分法求,答案:,2.设,由方程,确定,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导,得,当,时,故由 得,再代入 得,求,求,解：,3.设,方程组两边同时对 t 求导,得,求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,4.设,等式两边同时对 求导,作业,P112 2;3(4);4(4);8(1),