可变端点的横截条.ppt

第二章 可变端点横截条件,预备知识：对定积分的求导,对于函数,（1）莱布尼兹法则对定积分的求导,（2.6),（2）积分上限函数的求导,（2.8),由积分中值定理得,证：,（3）对积分下限函数求导,证：,根据对积分上限函数求导的公式，得：,（2.9),(4)如果定积分具有如下形式：,根据（2.6）式和（2.8）式，得：,（2.11),可变终结点问题：,假设 是已知的最优终结时间，在 邻近的任何值 可以表示为,由于 已知并且 是一个预选的量，所以，T可被视为 的一个函数，其导数为,第一节 一般性横截条件,最大化或最小化,推导一般的横截条件：,步骤1,（3.6）,（3.6）式第二项:,根据上一章 的推导过程,得（3.6）式第一项:,把这些代入(3.6)，并令，得：,第40页,（3.7）,步骤2 通过把 转化为含 和,（3.8）,步骤3 把（3.8）式代入（3.7），得：,（3.7）,欧拉方程,一般横截条件,第1步骤推导得到：,特殊横截条件,垂直终结线（固定时间水平问题）,以上推导得到一般横截条件：,垂直终结线涉及一个固定的T，从而,又因为 是任意的，就产生的横截条件：,垂直终结线的横截条件,第二节 特殊横截条件,特殊横截条件,水平终结线（固定端点问题）,一般横截条件,又因为 是任意的，就产生的横截条件：,水平终结线的横截条件,水平终结线涉及一个固定的，从而,特殊横截条件,终结曲线,一般横截条件,把该式代入一般横截条件，得：,终结曲线的横截条件,终结曲线，和 都未被赋予零值。,又因为 是任意的，就产生的横截条件：,特殊横截条件,截断垂直终结线,一般横截条件,对点Z1，即，那么终结限制 自动被满足，可直接使用截断终结线条件：,对点Z2和Z3，即。,最大化问题的截断垂直终结线横截条件,(对于最大化V的问题),特殊横截条件,截断垂直终结线,一般横截条件,对点Z1，即，那么终结限制 自动被满足，可直接使用截断终结线条件：,对点Z2和Z3，即。,最大化问题的截断垂直终结线横截条件,(对于最小化V的问题),即在约束 的情况下求 的最大化。,根据求最大值的库恩塔克条件，得：,库恩塔克条件：,特殊横截条件,截断水平终结线,一般横截条件,Tmax,对点M1，即，那么终结限制 自动被满足，可直接使用截断终结线条件：,对点M2和M3，即，那么终结限制 才被满足。,最大化问题截断水平终结线的横截条件,(对于V的最大化),特殊横截条件,截断水平终结线,一般横截条件,Tmax,对点M1，即，那么终结限制 自动被满足，可直接使用截断终结线条件：,对点M2和M3，即，那么终结限制 才被满足。,最大化问题截断水平终结线的横截条件,(对于V的最大化),在约束 的情况下求 的最大化。,根据求最大值的库恩塔克条件，得：,Tmax,即点M2和M3：,具有边界条件：,例2 求下列泛函的极值曲线。,根据欧拉方程，可得：,根据水平终结线的横截条件：,代入水平终结线横截条件。,和,（在t=T处）,第三节 横截条件的推广,（一）一个可变初始点,（二）多个状态变量情形,当目标函数出现多个状态变量时，被积函数表示为：,一般横截条件为：,当目标函数只有一个状态变量时，被积函数为：,一般横截条件为：,（二）高阶导数的情况,泛函 具有被积函数，经济学中很少出现高阶导数的情况。,以被积函数 为例，一般横截条件为：,