卷积积分与积分变换.ppt

工程应用数学,主 讲北京理工大学机械与车辆学院 李晓雷,第二章 卷积积分与积分变换,本章主要复习傅立叶级数，介绍傅立叶级数的复数表示，脉冲响应与卷积积分、傅立叶变换和拉普拉斯变换及其性质。,2.1 傅立叶级数 2.2 脉冲响应与卷积积分 2.3 傅立叶变换 2.4 拉普拉斯变换,2.1 傅立叶级数,1 周期函数的傅立叶级数,2 复数形式的傅立叶级数,1 周期函数的傅立叶级数,如果g(t)是以T 为周期的周期函数，即,g(t+T)=g(t),并且g(t)还满足下列条件(Dirichlet条件),1.在-T/2，T/2上连续,或者只有有限个一类间断点(即存在极限的间断点);,2.只有有限个极值；,3.在-T/2，T/2上绝对可积，即,则在-T/2，T/2上g(t)可以展成傅立叶级数，即有,这里：,称为周期函数g(t)的基频,p0(p=2，3，)称为基频的p次倍频。,a0=c0，b0=0,0=0,p=1,2,ap、bp、cp和p(p=0,1,2,)称为周期函数g(t)的傅立叶系数或谐波系数，cp是谐波的振幅,p是谐波的初相位。,c1cos(t1)称为周期函数g(t)的基波；cpcos(ptp)（p1）称为周期函数g(t)的基波的p次谐波。,2 复数形式的傅立叶级数,单边傅立叶级数,根据欧拉公式,有,代入g(t)的傅立叶级数表达式,有,这里,0=0,=ap ibp=cp(cospisinp),p=1,2,双边傅立叶级数,由于对任意复数z有,因此，当p0时,则,而,令,因而可以得到,即,在频率轴的正半轴上，双边谱的系数dp与单边谱的系数Ap之间有如下关系,通常用频谱图来直观显示周期函数所包含的频率成分及其大小。以频率f(很少用)为横轴，分别以cp(或Ap)和p为纵轴作图，并称f cp图为g(t)的幅频图，f p图为相频图。一般来说，频谱图多为单边的，只画出f 0的部分。周期函数频谱图的特点是只在离散点0，f，2f，上有值，被称为离散谱，有时也形象地称为谱线图。,例：求下图所示周期方波信号g(t)的傅立叶级数,a0=c0=0,利用 0T=2，有,即,另外,因此,同样,周期函数的均方值,如果g(t)是简谐函数，即,g(t)=Acos0t,则g(t)的均方值为,显然，简谐函数的均方值只与它的振幅有关，与它的频率无关。,如果g(t)是周期函数，则可展为傅立叶级数,g(t)的均方值为,根据三角函数的性质,(mn),(mn),p=1,2,p=1,2,有,上式为周期函数的巴塞伐(Parserval)公式。它的右端为一无穷级数，级数的每一项是周期函数的谐波的均方值。巴塞伐公式表明，周期函数的均方值是它的基波和各次谐波的均方值之和。可以解释为，周期函数在时域内的总能量等于在频域内的总能量。巴塞伐公式表明，在频域中，运动的总能量是各谐波能量之和。换句话说，在频域中能量可按谐波直接相加。,2.2 脉冲响应与卷积积分,1 脉冲函数,2 脉冲响应,3 卷积积分,1 脉冲函数,脉冲函数又称为函数,定义如下：,它表示在t=0时刻作用的一个幅值无穷大，但冲量为1的脉冲力。力学上称为单位脉冲力。,在时刻作用的单位脉冲力可表示为：,在任意时刻作用的幅值为 的脉冲力可以表示为,意义：在时刻的一个力值无限大，但作用时间为零的脉冲力。,其冲量为：,函数性质：,(a)如果F(t)是一个连续函数，则,(b)(t)为偶函数，即,(t)=(t),2 脉冲响应,例：设如图所示单自由度系统在t=0以前静止，在t=0时受到脉冲力(t)的激励。,这里：0表示小于零但无限接近于零的时刻，0+表示大于零但无限接近于零的时刻。,运动微分方程,根据动量定理，在0到0+这段时间内系统动量的改变为,mv(0+)mv(0)=,即在t=0时的脉冲力作用下，质量的速度v由v(0)=0变为v(0+)=/m，而位移没有变化。,当t0后，系统不受外力，是自由振动。,系统的运动微分方程为,=1时，即系统受到单位脉冲力作用时，系统响应称为系统脉冲响应，用h(t)表示：,在t时刻以前静止的系统，在t时受一个单位脉冲力激励后的响应为：,3 卷积积分,以上例说明卷积积分。,在振动系统受任意持续激励时，可把激励看为一系列脉冲力的迭加。设在t=时刻附近的冲量。,它对t时的系统响应无贡献。对t以后的响应有贡献，其大小为,dx=h(t)F()d,根据迭加原理，把这些响应迭加起来，即把上式从0到t积分，有,这就是单自由度系统在初始条件为零时，受任意激励F(t)作用时的响应，称为卷积积分。,对一般情况，卷积积分可写成,卷积积分定义,卷积积分性质,1.交换律,f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t),2.分配律,f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t),3.结合律,f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t),4.微分,5.积分,2.3 傅立叶变换,1 傅立叶积分,2 傅立叶变换的定义,3 傅里叶变换的性质,1 傅立叶积分,非周期函数可视为周期为无穷大的周期函数。,设gT(t)是非周期函数g(t)在区间,上的部分,即,gT(t)=,显然有,在这个区间上gT(t)的傅立叶级数,这里,取,p=p0,有,两个相邻谐波的间距为,这样可以得到,因此,令T，有,d,p,这就是傅立叶积分公式,如果取f=，得到以f为积分变量的傅立叶积分公式,傅立叶积分存在定理,如果g(t)在(，+)上满足下列条件:,1.g(t)在任意的有限区间上只有有限个一类间断点；,2.g(t)在(,+)上绝对可积，即积分,则g(t)的傅立叶积分存在。它的广义积分是主值意义下的，即,傅立叶正变换.,称g(t)和G()构成一对傅立叶变换对,傅立叶逆变换.,g(t)称为原函数,G()称为像函数，并记,G()=Fg(t),g(t)=F1G(),傅立叶正变换和逆变换也可写作,通常像函数G()是复函数,可以写作,G()=G()ei(),G()幅值谱，()相位谱,均是连续函数,傅立叶变换性质,a1，a2是任意常数。,傅立叶正变换和逆变换是线性变换。,Fa1g1(t)+a2g2(t)=a1Fg1(t)+a2Fg2(t)F1a1G1()+a2G2()=a1 F1G1()+a2F1 G2(),1.线性,G()=Fg(t)FG(t)=2g(),则有,g(t)=g(t)。,如果g(t)是偶函数，即。,2.对称:,FG(t)=2g(),3.奇偶实虚,(1)g(t)是实函数,如果 G()=Fg(t),记 R()=ReG()X()=ImG(),R()=R()(偶函数),则有,Fg(t)=G()=,X()=X()(奇函数),|G()|=|G()|(偶函数),()=()(奇函数),特别地，如果f(t)是实偶函数，则,X()=0，()=0,即，G()是的实偶函数。,如果g(t)是实奇函数，则,R()=0,即，G()是的虚奇函数。,g(t)=ig1(t),(2)g(t)是虚函数，即,则，R()为奇函数,g1(t)为实函数,X()为偶函数。,|G()|为偶函数，,()为奇函数。,4.尺度变换,Fg(at)=,如果a=1，有,Fg(t)=G(),5.时移,Fg(tt0)=Fg(t),综合4.、5.，有,Fg(att0)=,Fg(t0at)=,6.频移,F1G(0)=F1G(),像函数在频率轴上移动0相当于它的原函数乘以单位旋转因子。,7.微分:,Fg(t)=iFg(t),Fg(t)=2Fg(t),一般有,Fg(n)(t)=(i)nFg(t),时域里的微分对应于频域里乘以i,8.积分,如果 Fg(t)=G(),且,或 G(0)=0,则有,F,9.乘积,这里,10.能量积分,巴塞伐(Parserval)公式。,物理意义:运动在时域的能量等于在频域的能量。,11.卷积定理:,Fg1(t)*g2(t)=Fg1(t)Fg2(t),g1(t)g2(t)=F-1Fg1(t)*Fg2(t),单个矩形脉冲的定义为,例1 求单个矩形脉冲的频谱,对它做傅立叶变换，有,它的幅值谱为,F(t),例2 单位脉冲函数(t)的傅立叶变换,即(t)与频域的常数1是一对傅立叶变换对,在整个频域内(t)有均匀的谱分布。,能量为无穷大，现实世界中不可能存在。,如果在频域中有一个函数,它的傅立叶逆变换为,F1(),即，时域中的常数 与频域中的函数是一对傅立叶变换对,如果在频域中的0处有一个函数(0)，根据傅立叶变换的时移性质可得,F1(0)=,由此可知,即，与2(0)为一对傅立叶变换对。,F=2(0),简谐函数的傅立叶变换,Fcos0t=F=(0)+(+0),Fsin0t=F=i(+0)i(0),周期函数的傅立叶变换,Fg(t)=F=,即，周期函数的傅立叶变换是频域内一系列间隔均匀的脉冲函数的迭加,频谱与物体的质量分布类比,一根质量均匀分布的悬臂梁，其线密度为，长度为L，其上c点处有一集中质量m。,当悬臂梁横向运动时，其速度分布为v(x)，c点的速度为v(c)。整个系统的动能为梁的动能与集中质量的动能之和，即,用函数来表示集中质量，则悬臂梁的质量分布为,(x)=m(xc),系统的动能为,非周期函数的频谱类似于分布质量，而周期函数的频谱类似于集中质量。,2.4 拉普拉斯变换,1 拉普拉斯变换的定义,2 拉普拉斯变换的性质,3 拉普拉斯逆变换的求法,1 拉普拉斯变换的定义,傅立叶变换的改进,g(t)定义在时间的正半轴，即取g(t)u(t)。,给函数g(t)乘上一个衰减因子,其中可以根据g(t)的具体情况选取，使 乘积 满足傅立叶变换的可积条件,对 做傅立叶变换,有,这里，s=+i是复变量，而=(s)/i。令,则有,拉普拉斯变换定义,设g(t)在t0有定义,积分,在s=+i的某一邻域内收敛，则,称为g(t)的拉普拉斯变换,记作,G(s)=Lg(t),g(t)=L1G(s),g(t)为G(s)的拉普拉斯逆变换,记作,(t0),普拉斯变换存在定理,如果函数g(t)在t0的任意有限区间上分段连续，且当 t充分大后，可以找到实数M0，和，有,则 G(s)=Lg(t),在半平面Res 上一定存在,并且积分,绝对可积且一致收敛，G(s)为解析函数。,2 拉普拉斯变换的性质,1.线性,2.微分,La1g1(t)+a2g2(t)=a1Lg1(t)+a2Lg2(t)L1a1G1()+a2G2()=a1L1G1()+a2L1G2(),Lg(t)=sLg(t)g(0)Lg(t)=s2Lg(t)sg(0)g(0),Lg(n)(t)=snLg(t)=snLg(t)sn1g(0)sn2g(0)sg(n2)(0)g(n1)(0),3.积分,L=s1Lg(t),4.延时,Lg(t)=Lg(t),5.位移,L eatg(t)=G(sa),6.尺度,L g(at)=,7.初值与终值定理,Lg(t)=G(s)且 存在,则,(a)初值定理 如果,(b)终值定理 如果,Lg(t)=G(s)且 存在,则,8.卷积,Lg1(t)*g2(t)=G1(s)G2(s),L1G1(s)G2(s)=g1(t)*g2(t),Lg1(t)g2(t)=G1(s)*G2(s),g1(t)g2(t)=L1G1(s)*G2(s),它的拉普拉斯变换为,解：如果g(t)是周期函数,即有,例 周期函数的拉普拉斯变换,g(t+T)=g(t)(t0),Lg(t)=,令u=tjT，则 t=u+jT，dt=du。,t=jT时，u=0；t=(j+1)T时，u=T，因此,由于g(t)是周期函数，g(u+jT)g(u)，因此,Lg(t)=,Lg(t)=,3 拉普拉斯逆变换的求法,由于g(t)的拉普拉斯变换就是的傅立叶变换，,根据傅立叶逆变换公式,有,由此可得,令s=+i，则有ds=id。当时，si，所以得到,例 求g(t)=sint的拉普拉斯变换,解：由于g(t)满足,Lg(t)=s2Lg(t)=2Lg(t),用同样的方法可以得到,g(0)=0,g(0)=,g(t)=2g(t),因此有,Lg(t)=Lsint=,Lcost=,