化为下三角行列式.ppt
例1 计算4阶行列式,解法一,解法二,例2 证明奇数阶反对称矩阵的行列式等于零.,设A是n阶反对称矩阵，n是奇数，,则由AT=-A可得，,又由性质1可知，,又由性质4的推论,3可知，,因此,例3 计算4阶行列式,例4 计算4阶行列式,解：,例5,化三角法：,利用行列式的性质将所求行列式化为上三,角行列式或下三角行列式.,解,千万要注意“行列式交换两行，符号要改变.”,性质5 对于n阶行列式,有,证明,考察行列式,关于代数余子式的重要性质,性质5 对于n阶行列式,有,例6 已知5阶行列式,解,按行列式的第4行展开，则可得,记,则,(1),再用行列式的第2行与第4行对应元素的代数余子式,作乘积之和，,由性质5，即得,(2),联立(1)，(2)，有,求第一行各元素的代数余子式之和,例7 设n阶行列式,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,性质6 设L是有如下分块形式的(n+p)阶矩阵：,证明,可经过变换rij(k)化为下三角行列式，,设为,可经过变换cij(k)化为下三角行列式，,设为,故,例8 设,计算,解：,等式两边取行列式，则,因此，,由行列式的定义可知，在其展开式中，a4项的系数是,1，所以,例9 已知AAT=I，且满足,试证,证明：,两边取行列式，可得,又由于,即,则,因此,小结,1.,2.如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,3.行列式的单行（列）可加性,4.行列式的初等变换,5.行列式一行(列)与其它行（列)的代数余子式的乘积之和为零.,6.分块矩阵的行列式,矩阵乘积的行列式,第二章 行列式,第四节 行列式的计算,二、小结,一、行列式计算的几种常见方法,在用降阶法计算行列式时，总是先结合行列式的性质把行列式的某一行(列)的元素尽可能多地化为零，然后再展开。,例1 计算4阶行列式,，所,解,注意到此行列式第3行不为零，按此行展开，有,例3 计算 阶行列式,解法1,将第 列都加到第一列得,第1行的(-1)倍分别加到其余各行！,对于各行(列)元素相加后相等的行列式，可把第2至,第n列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再化简计算.,例3 计算n 阶行列式,解法2,升阶法,将所求行列式增加一行，一列，使之与原行列式,相等，然后计算升阶后的行列式.,用对角元消去第一行(列)的元素，从而将行列式,化为三角形行列式.,例4 计算n阶行列式,当行列式中某行(列)至多有两个非零元时，可按,此行(列)展开.,递推法,应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具,有相同结构的较低阶行列式的线性关系式，再根据,此关系式递推求得所给n阶行列式的值.,证,用数学归纳法,例5,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,n-1阶范德蒙德行列式,数学归纳法,主要用于行列式的证明,例6 计算行列式,解,将Dn+1的第n+1行依次换到第一行，,第n行依次换到,第二行，,将Dn+1的第n+1列依次换到第一列，,第n列依次换到,第二列，,利用Vandermonde行列式计算行列式,大下标减去小下标元素,即得,解:,例8 计算n阶行列式,分块法,当行列式中大片位置上是零元素时，则可,用行列式的性质将其化为,或,从而用性,质6计算.,解法二,将第n行乘以-a加到第一行上，,再对换1,n,行，则,解法三,按第一行展开,n-1阶,例9 计算行列式(n3),解,将行列式第一列拆开，则可得,拆分法,利用行列式的单行(列)可加性，把要计算,的行列式拆成若干个同阶行列式之和.,例10 计算下列行列式,例10 计算下列行列式,加到下一行上去,;,解：,按第一列展开，则,即,(1),由(1)可得，,设Tn=Dn-5Dn-1，,则Tn=2Tn-1，,递推可得Tn=2n-2T2,即,由(1)可得，,设Sn=Dn-2Dn-1，,则Sn=5Sn-1，,递推可得Sn=5n-2 S2,即,联立(2)，(3)，有,对于规律性较强且零元素较多的行列式，可以用降,阶法建立递推关系式计算行列式.,由递推关系式,求Dn:,(1)求出方程,的两个根p,q.,则,(1),(2),联立(1),(2)求出Dn或者仅由(1)或(2)求出Dn.,(2)先求出D1,D2,D3等，找出递推规律，再用数学归,纳法证明.,例11 计算,解,对第一行展开，则,故,记Tn=Dn-Dn-1，,则Tn=Tn-1，,Tn=Tn-1=T2=1，,因此,Dn=Dn-1+1,由上式递推可得，,Dn=Dn-1+1=2+Dn-2=n-1+D1=n+1，,注：,得到递推关系式Dn=2Dn-1Dn-2后，也可由归纳法,求Dn.,由于D1=2,D2=3,D3=2D2-D1=4,类推可得Dn=n+1,下面用数学归纳法证明.,当k=1时，D1=2.,假设当kn时，,Dk=k+1,当k=n时，,Dn=2Dn-1Dn-2=2n-(n-1)=n+1.,例12 计算n阶行列式,解：,即,(1),(2),1.定义法,当行列式中非零元素特别少时，可用此法.,2.化三角法,利用行列式的性质将所求行列式化为上三角行列,列式或下三角行列式.,3.降阶法,应用行列式按行(列)展开定理，把高阶行列式的,计算转化为低阶行列式的计算.,在具体计算时，总是,小结,行列式计算的方法,先结合行列式的性质，把行列式的某一行(列)的元素,尽可能多地化为零，然后再展开.,4.递推法,应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具,有相同结构的较低阶行列式的线性关系式，再根据,此关系式递推求得所给n阶行列式的值.,由递推关系式,求Dn:,(1)求出方程,的两个根p,q.,则,(1),(2),联立(1),(2)求出Dn或者仅由(1)或(2)求出Dn.,(2)先求出D1,D2,D3等，找出递推规律，在用数学归,纳法证明.,5.数学归纳法,主要用于行列式的证明,6.利用Vandermonde行列式计算行列式,7.分块法,当行列式中大片位置上是零元素时，则可用行列,式的性质将其化为,从而用性质6计算.,或,8.拆分法,利用行列式的单行(列)可加性，把要计算的行列式,拆成若干个同阶行列式之和.,9.升阶法,将所求行列式增加一行，一列，使之与原行列式,相等，然后计算升阶后的行列式.,几种行列式的计算方法,用对角元消去第一行(列)的元素，从而将行列式,化为三角形行列式.,2.除对角元外，上三角各元素相等，下三角各元素,相等的行列式，,可用拆分法，递推法求解.,4.对于规律性较强且零元素较多的行列式，可以用,降阶法建立递推关系式计算行列式.,此行展开.,3.对于各行(列)元素相加相等的行列式，可把第2至,至第n列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再化简计算.,5.当行列式中某行(列)至多有两个非零元时，可按,9.升阶法,将所求行列式增加一行，一列，使之与原行列式,相等，然后计算升阶后的行列式.,几种行列式的计算方法,用对角元消去第一行(列)的元素，从而将行列式,化为三角形行列式.,3.对于规律性较强且零元素较多的行列式，可以用,降阶法建立递推关系式计算行列式.,此行展开.,2.对于各行(列)元素相加相等的行列式，可把第2至,至第n列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再化简计算.,4.当行列式中某行(列)至多有两个非零元时，可按,按第4行展开,按第1列展开,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,
