分形几何与分形插值.ppt

分形几何与分形插值,孙洪泉 教授,第一章 绪论,1.1 分形的起源,人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相关的。在经典几何学中,我们可以用直线、圆锥、球等一类规则的形状去描述诸如车轮、道路、建筑物等人造物体。因为这些物体本来就是根据欧氏几何的规则图形生成的。然而在自然界中,却存在着许许多多极其复杂、极不规则的形状。例如,海岸线、山川、河流、岩石、断裂、森林、闪电等等。它们都是非规则形状,用欧几里德几何是无能为力的。,下面我们给出欧氏空间中不能解释的一些的“奇怪”现象。koch雪花的面积有限，周长为无限。这是欧氏空间中的“奇怪”现象。为了说明这样的事实，下面我们给出koch雪花的生成步骤（如图1.1所示）。取周长为1的正三角形为初始元。第一步（k=1）：将边长三等份，并以中间的一份为底边构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与剩下的两份相连，得到生成元（见图1.1）。原三角形每条边都用生成元替换，得到具有6个凸顶点的12边形。第二步（k=2）：对第一步得到的图形，同样将其边长三等份，并以中间的一份构造正三角形，去掉该三角形的底边，将两腰与两边的两份相连，得到生,成元替换，得到24个凸顶点的48边形。如此方法，一直作下去，当k时便得到Koch雪花。运用初等几何和初等代数知识不难求得每一步图形的周长（设k为步数；L图形边长）：,由此可见，随着n时，Koch雪花的周长。,然而，由Koch雪花的制作过程可知，每一步的图形都包含在半径为1的单位园中。因此Koch雪花的面积是有限的。这种面积有限、周长为无穷大的图形在欧氏空间中也是一种不可思意的“奇怪”现象。,为什么会有这种“奇怪”的现象发生呢？从分形的概念引入之后，人们发现用上述方法作出的Koch雪花边长是极其复杂，它的维数已不是欧氏空间中曲线的维数1维了，它的维数是大于1维的。但这个边长也不能填满任何一个小的面积，所以它的维数是小于2维的。同样，在测量英国海岸线时，人们发现海岸线的长度随着测量时使用的码尺的变小而增大。1967年法国数学家B.B.Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题，这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位。以1km为单位测量海岸线，那些短于1km的迂回曲折都忽略掉了；若以1m为单位测量，那些大于1m的迂回曲折就能被测量出来，所以测出的长度将变大。,测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大。如果这些愈来愈大的长度能趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。难道海岸线的长度是不确定的，或者说，海岸线是无限长的。为什么？后来人们发现，英国海岸线以及Koch雪花的周长都是极其复杂的几何图形，它们的维数是介于12之间的分数维。而我们使用的量测码尺都是一维的。用小于图形维数的码尺去度量图形，得到的结果只能是无穷大；反之，用大于图形维数的码尺去度量图形，得到的结果只能是零。上述例子说明确实存在维数不是整数的图形，分数维分形几何的思想便从这里萌芽。,“分形”一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（）于1975年由拉丁语Frangere 一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。1973年,法国数学家Benoit B.Mandelbrot在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。他创造了“分形(Fractal)”这个新术语。分形(Fractal)这个词出自拉丁语fractus,其原意具有不规则、分裂、支离破碎等意思。引入到中国，Fractal 这个词起初被人们译为“分形”、“分维”、“分数维”、“分维数”等。现在已基本上统一称为“分形”。Benoit B.Mandelbrot创立的分形几何，借助于自相似性原理，洞察于混乱现象中的精细结构，其研究对象为自然界和社会活动中广泛存在的复,杂无序，而又具有某种规律的系统，它为人们从局部认识整体、从有限认识无限提供了新的方法，为研究自然界中的不规则现象提供了一种定量描述手段。因此,近年来分形几何不论在理论上,还是在应用上都得到了迅速的发展。1.2 什么是分形我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。在传统欧氏几何学里，,人们总是把研究对象想象成一个个规则的形体：直线、圆形、方形、曲面、立方体等，而我们生活的现实世界中存在的物体，竟有如此多的不规则和支离破碎。与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述和研究这种不规则复杂现象的新方法。什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？我们日常生活中的菜花就是一个具有统计自相似性的分形几何体的很好的例子(图1.2)。从一棵菜花上掰下一枝，放大后它与整体是相似的，再从这枝上掰下更小的一枝，再进行放大，它也与这棵菜花的整体也是相似的。又如，河流水系(图1.3)，一个大的河流、水系与它的支流、,更小的一枝，再进行放大，它也与这棵菜花的整体也是相似的。又如，河流水系(图1.3)，一个大的河流、水系与它的支流、更小的水系就具有统计意义上的自相似性。图1.3显示了亚马逊河水系的自相似特征,经测量计算得其分形维数为1.85。,其实，自相似的例子在我们的身边到处可见。例如一棵大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，所以我们说，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质。动,物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。分形几何的创始人Benoit B.Mandelbrot 说过:“云团不是球体,山峰不是锥形,海岸线不是圆弧,树皮也并不光滑,闪电也不是直线传播2。”这就说明了在自然界中大量的物体都不能用传统的几何形态来精确地进行描述。而在这些“不规则”的形体中,大量的具有分形的特征。分形是适合于描述大自然的几何。研究表明星云的分布、海岸线的形状、山形的起伏、地震、河网水系、材料组织生长、湍流、酶和蛋白质的结构、人体血管系统、肺膜结构、脑电图、城市噪音、股市的涨落等等，大至宇宙星云分布，小到准晶态的,的晶体结构，从地学、生物学、物理学、化学以至社会科学都普遍存在分形现象。分形几何揭示了世界的本，分形几何是真正描述大自然的几何学。区别于经典几何，分形几何有两个基本特征，即自相似性与分形维数。自相似性就是说物体的任何细小部分与整体相似，例如上述Koch雪花的周长。这种相似性称为严格自相似性。然而,自然界中常见的自相似是统计自相似，即统计意义上的自相似性。我们对上述分形的描述加以引伸，可以得到下列分形的含义：1、分形既可以是几何图形，也可以是由“功能”或“信息”架起的数理模型；2、分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的,自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性；3、自相似性可以是严格的，也可以是统计意义上的，自然界的大多数分形都是统计自相似的；4、相似性有层次结构上的差异，数学中的分形，具有无限嵌套的层次结构，而自然界中的分形只有有限层次的嵌套，且要进入到一定的层次结构以后才有分形的规律；5、相似性有级别（即使用生成元的次数或放大倍数）上的差异。级别最高的是整体，最低的称为0级生成元。级别愈接近，则愈相似。级别相差愈大，相似性愈差。可用无标度区间或标度不变性表示。,1.3 维数与分形维数 在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的。还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形的另一个特征是分数维数，即维数可以是分数的。这类维数是在研究自然界中复杂现象时需要引入的一个重要概念。为了弄清楚分形维数的计算方法，我们首回顾在欧氏空间中，度量不同维数的单位形体时，尺码与度量次的关系(见图1.4)。,取单位长的线段(1维形体)，以长为 的码尺去度量它，度量的次数为N(r)=2，它是码尺的1次幂分之一；若以长为 的码尺去度量它，则度量的次数为N(r)=3，它仍然是码尺的1次幂分之一；当以长为 的码尺去度量它，则度量的次数为N(r)=n，它仍然是码尺的1次幂分之一，见图1.4（a）。再取单位正方形(2维形体)，以边长为(码尺)的小正方形去度量它，度量的次数为N(r)=4，它是码尺的2次幂分之一；若以边长为(码尺)的小正方形去度量它，则度量的次数为N(r)=9，它仍然是码尺的2次幂分之一；当以边长为 的小正方形去度量它，则度量的次数为N(r)=n2，它仍然是码尺的1次幂分之一，见图1.4（b）,同理，对于单位立方体(3维形体)，用不同的码尺去度量它时，其度量次数是码尺3次幂分之一,见图1.4(c)。,(a),(b),图1.4 欧氏空间中单位形体码尺与度量次数之间关系r：码尺，N(r)：度量次数，l(r)：单位形体体积(a)一维形体；(b)二维形体；(c)三维形体,所以，我们可以得到，对于d维欧氏空间中的形体，码尺长度r与度量次数N(r)之间关系为 公式(1.4.1)是欧氏空间中维数定义的数学表达式，它是维数本质的数学特征。对于分形空间中的分形体，如果它是严格自相似的，则它的相似维数也可以通过公式(1.4.1)来求得。由于分形几何具有特殊的复杂性，对于一般的分形集的维数的计算，根据不同的情况可以用极限的形式定义不同的分形维数计算公式，以后的章节将有详细介绍。,(1.4.1),对于分形，目前还没有一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可作同样的处理。对于某一集合A，如果具有下面的性质，可称为分形集：(1)曼德布罗特曾把满足下式条件 的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的分形维数，dim(A)为其拓扑维数。一般来说，Dim(A)不是整数，而是分数；(2)集合A具有近似的、或统计的自相似性，亦即满足标度不变性；(3)集合A具有不规则性，从整体到局部均难以用传统的几何学进行描述；,(4)集合A具有精细结构，也就是说，它具有任意小的比例的细节；(5)在许多情况下，集合A可以用非常简单的方法定义，它具有递归性，可在计算机上以递归的方式生成。总之，分形几何与传统的几何完全不同，传统的欧几里德几何的对象具有一定的特征长度和标度，其所描述的是人类生产的工业产品的规则形状，分形几何则是无特征长度与标度的，它擅长描述自然界普遍存在的景物，分形几何的图形具有自相似性和递归性，它比较适于用计算机迭代生成。,1.4 插值与分形插值,给定一组测量数据（信息点）(xi,Fi);xi-1xi,i=1,2,N 欲构造一个函数f(x)，使它的几何图形连续地穿过每个点，即Fi=f(xi),i=0,1,N。函数f(x)就称为插值函数。对插值函数的要求不同，又可得到不同的性质的插值函数。1.线性插值 线性插值是假定相邻两已知数据点之间的未知信息呈线性变化规律,即为一次函数(直线或平面）。如手工绘制等值线图。2.距离平方反比法 已知数据点对未知点的影响,是与它到未知点的距,离有关的。距离越远,影响越小。传统的曲面插值常采用这种方法。3.Lagrange插值 Lagrange插值是多项式插值,它是插值区域的整体函数,使得这个函数在观测点上的函数值与观测值相等。4.样条函数 样条函数是分片函数,它不仅要求函数在观测点上连续,还要具有一阶或二阶导数存在。5.地质统计学法地质统计学插值假定研究区域中的数据,具有统计上的二阶平稳性。它是一种无偏且估计方差最小的插值方法。在插值的过程中,既考虑到已知信息点的随机性,又考虑到已知信息点的空间相关性。,6.分形插值 分形插值是根据分形几何的自相似性的原理和迭代函数系的理论,将已知数据插值成具有自相似结构的曲面。任何一个局部都与整体自相似或统计自相似。,(a),(b),(c),图1.5 不同性质的插值曲线(a)线性；(b)光滑曲线；(c)分形插值,因此,从插值原理上看,传统的插值方法(15),任意两相邻插值点之间的信息都是用直线或光滑曲线连接(见图1.5(a)，(b),从而掩盖了相邻两插值点之间局部变化特征,因此具有一定程度的光滑作用；而分形插值,根据整体与局部相似的原理,将插值数据点的变化特征映射到了相邻点之间的局部区域，在相邻的两个信息点之间也能得到局部波状起伏的形状，可以得到两信息点之间的局部变化特征(见图1.5(c)。然而，对大量实际情况，在相邻两信息点之间并不是线性变化的或是光滑过渡的，而是存在局部变化的特征。因此,对于具有分形特征的形体，两信息点之间有更多更精细一级的波状起伏，用分形插值其结果更加符合实际。,第三章 分形集的构造,这一章我们着重讨论经典分形集的概念和构造方法。这些构造方法使我们能够产生和分类广泛的分形类，包括康托(Cantor)集、科赫(Koch)曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯和皮亚诺(Peano)曲线。分形被看成是由逐次微小加细的无限递归或归纳过程而得到的一种对象。本章仅给这些集合的生成方法及其图形，下一章将给出它们的相似维数。3.1 Cantor集 3.1.1 Cantor集的构造 经典的Cantor集提供了一个最简单的分形集的例子。它的构造反映了分形集构成的一般原理：它是由无限个许多小片组成，每一个小片又与整体集相似。,更精确地说，令E0:0,1，E1:0,1/32/3,1，并且令Ek+1 是从去掉Ek每一个小区间中间的三分之一而得到。很清楚Ek是由2k 个小区间组成，且每个小区间的长度为(1/3)k。注意，Ek可以通过连续地使用函数fi:0,10,1,i1,2 而得到。对于前一步Ek-1集的每一个小区间，fi由下式给定：,和,（）,（）,那么Cantor集就定义成。,众所周知，E是一个完备集。也就是说它是闭的并且自身是稠密的。Cantor集F并不包含任何区间，它的一维勒贝格测度等于零。但是，E是不可数的，它的零维勒贝格测度是无穷大。这种相当简单的研究给了我们一个启示：对于精确地度量E的“体积”，勒贝格测度是太粗糙了(事实上这是分形集的一般特征)。然而，豪斯道夫引进了一种测度，这种测度将一个有限的非零数与集C联系在一起。现在我们给出Cantor集的具体作法（见图3.1）。设E0表示线段0，1上所有实数的集合，把线段0，1分成三等份，把中央的三分之一部分1/3，2/3去掉，用E1表示这剩下两个线段0，1/3，2/3，1。接着，把剩余的线段0，1/3，2/3，1再分别分成三等份，去掉各自中央的三分之一部分1/9，2/9，,7/9，8/9，用E2表示剩下四个线段0，1/9，2/9，1/3，2/3，7/9，8/9，1。这种作法不断重复下去，得到Cantor集F。三分Cantor集F是由属于所有Ek当k趋于无穷时的极限，是一个不可数的无穷集。图3.1给出了第5级的情况。在下一章，我们将给出Cantor集的自相似维数。下面列出三分Cantor集F的一些性质：(1)F是自相似的。很明显，在区间0，1/3和2/3，l内的F的部分与F是几何相似的，相似比为1/3。F在E2的四个区间内的部分也与F相似，相似比为1/9。以此类推，这个集包含许多不同比例的与自身相似的子集。(2)F具有“精细结构”。它包含有任意小比例的细节，即在任意小的尺度内都包含整体特征。越放,大三分Cantor集的图，间隙就越清楚地呈现出来。(3)尽管F有错综复杂的细节结构，但E的实际定义却非常简单明了。(4)F是由一个迭代过程产生的，它的结构是由重复去掉区间中间的1/3得到。持续的步骤得到的Ek是E的越来越好的逼近。(5)F的几何性质难以用传统的几何术语来描述，它的点的轨迹既不满足某些简单的几何条件，也不是某个简单方程的解集。(6)F的局部几何性质也是很难描述的，在它的每个点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点。(7)虽然F在某种意义上是相当大的集(它是无限不可数的)，然而它是不能用通常的测度和长度来度量，用任何合理的长度意义下，F的长度总为零。,3.1.2 Cantor尘的构造 一个平面中的Cantor集，称为“Cantor尘”19，如图3.2所示。构造“Cantor尘”的步骤与三分Cantor集的类似，它的每一步骤是把正方形等分成16个小正方形，保留其中四个而把其余的去掉。当然，保留不同次序或个数不同的小正方形，可以构造出不同的集。显然“Cantor尘”具有与在三分Cantor集中指出的那些性质相似的性质。,图3.2 Cantor尘,Cantor集的构造还可以有随机的类似形式。以三分Cantor集为例，它的构造可以用几种不同的方法随机化。每次把线段分成三部分，但不是总去掉中间的一段，可以用掷骰子来决定去掉哪部分。另外，也可以在每步的构造中随机地选择区间的长度，可以在第k步，得到2k个不同长度的区间，最终得到一个看起不规则的图形。,一般地说，在构造随机的Cantor集时，有两个条件是可以改变的：其一是对初始长度L0进行多少等分或不等分；其二是留下哪些部分，去掉哪些部分。在Cantor三分集中，可以随机地保留其中的两部分，每部分的长度也可以是随机变化的。得到的图形将是更加错综复杂的。,3.2 Koch曲线,3.2.1 Koch曲线的构造 现在我们介绍Koch曲线的构造(图3.3)。开始，设单位长度的线段为E0；第一步，将E0分成三等份，去掉中间的一段，并以两条长为1/3的折线来替代，得到E1；,第二步，将E1中的每条线段三等份，去掉中间的一段，用长(l/3)2的两条折线替代，得到E2；不断重复这样的迭代作法，无数次迭代后就生成了具有无穷多弯曲、处处连续、处处不可微商的Koch曲线F。,3.2.2 Koch曲线的自相似性 Koch曲线F是分形的，因为它是自相似的。自相似性就是跨尺度的对称性。它意味着递归，在一个图形内部还有图形。自相似性指的是把要考虑的图形一部分放大，其形状与整体相同。设想把图3.3中Koch曲线F在区间0，l/3中的图形放大3倍，放大后的图形与原来的曲线形状完全相同。把区间2/3，1放大3倍，也会得到同样结果。虽然区间1/3，l/2，1/2，2/3的图形是倾斜的，但是把它放大，也会得到同样的结果。若把区间0，1/9的图形放大9倍，同样也可以求得与原来相同的图形。对更小的部分进行放大也是如此。不论多小的部分，若把它放大到适当大小，应该能得出与原来相同的图形,见图3.4。,注意到，在第n步迭代时，每个线段的长度为(1/3)n，一共有4n个这样的线段。因此，Koch曲线的长度在第n步时为 Ln=(4/3)n,（）,显然，当时n，Ln。这正是由于这条曲线是分形曲线，它的维数大于一维，用欧氏空间一维的尺码去度量所得到的结果。下一章我们将给出Koch曲线的分形维数。3.2.3 Koch雪花的构造 绪论中所讲的Koch雪花的构造过程与Koch曲线的构造过程类似。实际上，Koch雪花是由三条三次Koch曲线组成（见图3.5）。它是一条连续的回线，永远不会自我相交。因为每边上新加的三角形部足够小，以致彼此碰不上。每一次变换在曲线内部增加一点面积，但总面积仍是有限的。事实上比初始的三角形大不了多少。如果画一个外接圆把初始的三角形包起来，Koch雪花的周长曲线永远不会超出这个圆之外。,然而，曲线本身却是无限之长，同任何伸向无边无际的宇宙深处的欧几里德直线一样长。就像第一次变换把长1m的每边换成4个各长l/3m的线段一样，每一次变换使总长度乘上4/3，使得在有限空间里的无限长度的曲线产生了。从而出现了面积有限，周长为无限长的矛盾的结果。这也说明了Koch雪花的周长曲线是一个分形曲线，它的维数是大于1的。,3.2.4 随机Koch曲线 Koch曲线也可以“随机生成”，图3.6表示一个随机Koch曲线。在构造的每一步，每次去掉区间中间三分之一的部分，而用与去掉部分构成等边三角形的另两条边来代替，再用掷硬币的方法来决定新的部分位于被去掉的部分的“上边”或“下边”。经过几步以后，得到一个看起来相当不规则的随机Koch曲线，它仍然保留了Koch曲线的某些特征，如具有精细的结构，但Koch曲线具有的严格自相似性已被它所具有的“统计自相似性”所取代。,3.2.5 四次Koch曲线 另外，还可以将Koch曲线的构造方法加以推广。改变等分数目。例如，将一条欧氏长度为L0的直线段进行四等分，保留两端的两个小段，而中间的两段改成一个向上，另一个向下的小段，使得和原来的两小段构成两个小正方形，如图3.7所示。将上述操作重复下去，得到一条具有相似结构的折线，常称之为四次Koch曲线。这样，四等分之后，k1时，E1的长度为8个L0/4的小线段的长度。同样用下一章所讲的内容，可以求出其自相似维数。,3.3 Sierpinski 垫片,3.3.1 Sierpinski三角形 波兰数学家Sierpinski于1916年提出了一种分形生成的方法，其图形被称为Sierpinski垫,片或Sierpinski三角形。这种方法提供了一个由二维图形生成分形集的例子。这个集合早在“分形”这个术语创立之前的很长时间就广为人知了。这个集合原来是在点集拓扑中提出的。它的构造过程是：令为具有顶点坐标(0,0)、(1,0)和(1/2,1)的三角形。连接这个三角形三条边的中心，将这个三角形分为四个全等的子三角形1，4。删除中心的一个子三角形1，剩下三个小2，3，4（令(1)=1）。将上述方法应用到剩下三个子三角形的每一个上，产生九个小三角形22,23，24，42，43，44，以及它们被删除的中心的并(2):213141(此处原文有误)。这种过程无限地延续下去产生一个序列(k)，这里的(k)表示第k步后3k-1 个被删除的中心的并。,Sierpinski 三角形定义成(见图3.8)。很清楚，S的一维勒贝格测度是无限的，它的两维勒贝格测度等于零。集合S是R2 的不包含任何面积的连通子集。S的构造序列，任何一个子部分都与它的整体图形相似。另外，S也可以通过连续应用映射的并而得到：fi：，i=1,2,3。,（）,（）,（）,每一个映射都对应各自的图象。,图3.8 Sierpinski 三角形,如果三角形是一个等边三角形，将这个等边三角形四等分，用上述方法可以类似地得到四个小等边三角形，去掉中间的一个，保留其他三个。将剩下的三个小三角形再分别进行四等分，并去掉中间的一个，保留其他三个。重复操作，直至无穷，得到由正三角形生成的Sierpinski三角形。,有人称这种Sierpinski三角形为谢尔宾斯基垫片（Sierpinski Gasket）。图3.9给出了Sierpinski垫片的生成过程。该集合的面积是零，而线的欧氏长度趋于无穷大。,图3.9 Sierpinski 垫片的形成过程,3.3.2 Sierpinski地毯 类似地，正方形9等分成9个小正方形，挖去中问的一个，保留四条边，剩下8个小正方形。再把剩下的8个小正方形各9等分，各自挖去中间的一个，保留它们的边。,如此无限进行下去(图3.10)，人们称这样的集合为谢尔宾斯基地毯(Sierpinski Carpet)。同样，该集合的面积趋于零，而线的欧氏长度趋于无穷大。一人原来规整的正方形，经上述操作以后，成了千窗百孔。,图3.10 Sierpinski 地毯,匈牙利的Vicsek提出了一个操作方法，它将一个正方形9等分，去掉四边中间的4个小正方形，保留中间的和四个角上的4个小正方形，剩下5个小正方形。,它们的边，还剩下五个小正方形(N5)。重复上述操作直至无穷，得到如图3.11所示的几何图形。这种几何图形称为Vicsek图形。,图3.11 Vicsek图形,3.3.3 Sierpinski海绵 对一个正六面体，将它的六个面均进行9等分（立方体的每个棱长均三等分），这等价于将立方体进行27等分，而后去掉体心处的1个小立方体和面心处的6个小立方体，剩下20个小立方体(N20)。,对这剩下的20个小立方体都采用上述方法进行操作，并将这种操作重复下去，直至无穷，如图3.12所示。这种方法得到的图形，人们称之为谢尔宾斯基海绵(Sierpinski sponge)。,图3.12 Sierpinski 海绵,经过上述操作后，使正六面体干窗百孔，类似于海绵的结构。对Sierpinski海绵而言，其体积趋于零，而其表面的欧氏面积趋于无穷大。对一个正四面体，也可经过类似的反复操作，获得具有类似性质的结构。Sierpinski集的共同特征是：(1)它们都是经典几何无法描述的图形。在Sierpinski垫片中，它的面积趋于零，而其周长趋于无穷大，因此它的维数只可能介于1和2之间；Sierpinski海绵的体积趋于零，而其表面积却趋于无穷大，所以它的维数只能介于2和3之间。因此，用传统的几何学分析，它们常被称为病态的几何图形，是一种“只有皮没有肉”的几何集合。,(2)它们都具有无穷多个自相似的内部结构。任何一个分割后的图形经适当放大后都是原来图形的翻版。如令初始图形(三角形、正方形与正六面体)为E0，每操作一次后得到的集合依次用E1，E2，Ei来表示，则Sierpinski集合为即由无穷多个闭集的交来构成，故E也是闭集。,（）,