代数系统的一般性质-嘉应学院.ppt

1,半群和独异点,定义 设V=是代数系统,为二元运算如果是可结合的,则称V为半群定义 如果半群V=中的二元运算含有幺元,则称V为含幺半群,也可叫做独异点.为了强调幺元的存在,有时将独异点记为。,2,例6.1是半群。,都是半群和独异点，其中+表示普通加法。幺元是0。,是半群和独异点,其中表示矩阵乘法。矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E.是半群和独异点,其中是有穷字母表,表示连接运算.连接运算的幺元是空串.是半群和独异点,其中表示集合的对称差运算对称差运算的幺元是.是半群和独异点,其中Zn=0,1,n-1,表示模n加法。模n加法的幺元是0.,3,因为半群V=中的运算是可结合的,可以定义运算的幂对任意的xS,规定xn是 x1=x,xn+1=xnx,n为正整数。易证x的幂遵从以下规律：xn xm=xn+m,(xn)m=xnm,n为正整数,半群中运算的幂,4,在独异点V=中,如果规定x0=e(x是S中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可以变成 x0=e xn+1=xn x n为非负整数而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。,独异点中运算的幂,5,例,6,7,子半群,半群的子代数叫做子半群如果V=是半群,就是V的子半群,需要满足：T是S的非空子集，T对V中的运算是封闭的，即可。,8,独异点的子代数叫做子独异点.对独异点V=,构成V的子独异点，需要满足：T是S的非空子集，T要对V中的运算封闭，eT，即可。,子独异点,9,10,试证上述定理并思考：若干个子半群的并是子半群吗？,11,积半群,定义 设V1=,V2=为半群,则V1V2=也是半群,且对任意,S1S2有=称V1V2为V1和V2的积半群.,12,半群同态,定义 设V1=,V2=为半群,:S1 S2，且对任意x,yS1有(xy)=(x)*(y)则称为半群V1到V2的同态,13,例 半群V=,其中S=.是矩阵乘法。令:S S,那么有=这说明 是半群V的自同态,但不是满自同态,14,独异点的积代数,设V1=,V2=是独异点,则它们的积代数是 V1V2=其中的定义与积半群一样即：对任意,S1S2有=,15,V1=,V2=是独异点,设:S1 S2,如果对任意x,yS1都有(xy)=(x)*(y)(e1)=e2,则称为独异点V1到V2的同态,独异点的同态,16,例 独异点V=其中S=，.是矩阵乘法。令:S S,那么对任意x,yS都有,17,但是而 不是独异点V的么元,因此,不是独异点V 的自同态。这就是说,如果把V看作半群,则是V的自同态;如果把V看作独异点,则就不是它的自同态了。,18,19,