专题算法与推理(理).ppt

理 数,第8专题 算法与推理,回归课本与创新设计,高考命题趋势,重点知识回顾,主要题型剖析,专题训练,试题备选,一、算法,1.算法的含义,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(1)一般而言,对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法.,(2)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题,其中的每条规则是明确定义的、可行的.,(3)算法从初始步骤开始,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,从而组成一个步骤序列,序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答.,2.流程图(也叫程序框图、算法框图)是由一些框图和带箭头,的流线组成的,其中框图表示各种操作的类型,框图中的文字和符号表示操作的内容,带箭头的流线表示操作的先后次序.流程图通常由输入、输出框、流程线、处理框、判断框、起止框等构成.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,3.算法的三种基本逻辑结构,顺序结构:如图(1)所示.,条件结构(也称选择结构、条件分支结构):如图(2)和图(3)所示.,循环结构:如图(4)和图(5)所示.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,1.合情推理,(1)归纳推理和类比推理统称为合情推理.,(2)归纳推理是由部分到整体、由特殊(个别)到一般的推理.,(3)类比推理是由特殊到特殊的推理.,2.演绎推理,演绎推理是由一般到特殊的推理.,二、推理,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(1)综合法的思维特点是:由因导果.,(2)分析法的思维特点是:执果索因.,4.间接证明法反证法,反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法.,反证法的步骤是:反设、归谬、存真.,3.直接证明法,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(1)证明当n取第一个值n0(初始值)时结论正确;,(2)假设当n=k(kN+,且kn0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.,由(1)(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.,5.数学归纳法的步骤:,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,算法考题模式仍将保持稳定,还是以算法框图为考查要点,仍以数列、函数和统计等知识为背景,但试题将更加新颖灵活.,推理与证明贯穿于整个高中数学的始终.解题过程中处处离不开分析与综合的思想方法,某些试题要靠归纳和类比得到问题的答案或者解决问题的方法,在解答题的推理论证中,大多数题目要靠演绎推理来完成,可以说推理与证明伴随在解题的整个过程中.高考试题中出现考查归纳推理和类比推理的试题,也出现过用反证法证明的题目,随着新课标高考的深入,对推理与证明的考查会更加科学合理,特别在合情推理的考查方面定会有新的试题出现在高考试卷中.,算法考题基本上是1道客观题,分值为5分,常以数列、函数、统计等知识为背景,主要考查算法框图,试题难度不大.展望2012年高考,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,算法与框图是高考中经常考查的内容,常见于选择题和填空题,以容易题、中档题为主.考查的热点是算法框图、条件语句和循环语句的理解和应用,主要是利用算法解决代数式、方程、不等式、函数、数列、统计等知识交汇的小综合问题.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,例1(1)定义函数CONRND(a,b)是产生区间(a,b)内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的算法框图可用来估计的值.现在N输入的值为100,结果m的输出值为21,则由此可估计的近似值为.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(2)(2011年江西)下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是.,【分析】(1)读懂算法框图的循环结构和随机数函数,用几何概型求之.,(2)先考虑循环变量s和计数变量n的初始值,再确定循环体及循环次数并计算每次的运算结果,最后确定输出变量s的值.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,【解析】(1)点(A,B)应在矩形区域(A,B)|-11时,输出m=21,表示点(A,B)在矩形区域内部和单位圆的外部有21个点,根据几何概率得=,=4=3.16.,(2)第一次,s1=0+(-1)1+1=0,n=2;第二次,s2=0+(-1)2+2=3,n=3;第三次,s3=3+(-1)3+3=5,n=4;第四次,s4=5+(-1)4+4=109,故填10.,【答案】(1)3.16(2)10,(1)算法用来解决实际问题会是高考的一个命题亮点.本题借助框图,考查了几何概型,又验证了圆周率的近似值,是一道好题.(2)算法框图命题背景常常是数列、统计、函数等等.在知识的交汇处命题是高考的一大特色.本题就是用框图解决数列的一道好题.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,同类拓展1(1)(2011年山东)执行如图所示的算法框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(2)执行如图所示的算法框图,若输出的S=88,则判断框内应填入的条件是(),(A)k7?.(B)k6?.(C)k5?.(D)k4?.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,【解析】(1)输入l=2,m=3,n=5,l2+m2+n20,故y=702+213+155=278,因y=278105,故y=278-105=173,又y=173105,故y=173-105=68.,(2)第一次循环:k=1+1=2,S=20+2=2;,第二次循环:k=2+1=3,S=22+3=7;,第三次循环:k=3+1=4,S=27+4=18;,第四次循环:k=4+1=5,S=218+5=41;,第五次循环:k=5+1=6,S=241+6=88,满足条件则输出S的值,而此时k=6,故判断框内应填入的条件应是k5?.故选C.,【答案】(1)68(2)C,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,合情推理是科学发现和创造的基础,尽管合情推理的结果不一定正确.高考常在归纳与类比中择一命题,题型较灵活,难度中等,主要是选择或填空题.考查两个推理的应用能力.,例2(1)(2011年山东)设函数f(x)=(x0),观察:,f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=,f3(x)=f(f2(x)=,f4(x)=f(f3(x)=,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,当nN+且n2时,fn(x)=f(fn-1(x)=.,根据以上事实,由归纳推理可得:,(2)在平面几何中,ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=,把这个结论类比到空间:在三棱锥ABCD中,ABCD(如图所示),面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E,则得到的类比的结论是.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(2)类比时,面积常与线段长类比.ACD类比AC,BCD类比BC.,【解析】(1)观察给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且每个式子的常数项为2,4,8,16,这样fn(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数为2n-1;因此fn(x)=f(fn-1(x)=.,【分析】(1)从给出的函数解析式中x的系数分析归纳出一般性结论.,(2)ABCD,过E作EFCD交CD于点F,连结AF,BF,则CD平面ABF.故AFB为二面角A-CD-B的平面角,于是EF是AFB的平分线.类比=成立.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,【答案】(1)(2)=,(1)本题实质是考查数列的通项归纳,这是归纳推理经常考查的方面.(2)类比时要了解一些类比对象的对应关系,这便于快捷找到解决问题的思想方法.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,同类拓展2(1)观察下列恒等式:,=-,tan-=-,tan 2-=-,tan 4-=-,由此可知:tan+2tan+4tan-=.,(2)边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值.将这个结论推广到空间,棱长为a的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值,则这个定值为.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,【解析】(1)tan+2tan+4tan-,=2tan-+4tan=4tan-4=-8.,(2)在等边三角形中,设任意一点到三边的距离分别为x1、x2、x3,则ax1+ax2+ax3=a2x1+x2+x3=a,同理,在正四面体中,可设正四面体内任一点到四个面的距离分别为h1、h2、h3、h4,因为每个面的面积为a2,a2(h1+h2+h3+h4)=a2a,h1+h2+h3+h4=a,即为此正四面体的高.,【答案】(1)-8(2)a,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,综合法是“由因导果”,而分析法则是“执果索因”,它们是截然相反的两种证明方法,分析法便于我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙述,两种方法各有所长,在解决具体的问题中,综合应用,效果会更好.一般直接证明中的综合法会在解答题中重点考查.而反证法一般作为客观题的判断方法,很少单独命题,但可能会在大题中用到.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,例3如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,PCAD,底面ABCD为梯形,ABDC,ABBC,AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.,(1)求证:平面PAB平面PCB;,(2)求证:PD平面EAC.,【分析】本题以立体几何中的四棱锥为载体,重点考查平行与垂直这两大位置关系的推理论证,其中第(1)问,要证面面垂直,即要证两平面中的一个平面经过另一平面的一条垂线,从而问题的关键在于寻找平面PAB或平面PCB的垂线,根据图形的特征,可证CB与平面PAB垂直,这可由条件ABBC,PACB即得;第(2)问要使得线面平行,只需保证线线平行,即使PD,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,与平面AEC内的一条直线平行,连结BD交AC于M,从而问题转化为探究PD与EM能否平行的问题.,【解析】(1)PA底面ABCD,PABC,又ABBC,PAAB=A,BC平面PAB.,又BC平面PCB,平面PAB平面PCB.,(2)PA底面ABCD,AC为PC在平面ABCD内的射影.,又PCAD,ACAD.,在梯形ABCD中,由ABBC,AB=BC,得BAC=,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,又ABDC,DCA=BAC=,又ACAD,故DAC为等腰直角三角形.,DC=AC=AB=2AB.,连结BD交AC于点M,连结EM,则=2.,在BPD中,=2,PDEM.,又PD平面EAC,EM平面EAC,PD平面EAC.,立体几何是高中数学的重要组成部分,在高考中的试,题多以中档题形式出现,综合考查线面平行及垂直问题等基础知识,在备考复习时,要依据课本知识,构建空间思维网络,熟练掌握线面平行、垂直的性质、判定定理.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,同类拓展3,(2011年江苏)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分别是AP,AD的中点.,求证:(1)直线EF平面PCD;,(2)平面BEF平面PAD.,【解析】(1)在PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EFPD.,又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF平面PCD.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(2)连结BD,因为AB=AD,BAD=60,所以ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BFAD.,因为平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.,又因为BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,例4已知a0,b0,a+b=1,求证:+2.,【分析】若采用分析法,则易找到思路,用综合法结合基本不等式进行书写证明过程.,【证明】(法一)要证原不等式只要证a+b+24,即只要证明1.,也就是要证明ab+(a+b)+1.从而只要证ab.,1=a+b2ab,原不等式成立.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(法二)1=a+b2,ab,(a+b)+ab+1,1,从而有2+24,即(a+)+(b+)+24,+24,+2.,本题的关键在于找准突破口,合理选择方法.分析法中的联结词语必不可少,优点是利于思考.综合法条理清楚,但不好下手,两者结合较好.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,同类拓展4已知函数f(x)=x2+ax+b,(a,bR),当实数p、q满足p+q=1时,若0p1,求证:pf(x)+qf(y)f(px+qy)对任意实数x,y成立.,【证明】欲证:pf(x)+qf(y)f(px+qy),只要证:p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)(px+qy)2+a(px+qy)+b.,p+q=1,只要证:px2+qy2(px+qy)2,只要证:p(1-p)x2-2pqxy+q(1-q)y20,只要证:pq(x-y)20.,0p1,p+q=1,0q1,(x-y)20,上式成立,故原不等式成立.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,例5求证:当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时,bc0.,【分析】从所证结论分析不好采用直接证法.若用反证法,则可分为3类情况讨论证明.,【证明】假设bc=0,则有三种情况出现:,若b=0,c=0,方程变为x2=0,x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根,这与已知方程中有两个不相等的实根矛盾;,若b=0,c0,方程变为x2+c2=0,但当c0时x2+c20与x2+c2=0矛盾;,若b0,c=0,方程变为x2+bx=0,方程的根为x1=0,x2=-b,这与已知条件方程有两个非零实根矛盾.,综合可知,假设不成立,故当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时,bc0.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,当结论的反面的情形比较多时,要对每一种情形分别推出矛盾.,同类拓展5设Sn为数列an的前n项和,Sn=2an-3n+5(nN+).,(1)证明:数列an+3是等比数列;,(2)证明:不存在正整数p,q,r(pqr)使得p,q,r和Sp,Sq,Sr同时成等差数列.,【证明】(1)因为Sn=2an-3n+5(nN+),所以a1=S1=2a1+2,所以a1=-2.,又因为an+1=Sn+1-Sn,=2an+1-3(n+1)+5-(2an-3n+5),=2an+1-2an-3,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,所以an+1=2an+3,故an+1+3=2(an+3).,又因为a1+3=1,所以数列an+3是首项为1,公比为2的等比数列.,(2)由(1)得,an+3=(a1+3)2n-1=2n-1,所以an=2n-1-3,故Sn=2n-3n-1.,假设满足条件的正整数p、q、r存在,则p+r=2q,Sp+Sr=2Sq.,由得,(2p-3p-1)+(2r-3r-1)=2(2q-3q-1),重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,即2p+2r-3(p+r)=2q+1-6q.,将代入得,2p+2r=2q+1.,设等差数列p、q、r的公差为d,则q=p+d,r=p+2d,d0.,代入上式有2p+2p+2d=2p+d+1,两边同除以2p,得1+22d=2d+1,即(2d-1)2=0,所以2d=1.,所以d=0,与d0矛盾.,故不存在满足条件的p、q、r.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,数学归纳法在高考中一般不单独命题,而是作为解答题的工具,且往往在与数列、函数、不等式等知识交汇处使用.,例6已知数列bn是等差数列,b1=1,b1+b2+b10=145.,(1)求数列bn的通项公式bn;,(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1),记Sn是数列an的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,【分析】(1)直接由已知求出b1和d即可.(2)将Sn和logabn+1分别求出表达式后使用数学归纳法证之.,【解析】(1)设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n-2.,(2)由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+),而logabn+1=loga,于是,比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,取n=1,有(1+1)=,取n=2,有(1+1)(1+)=.,推测(1+1)(1+)(1+)(*).,当n=1时,已验证(*)式成立;,假设n=k(k1)时(*)式成立,即(1+1)(1+)(1+).,则当n=k+1时,(1+1)(1+)(1+)(1+)(1+)=.,()3-()3,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,=0,(3k+2)=,从而(1+1)(1+)(1+)(1+),即当n=k+1时,(*)式成立,由知,(*)式对任意正整数n都成立.,于是,当a1时,Snlogabn+1,当 0a1时,Snlogabn+1.,与正整数n有关的命题的证明常考虑数学归纳法,数学归纳法应注意:验证n的初始值时命题成立;假设n=k时命题成立且要利用假设.二者缺一不可.此题在证n=k+1命题成立时用作差比较法是很好的思想方法.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,同类拓展6在各项为正的数列中,数列的前n项和Sn满足Sn=(an+).,(2)由(1)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.,【解析】(1)S1=a1=(a1+),求得a1=1.,S2=a1+a2=(a2+),得a2=-1.,S3=a1+a2+a3=(a3+),得a3=-.,(1)求a1,a2,a3;,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(2)a1=-,a2=-,a3=-,猜测an=-.,下面用数学归纳法证明an=-.,n=1时,由上知成立.,假设n=k(kN且k1)时,ak=-成立,则n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=(ak+1+)-(ak+)=(ak+1+)-(-+).化简得+2ak+1=1.(ak+1+)2=k+1.,ak+10,ak+1=-,即n=k+1时,an=-成立.,由知,an=-成立.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,回归课本,(2010年湖南)如图是求12+22+32+1002的值的程序框图,则正整数n=.,【解析】按照程序框图依次执行:,第1次,这时 s=1,i=2;第2次,这时s=12+22,i=3;,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,第99次,这时s=12+22+32+992,i=100;,第100次,这时s=12+22+32+1002,i=101,输出.,【答案】100,课本试题对比:,人教A版必修3习题1.1第2题.,设计一个算法求12+22+992+1002的值,并画出算法框图.,本题考查了算法中的读算法框图问题,这类问题在高考中是必考题,试题难度不大,主要考查循环结构和条件结构等.通过对比发现,高考题就是设计了一个算法框图,完成求值.可以说两题完全相同.由此得到感悟:高考题虽然千变万化,但万变不离其宗.算法与推理的许多问题均可以从课本中找到原型,复习时要注意这点,不能丢掉这一核心.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,1.如图,在算法框图中,若p=,则输出的n=.,创新设计,【解析】由题意得n=1,S=0+=p;n=2,S=+=p;n=3,S=+=p;n=4,S=+=p;n=5,S=+=p,输出n=6.,【答案】6,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,2.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nN+)的前12项(如下表所示),按如此规律下去,则a2011+a2012+a2013等于(),重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(A)1004.(B)1005.(C)1006.(D)1007.,【解析】a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4等,这个数列的规律是奇数项为1,-1,2,-2,3,-3,偶数项为1,2,3,故a2011+a2013=1,a2012=1007,故a2011+a2012+a2013=1007.故选D.,【答案】D,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,1.由直线与圆相切时,圆心与切点的连线与直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切点的连线与平面垂直,用的是(),(A)归纳推理.(B)演绎推理.,(C)类比推理.(D)特殊推理.,【解析】由类比推理的概念可知.,【答案】C,一、选择题,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,2.设a,bR且ab,则下列命题正确的是(),(A)a2b2.(B)1.,(C)log2(a-b)0.(D)2-a2-b.,【解析】ab,()a()b,即2-a2-b.,【答案】D,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,3.利用数学归纳法证明不等式1+f(n)(n2,nN+)的过程中,当n=2时左边为(),(A)1.(B)1+.,(C).(D)1+.,【解析】当n=2时,左边为3项相加,为1+.,【答案】D,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,4.下面程序的输出结果为(),程序:,X=3Y=4X=X+YY=X+Y输出X,Y,(A)3,4.(B)7,7.(C)7,8.(D)7,11.,【解析】X=3+4=7,Y=7+4=11.,【答案】D,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,5.用反证法证明命题:若系数为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.那么对结论的否定正确的是(),(A)假设a,b,c都是偶数.,(B)假设a,b,c都不是偶数.,(C)假设a,b,c至多有一个是偶数.,(D)假设a,b,c至多有两个是偶数.,【解析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”,即a,b,c都不是偶数.,【答案】B,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,6.已知正三角形内切圆的半径是其高的,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是(),(A)正四面体的内切球的半径是其高的.,(B)正四面体的内切球的半径是其高的.,(C)正四面体的内切球的半径是其高的.,(D)正四面体的内切球的半径是其高的.,【解析】原问题的解法为等面积法,即S=ah=3arr=h,类比问题的,解法应为等体积法,V=Sh=4Srr=h,即正四面体的内切球的半径是其高的,所以应选C.,【答案】C,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,7.(2011年辽宁)执行右面的算法框图,如果输入的n是4,则输出的p是(),(A)8.(B)5.(C)3.(D)2.,【解析】变量关系列表如下:,【答案】C,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,8.已知数列an的前n项和Sn=n2an(n2),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于(),(A).(B).,(C).(D).,【解析】S2=22a2,1+a2=4a2,a2=.,S3=32a3,1+a3=9a3,a3=.,S4=42a4,1+a4=16a4,a4=.,可见a1=,a2=,a3=,a4=,由此猜想an=.,实际上,此题用a1=1代入选项验证最简单.,【答案】B,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,9.把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数).设aij(i、jN+)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2010,则i,j的值的和为(),(A)75.(B)76.(C)77.(D)78.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,【解析】观察偶数行的变化规律,2010是数列:2,4,6,8,的第1005项,前31个偶数行的偶数的个数为=3231=992,所以2010是偶数行的第32行第13个数,即三角形数表中的第64行第13个数,所以i=64,j=13,所以i+j=77.故选C.,【答案】C,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,10.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据:,在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法框图(其中是这8个数据的平均数),则输出的S的值是(),重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(A)7.(B)8.(C)9.(D)10.,【解析】算法框图实质上就是求观测数据的方差,计算得S=7.,【答案】A,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,11.如图所示,已知D是面积为1的ABC的边AB的中点,E是边AC上任一点,连结DE,F是线段DE上一点,连结BF,设=1,=2,且1+2=,记BDF的面积为S=f(1,2),则S的最大值是(),(A).(B).(C).(D).,【解析】连结BE,因为ABC的面积为1,=2,所以ABE的面积为2.因为D是AB的中点,所以BDE的面积为.因为=1,所以BDF的面积S=f(1,2)=12()2=,上式当且仅当1=2=时取等号.故选A.,【答案】A,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,12.如图1是某县参加2011年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、A10(如A2表示身高(单位:cm)在150,155)内的学生人数),如图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法框图.现要统计身高在160190 cm(含160 cm,不含190 cm)的学生人数,那么在算法框图中的判断框内应填写的条件是(),图1,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,图2,(A)i10?.(B)i9?.(C)i8?.(D)i7?.,【解析】依题要统计A4,A5,A6,A7,A8,A9的和,故应填写i9?.,【答案】B,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,13.定义“*”是一种运算,对于任意的x,y,都满足x*y=axy+b(x+y),其中a,b为正实数,已知1*2=4,则ab取最大值时a的值为.,【解析】1*2=4,2a+3b=4,2a+3b2,ab.当且仅当2a=3b,即a=1时等号成立,所以当a=1时,ab取最大值.,【答案】1,二、填空题,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,14.已知sin2 5+sin2 65+sin2 125=,sin2 10+sin2 70+sin2 130=,则一般性的结论是.,【解析】sin2+sin2(60+)+sin2(120+)=,证明如下:左式,=+,=-cos 2+cos(120+2)+cos(240+2),=-(cos 2+cos 120cos 2-sin 120sin 2+cos 240cos 2-sin 240sin 2)=,所以命题得证.,【答案】sin2+sin2(60+)+sin2(120+)=,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,15.阅读如图所示的算法框图,则运行后输出的结果是.,【解析】依次执行的是S=1,i=2;S=-1,i=3;S=2,i=4;S=-2,i=5;S=3,i=6;S=-3,i=7,此时满足i6,故输出的结果是-3.,【答案】-3,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,16.椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质,如对于椭圆有如下命题:AB是椭圆+=1(ab0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则kOMkAB=-.那么对于双曲线有如下命题:AB是双曲线-=1(a0,b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则kOMkAB=.,【答案】,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,17.在ABC中,若ABAC,ADBC于D,则=+,那么,在四面体ABCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.,三、解答题,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,18.证明:在ABC中,a,b,c成等差数列的充要条件是acos2+ccos2=b.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,19.等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.,(2)设bn=(nN+),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,(1)求数列an的通项an与前n项和Sn;,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(1)求l的方程;,20.已知a0,函数f(x)=,x(0,+).设0 x1,记曲线在x=x1处的切线为l.,(2)设l与x轴的交点为(x2,0).证明:0 x2;若x1,则x1x2.,【解析】(1)f(x)的导数为:f(x)=-.,由此得l的方程为:y-=-(x-x1).,(2)在l的方程中令y=0,得x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1).,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,00,ax11,x2=x1(2-ax1)x1,且由x2,故x1x2.,当且仅当x1=时,x2=,故0 x2(或用比较法).,00,00.,x2=x1(2-ax1)=-a(x1-)2+,x2.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,21.已知抛物线C:y2=4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.,(2)是否存在定点M,不论直线l绕点M如何转动,使得+恒为定值?,【解析】(1)当m=1时,M(1,0),此时,点M为抛物线的焦点.,直线l为y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得 消去y得,x2-6x+1=0,x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4,因此圆心坐标为(3,2).,(1)若m=1,且直线l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,又|AB|=x1+x2+2=8,圆的半径为4,因此圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.,(2)设直线l的方程为x=ky+m,则直线l的方程与抛物线C:y2=4x联立,消去x得,y2-4ky-4m=0,则y1y2=-4m,y1+y2=4k,+=+,=+,=为定值时,m=2,此时+=.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,22.已知点Pn(an,bn)满足an+1=anbn+1,bn+1=(nN+),且点P1的坐标为(1,-1).,(1)求过点P1,P2的直线l的方程;,(2)试用数学归纳法证明:对于nN+,点Pn都在(1)中的直线l上;,(3)试求使不等式(1+a1)(1+a2)(1+an)k对所有nN+成立的最大实数k.,【解析】(1)由题意得a1=1,b1=-1,b2=,a2=1=,P2(,).,直线l的方程为=,即2x+y-1=0.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,(2)当n=1时,2a1+b1=21+(-1)=1成立.,假设n=k(k1且kN+)时,2ak+bk=1成立.,则2ak+1+bk+1=2akbk+1+bk+1=(2ak+1)=1,当n=k+1时,2ak+1+bk+1=1也成立.,由知,对于nN+,都有2an+bn=1,即点Pn在直线l上.,(3)an+1=an(1-2an+1),an+1=an-2anan+1,-=2,数列是公差为2的等差数列,首项=1,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,=1+2(n-1)=2n-1,an=.,bn=1-2an=.,b2b3bnbn+1=,F(n)的最小值是F(1)=,k,即k的最大值是.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,【答案】D,1.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:,22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.,根据上述分解规律,则52=1+3+5+7+9,若m3(mN*)的分解中最小的数是73,则m的值为(),(A)6.(B)7.(C)8.(D)9.,【解析】m3的分解中,最小的数依次为3,7,13,m2-m+1,由m2-m+1=73,得m=9.故选D.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创新设计,试题备选,2.如图的算法框图的输出结果是.,【解析】该算法第n次运行所得的a值记作an+1,则第1次运行所得a2=,第2次运行所得a3=,第n次运行后an+1=,可得=+1,故数列,是首项为1,公差为1的等差数列,故=n,即an=,故输出结果是.,【答案】,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练