《序列的傅里叶变换的定义和性质.ppt
信号和系统的两种分析方法：(1)模拟信号和系统 信号用连续变量时间t的函数表示；系统则用微分方程描述；信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换；(2)时域离散信号和系统 信号用序列表示；系统用差分方程描述；频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换；,引言,时域分析方法和频率分析方法,序列的傅里叶变换的定义和性质,1 序列傅里叶变换的定义 称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：,序列的傅里叶变换的定义和性质,序列的傅里叶变换对,序列的傅里叶变换的定义和性质,例:设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT,序列的傅里叶变换的定义和性质,例:设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT,设N=4，幅度与相位随变化曲线如下图所示,P36 例题,序列的傅里叶变换的定义和性质,2.2.2 序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性 在FT定义式中，n取整数，因此下式成立 结论：(1)序列的傅里叶变换是频率的连续周期函数，周期是2。(2)X(ej)可展成傅里叶级数，x(n)是其系数。X(ej)表示了信号在频域中的分布规律。(3)在0,2,4表示信号的直流分量，在(2M1)时是最高的频率分量。一般只分析信号在一个周期的FT,M为整数,序列的傅里叶变换的定义和性质,2.线性 3.时移与频移 设X(e j)=FTx(n)，那么,设：,则：,式中a,b为常数,),改变相位,序列的傅里叶变换的定义和性质,4.FT的对称性(1)共轭对称序列 共轭对称序列xe(n)满足：将xe(n)用其实部与虚部表示：上式两边n用-n代替，取共轭：得到：,xe(n)=x*e(-n),xe(n)=xer(n)+jxei(n),x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n),实部是偶函数,虚部是奇函数,序列的傅里叶变换的定义和性质,(2)共轭反对称序列共轭反对称序列满足：将x0(n)用其实部与虚部表示：上式两边n用-n代替，取共轭：对比上面两公式，左边相等，因此得到,xo(n)=x*o(-n),xo(n)=xor(n)+jxoi(n),x*o(-n)=xor(-n)jxoi(-n),实部是奇函数,虚部是偶函数,xor(n)=xor(-n)xoi(n)=xoi(-n),序列的傅里叶变换的定义和性质,例1 试分析x(n)=e jn的对称性 解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=e jn 因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。将序列展成实部与虚部的形式，得到 x(n)=cosn+j sinn 上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数。,序列的傅里叶变换的定义和性质,(3)任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和 xe(n),xo(n)和原序列x(n)有何关系？将上式中的n用-n代替，取共轭：根据上面两式，得到,x*(-n)=xe(n)-xo(n),x(n)=xe(n)+xo(n),序列的傅里叶变换的定义和性质,(4)频域函数X(ej)的对称性 任意频域函数X(ej)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部分之和：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)Xe(ej)=X*e(ej)Xo(ej)=X*o(ej)Xe(ej),Xo(ej)和原频域函数X(ej)的关系,序列的傅里叶变换的定义和性质,(5)研究FT的对称性(a)将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式 x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到:X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j)结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部（包含j）一起对应的FT具有共轭反对称性。,xi(n),序列的傅里叶变换的定义和性质,(b)序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)之和其中：将上面两式分别进行FT，得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej)FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部jXI(ej)。,x(n)=xe(n)+xo(n),序列的傅里叶变换的定义和性质,总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下：x(n)=xr(n)+jxi(n)X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)x(n)=xe(n)+xo(n)X(ejw)=XR(ejw)+jXI(ejw),FT,FT,序列的傅里叶变换的定义和性质,(6)研究实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。所以其FT具有共轭对称性。即：H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数 即：HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j),序列的傅里叶变换的定义和性质,实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分ho(n)的关系 h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：,序列的傅里叶变换的定义和性质,实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)=he(n)u+(n)h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)(n)说明：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，因为其奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)时，需要补充一点h(o)(n)信息,序列的傅里叶变换的定义和性质,例2：若序列h(n)是实因果序列，其傅立叶变换的实部为HR(ejw)=1+cosw，求h(n)及其H(ejw).解,HR(ejw)=FThe(n)=1+0.5 ejw+0.5 ejw=he(n)e-jwn,根据实因果序列特性，h(n)=he(n)U+(n),根据傅立叶变换定义，H(ejw)=FTh(n)=h(n)e-jwn=1+e-jw,序列的傅里叶变换的定义和性质,5.时域卷积定理 设：y(n)=x(n)*h(n)则：Y(e j)=X(e j)H(e j)证明：令：k=n-m,则,m,m,定理说明：两序列卷积的FT服从相乘关系，对于线性时不变系统，输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT,序列的傅里叶变换的定义和性质,6.频域卷积定理 设：y(n)=x(n)h(n)则：证明：,x,序列的傅里叶变换的定义和性质,7.帕斯维尔Parseval定理,）,定理说明：信号时域的总能量等于频域中的总能量。,证明：,时域离散信号与系统的频域分析,本章作业2.1(1)(2)(3)2.5(1)(2)(4),
