(理想流体动力学1-4).ppt

,第七章 理想流体动力学,实际流体都粘性，在流体力学研究中，为了简化问题，引进了理想流体这一假设的流体模型，理想流体的粘度为0。在实际分析中，如果流体粘度很小，且质点间的相对速度又不大时，把这类流体看成是理想流体。,第一节 速度势函数和流函数,一、速度势函数,在无旋流动中，每一点处的旋转角速度都为零，即或,由数学分析知，上面三个微分方程式的存在正是 成为某一函数(x,y,z)全微分的充分必要条件。,即,函数的全微分为,比较两式，得到,函数(x,y,z)称为速度势函数，无旋流动又称为有势流动。,当流动有势时，流体力学的问题将得到很大的简化。不必直接求解三个速度分量，而只需要先求出一个速度势函数，从而可以得到速度分布vx、vy、vz，继而再 依据伯努利方程得到压强分布。,势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影2.存在势函数的流动一定是无旋流动等势面与流线正交不可压缩流体中势函数是调和函数,速度势函数的特性,特性1,证明：任意曲线s上一点M(x,y,z)处速度分量分别为vx、vy、vz。取势函数的方向导数,势函数沿任意方向的导数值等于该方向上的速度分量,特性2,证明：设对某一流动，存在势函数(x,y,z)，流动的角速度分量,类似可推出,代入(x,y,z)，有,流动无旋的充分必要条件是流场有速度势函数存在。,因此，存在速度势函数的流动必定无旋。,特性3,等势面：速度势函数取相同值的点构成空间曲面，即(x,y,z)=C,证明：在等势面上取一点O，并在该面上过O任取一微元线段矢量，该点处速度,等势面上d=0，得证。,特性4,调和函数:满足拉普拉斯（Laplace）方程的函数。,Laplace 方程：,证明：不可压缩流体的连续性方程为,对于有势流动,得到,例1.有一个速度大小为v(定值)，沿x轴方向的均匀流动，求它的速度势函数。,解：,判断流动是否有势,流动无旋，即有势,有,积分，得到,因常数C对所代表的流场无影响，令C=0，最后速度势函数为,虚线为等势线,解：,因此，流动无旋，即有势。,二、流函数,平面流动中，不可压缩流体的连续性方程为或,由数学分析知，上式正是 成为某一函数(x,y)全微分的充分必要条件。,连续的平面流动存在流函数。应说明，空间三维流动没有流函数,即,函数的全微分为,比较两式，得到,函数(x,y)称为流函数。,沿同一流线流函数值为常数通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流线上的流函数的差值。在有势流动中流函数也是一调和函数,流函数的特性,特性1,证明：在流场中任取一流线，则流线上任一点的速度与流线相切。微元线段 矢量 与对应的速度矢量 之间的关系式为,流线微分方程,证明了沿一条流线各点的流函数值相等。,流函数值相等的点可连成一条流线,特性2,设1、2是两条相邻流线，作其间一曲线AB，要求证明通过AB两点间单位厚度的流量q=2-1。,取微元线段，过微元线段的速度为，则单位厚度的微元流量dq的表达式为,证明：,通过线段AB的流量为,特性3,证明：对于平面势流，有,代入,得到,即,解：,将A点坐标代入,得到,因此通过A点的流线方程为,同理得到,B点的流线方程依然为,因此，通过两点连线的流量q=0。,三、流函数和势函数的关系,平面有势流动的流函数和势函数的关系为,平面流动中，平面上的等势线与流线正交。,平面上若干等势线与流线构成了正交曲线网，称为流网。,四、极坐标下的势函数和流函数,平面直角坐标系与极坐标系的关系：,极坐标下的速度和势函数、流函数的关系为,或,例4.某定常平面流动有vx=ax，vy=-ay，a为常数。求这一流动的流函数和势函数，并绘制流网。,解：因为,满足连续性方程，流动存在，存在流函数。,令=C，得流线方程：,因为,流动无旋，存在速度势函数。,令=C，得等势线方程：,=C,=C,复势与复速度：,不可压缩平面势流的势函数和流函数均为调和函数,平面流动的势函数和流函数互为共轭,势、流函数为共轭的调和函数，满足柯西-黎曼条件,因此，可把势函数作为某一复变函数的实部，流函数作为虚部，即,W(z)称为复势，自变量z=x+iy。,复速度：,复速度的模：,速度的绝对值,复速度的三角函数式和指数式：,O,vx,vy,V,vx-ivy,vx+ivy,W(z)共轭复变数:,O,vx,vy,vx-ivy,vx+ivy,V,依据共轭复变数的运算方法可以求出流场中各点的速度v。,复势或复速度,速度场,一 均匀流二 点源和点汇三 点涡,第二节 几种基本的平面势流,一、平面均匀流,平面均匀流指流场中各点速度的大小与方向都相同的平面流动。,设流动速度大小为v，速度方向与xoy坐标系的x轴正向一致,速度势函数,流函数,等势线方程,流线方程,复势,推导均匀流的速度方向与x轴夹角为时的相关函数,均匀流示意图,二、点源和点汇,点源：流体从某点向四周均匀径向流出的流动，该点称为源点。点汇：流体从四周均匀径向汇入某点的流动，该点称为汇点。,将源点或汇点置于坐标原点。根据流体的连续性条件，不可压缩流体通过任一圆柱面的流量相等。所以通过半径为r的单位长度圆柱面流出或流入的流量为,得到速度分布为,q是流出或流入的流量，称为点源或点汇的强度。对于点源q前取+号，点汇q前取-号。,速度势函数,流函数,等势线方程,流线方程,平面直角坐标系下位于坐标原点的点源与点汇的势函数与流函数：,当源点或汇点不在平面直角坐标系的原点而在平面上点(x0,y0)处，有,源点和汇点在坐标原点的复势,源点和汇点在z0点的复势,三、点涡,点涡：平面上流体质点沿同心圆的轨迹运动，且其速度大小与半径r成反比的流动。,速度环量=2rv,速度分布为,0，逆时针转动；0，顺时针转动。,速度势函数,流函数,等势线方程,流线方程,平面直角坐标系下位于坐标原点的点涡的势函数与流函数：,当源点或汇点不在平面直角坐标系的原点而在平面上点(x0,y0)处，有,中心点在坐标原点的复势,源点和汇点在z0点的复势,第三节 势流的叠加,复杂的平面势流可以看成是多种简单势流叠加而成，这是由于几个无旋流动叠加后仍然是无旋流动。,势流叠加原理：,有n个简单势流，速度势函数分别为1、2、n，流函数为1、2、n，复势为W1、W2、Wn，叠加后构成的复杂势流，其相应函数为：,一、点汇和点涡螺旋流,点汇的复势,点涡的复势,实部为势函数,虚部为流函数,等势线方程：,流线方程：,等势线和流线是相互正交的对数螺旋线方程，故称为螺旋流。,点汇+点涡阴螺旋流；点源+点涡阳螺旋流。,点源的复势,点汇的复势,二、点源和点汇偶极子流,若源和汇在接近过程中，强度q逐渐增大，当2a0时，q，使得2aqM，（M为一常数值），这一极限下的流动称为偶极子流。,偶极子流的复势可以由其定义推出：,偶极矩,注意：M是矢量，方向从源到汇。,偶极子流的复势为：,将实部、虚部分解,推导等势线方程：,推导流线方程：,等势线为圆心在x轴上，与y轴在原点相切的圆；流线为圆心在y轴上，与x轴在原点相切的圆。,第四节 圆柱体绕流,在一流动速度为 v 的定常均匀流中设置一半径为r0，轴心线与均匀流流动方向垂直的无限长直圆柱体，流动具有平面流动的特征。,一、圆柱体无环量绕流,圆柱体静止,1、势、流函数,均匀流+偶极子流无环量绕流,分解实部、虚部,零流线的讨论：,或,零流线是一个以坐标原点为圆心，半径为 的圆周和x轴。,均匀流到A点时分成两股，沿圆柱面流动，后又到B点汇合。可将圆柱面看作零流线，圆柱半径,因此，圆柱体无环量绕流可以用均匀流和强度 的偶极子流叠加组成。,注意：rr0,2、速度分布,沿圆柱面的速度环量为,均匀流绕过圆柱面的速度环量为零，故称之为无环量绕流。,流体在圆柱面上（r=r0）的速度为,流体沿圆柱面只有切向速度，无径向速度。流体在圆柱面上的速度按正弦曲线规律分布，当=0(B点)和=180（A点）时，v=0；当=90时，速度到达最大，即,A、B两点称为驻点,3、压强分布,在无穷远处取一点，在圆柱面上取一点，列两点的伯努利方程,当=0(B点)和=180（A点）时，压强达到最大值，即；当=90时，压强最小。,柱面压强关于x轴和y轴均对称。,定义压强系数Cp,因此，圆柱面上的压强系数为,沿圆柱面的压强系数与圆柱体的半径以及均匀流的速度、压强分布无关。,4、合 力,由于圆柱面上的压强关于x轴和y轴均对称，作用在柱面上的总压力即合力等于零。,将柱面上的合力按平行于来流速度方向和垂直于来流速度方向进行分解，分别称为流体作用在柱面上的阻力D和升力L。,理想流体无环量绕流时，D=0，L=0。,理想流体绕流圆柱,实际流体绕流圆柱（Re=26140）,二、圆柱体有环量绕流,圆柱体作等角速度旋转,均匀流+偶极子流+点涡有环量绕流,1、势、流函数,分解实部、虚部,2、速度分布,柱面上的速度分布为,关于驻点的讨论,驻点A、B离开x轴，向上或下移动（取决于均匀流方向和柱体旋转方向）,驻点的位置角：,闭合环流,闭合流线,3、压强分布,在无穷远处取一点，在圆柱面上取一点，列两点的伯努利方程,柱面压强关于y轴对称。,4、合力,阻力D：,理想流体有环量绕流时，作用在圆柱上的合力沿均匀流流动方向的分量等于零。,升力L：,上式称为库塔-儒可夫斯基升力公式，说明理想流体有环量绕流时，圆柱受到的升力大小等于流体密度、来流速度和速度环量的乘积,方向由来流速度的方向沿环量的反方向旋转90确定。,库塔-儒可夫斯基公式可推广应用于理想流体均匀绕流过任何形状的有环量无分离的平面流动。在轴流式水泵、水轮机叶片设计中有重要应用。,实际流体绕流一静止圆柱时，流体在圆柱体表面分离后，将形成旋转方向相反的排列规则的两列旋涡流向下游，形成卡门涡街。,卡门涡街,驻点,分离点,