黄安基-第2章平面力系的简化和平衡.pps.pps

20120912第二章 平面力系的简化和平衡,21 平面汇交力系合成与平衡,22 平面力偶系的合成与平衡,23 平面任意力系的简化与平衡,网上作业系统1、告知作业网站的网址：222.18.54.19homework。2、告知学生用户的初始密码都是：123。3、开学三周之内改选过教学班的学生，需要同时利用作业系统的“选课”功能更改一下选课，使作业系统中的选课与教务处网站上的选课结果相同。4、开学后才选课的学生，可先通过作业系统提交一份登录申请，并等候教师审批。,平面力系包括平面基本力系和平面任意力系，平面基本力系包括平面汇交力系和平面力偶系,它是研究复杂力系的基础。,平面汇交力系的定义：,各力的作用线在同一平面且相交于一点的力系。如图所示。,本章研究的两个问题：,平面汇交力系的合成与平衡问题。,几何法和解析法。,研究方法：,应用由力三角形法则推广得到的力多边形法则，合力即为力多边形的封闭边。P34,2-1 平面汇交力系合成与平衡,如下图所示。,一、合成,用解析式表达为,平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭，即 P35,二、平衡,或,试指出图示平面汇交力系所作的力多边形各力矢量关系如何？合成结果是什么？,思 考 题,水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自重不计。,例2-1,解：1.取梁AB作为研究对象。,FA=F cos30=17.3 kN,2.画出受力图。,3.作出相应的力三角形。,4.由力多边形解出：,FB=F sin30=10 kN,D,C,三、力在坐标轴上的投影,由图a知，若已知力FR 的大小FR 和其与x轴、y轴的夹角为a、b，则,即力在某个轴上的投影等于力的大小乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。,当a、b为锐角时，Fx、Fy均为正值；当a、b为钝角时，Fx、Fy为负值。,注意力在坐标轴上的投影是代数量。,力在坐标轴上的投影与分力大小之间关系,而如将力FR沿垂直的x、y坐标轴方向分解（图a），则所得分力 的大小与力F在相应轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。,应注意,若已知FR在直角坐标轴上的投影为Fx和Fy，则由几何关系可求出力FR的大小和方向，即,式中 和 称为力 FR 的方向余弦。,当Ox、Oy两轴不垂直时，则没有这个关系。,思 考 题,试分析在图示的非直角坐标系中，力 沿 x、y轴方向的分力的大小与力 在x、y 轴上的投影的大小是否相等？,合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。即 P36,四、合力投影定理,这个定理也可很直观地理解，如下图表示,五、合成,当应用合力投影定理求出力系的合力在直角坐标系下的投影Fx、Fy后，可用下式求出合力的大小和方向,式中表示合力F与x轴间所夹的锐角。合力指向由Fx、Fy 的正负号用图判定。这种运用投影求合力的方法，称为解析法或投影法。,即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴上的投影之代数和均等于零。,由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。,六、平 衡,由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零，即,因而,思考：若某刚体在5个力作用下平衡，其中4个力的作用线交于一点，另外一个力的作用线应该满足什么条件。,例2-2,用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方向已知,即,故合力 的大小为,其方向余弦则为,水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自重不计。,20120917例2-1,解：1.取梁AB作为研究对象。,FA=F cos30=17.3 kN,2.画出受力图。,FB=F sin30=10 kN,思考：可否向其它轴，如（x1、y1）投影？,可否向（x、x1）投影？结论？,P36、61,首先可判断出BC是二力杆，作B铰、C铰的受力图,【解】,力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。,力的移动效应取决于力的大小和方向；,为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。,一、力对点之矩,（1）用扳手拧螺母；,（2）开门，关门。,由下图及生活常识知，力F 使物体绕O点（某轴）转动的效应，不仅与力的大小，而且与转轴(平面上O点)到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积Fd 来度量力的转动效应。,2-2 力面力偶系的合成与平衡,该乘积根据力使物体的转动效应的不同，取适当的正负号称为力F对点O之矩，简称力矩，以符号 表示。,即,O点称为力矩的中心，简称矩心；,力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。,力矩的大小还可视为三角形OAB 的面积的两倍。P39,O点到力F 作用线的垂直距离d，称为力臂。,应注意：,在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。,力矩的单位：国际制 Nm，kNm 工程制 公斤力米（kgfm）,二、力矩的性质：P39,1、力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；,2、力的作用线如通过矩心，则力矩为零；,3、互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。,反之，如果一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点。,三、合力矩定理 P39,表达式：,证明：,若作用在 A点上的是一组汇交力系,平面汇交力系合力对某一点之矩等于分力对同一点之矩的和。,四、力偶和力偶矩,1、力偶的概念 P41,例如：丝锥、改锥（刀）、水龙头、方向盘等,把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。并记作。可用图2-4表示：,2、力偶矩 P42,其转动效应力对点之矩，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。,例如：,力偶对作用面内任意一点之矩与矩心位置无关P42,思考题2-1,一力偶 作用在Oxy平面内,另一力偶 作用在Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否等效，为什么？,3、力偶的三要素,（a）力偶矩的大小；,（b）力偶的转向；,（c）力偶作用面在空间的方位。,4、力偶的性质 P42中,(a)力偶在任何坐标轴上的投影等于零；,(b)力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，它是一个基本力学量，它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；力偶只能由力偶来平衡。,(c)力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，它只能改变物体的转动状态。,P62思2-4、2-5、2-6；P65（2-12）,判断A、D两处约束反力方向,作业：今天交上次：全部交布置本次：课后习题2-3（c）、（2-4）、2-12,20120919五、平面力偶等效定理,1、定理：在同一平面内（或两平行平面）的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。,例如：方向盘,证明：,考虑对刚体应用力的可传性,两三角形同底等高,设有一力偶,如图所示.运用加减平衡力系的公理并注意到：,（1）推论1 力偶可以在其作用面内任意转移而不改变它对刚体的转动效应。,如下图(a)、(b)所示。,（2）推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。,如下图(a)、(b)所示。,注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。,1、合成,20120320平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。,或,2、平衡条件,平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即,利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。,P65（2-14）、P68（2-23C）,位于同一平面内且各力作用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系。,定义：,工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面一般力系来处理。,图2-10所示钢桁梁桥简图，在初步分析时可简化为平面一般力系。,图2-10 钢桁梁桥简图,23 平面任意力系的简化与平衡,如图2-11所示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座反力可简化为平面一般力系。,图2-11 屋架及计算简图,(a),(b),平面汇交力系与力偶系合成结果回顾,定理：作用在刚体上某点A的力 F，可以平行移动到刚体 上任意一点B，但必须同时附加一个力偶，其力偶 矩等于原力 F 对平移点B之矩。P47,证明：如下图所示：,图2-12 力的平移定理的证明,1、力的平移定理,可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。,力线平移定理的逆过程也成立,反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换。,图2-12,设在某一刚体上作用着平面一般力系，如图2-12所示。,由于各力作用点不在同一点，因此无法象平面汇交力系那样，用力的平行四边形法则来合成它。,2、平面任意力系向一点简化,平面一般力系,平面力偶系,平面汇交力系,向一点简化O,合成,合成,MO（合力偶）,但是可以应用力的平移定理，将该力系中的各个力逐个向力系作用面上的某一点O（称为简化中心）平移简化（图2-13)，,图2-13 平面一般力系的简化,再将所得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成（图2-13)。过程为：,(3-3),由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反映了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况，称为原力系对O点的主矩。,(3-2),因此 就等于平面任意力系中所有各力的矢量和，称为该力系的主矢，其作用线通过简化中心O点。P49,由于简化中心O点任意选取时主矢的大小和方向不变，因此主矢与简化中心的位置无关。,平面任意力系向一点简化的重要应用：固定端约束反力的确定P55,3、平面任意力系的简化结果,（1）力系简化为力偶,力系合成为一力偶，由于力偶对作用面内任意一点之矩相同，所以此种情况下主矩与简化中心的位置无关。,例,20120924（2）力系简化为合力,力系仍可根据力线平移定理的逆过程简化为一个合力，但合力的作用点不通过简化中心O。,（a）,（b）,就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。,图2-15 力系简化的最后结果可根据力线平移定理逆过程合成为合力,（3）力系平衡,根据力线平移定理的逆过程,合力矩定理 平面一般力系如果有合力（最后合成结果为一合力），则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和。P50,证明,图2-15 合力矩定理证明图示,求力系向D点简化的主矢和主矩，及合力作用线位置。P50相似,解：,求力系的合成结果一般指最后合成结果。,（力或力矩或平衡）,首先可以先确定一参考点（简化中心），,各力向该点简化得到主矢和主矩，然后利用力线平移定理的逆过程合成得到最终结果。,（1）以D为简化中心,（2）利用力线平移定理的逆过程求最后合成结果,E,集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。例如，道路给轮子的力等。,几种分布荷载：,（1）体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。例如，构件的自重等。,（2）面分布荷载：分布在构件表面上的荷载（力）。例如，风压力、雪压力、水压力等。,（3）线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。,4、分布荷载,（1）集中荷载的单位，即力的单位为（N,kN)。,荷载的单位：,分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。,（2）体分布荷载的单位：,（3）面分布荷载的单位：,（4）线分布荷载的单位：,如图所示的均布荷载，其合力为：,作用线则通过梁的中点。,（1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。,分布荷载的计算方法,如图所示的均布荷载，其合力为：,作用线同样通过梁的中点。,如图2-16所示坝体所受的水压力为非均布荷载。,（2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。,例2-6 求图示梁上分布荷载的合力。P53,解：取坐标系如图所示。在x处取一微段，其集度为,微段上的荷载为：,以A为简化中心，有,由此可见，分布荷载合力的大小等于荷载集度图的面积。合力作用线的位置，可以根据合力矩定理确定：,作业：今天交上次：单号交布置本次：课后习题（2-16）、2-19（求分布荷载的合力及合力作用线位置）,20120926 5.平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。即,根据该平衡条件得到平衡方程为：,上面三个条件一般称为一般形式。,例2-7,图示为一悬臂式起重机简图，A、B、C处均为光滑铰链。水平梁AB自重 P=4kN,荷载 F=10kN,有关尺寸如图所示，BC 杆自重不计。求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的反力。,【解】（1）取AB梁为研究对象。（2）画受力图。,未知量三个：,独立的平衡方程数也是三个。,（3）列平衡方程，选坐标如图所示。,由（3）解得,以FB 之值代入（2），并且解（1），可得,二矩式,三矩式,二、三矩式形式均需附加限制条件 P57,图示平面机构中BC杆自重不计，为求铰A、B的约束反力，可以采用 组平衡方程联立求解。,（B）,（C）,（D）,（A）,（E）,（F）,6.平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。,图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：,这样，平面平行力系的平衡条件可写为：,即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。,平面平行力系平衡方程的二矩式为 P60,注意：A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。各力对两点力矩相同所列方程相同,1、力系平衡时，平面任意力系最多可以列 个独立平衡方程，平面平行力系最多可以列 个独立平衡方程，平面汇交力系最多可以列 个独立平衡方程，平面力偶系最多可以列 个独立平衡方程。若一平面机构是由a个受平面任意力系、b个受平面平行力系、c个受平面汇交力系、d个受平面力偶系作用的物体组成的物体系统，该系统平衡时最多可以列 个独立平衡方程。,2、平面任意力系平衡方程组采用二矩式时，限制条件是；采用三矩式时，限制条件是。,3、平面平行力系平衡方程组采用二矩式时，限制条件是。,4、平面汇交力系（汇交点为O）平衡方程组采用一矩式时，限制条件是；采用二矩式时，限制条件是。,思考题2-5,1、已知不平衡的平面平行力系的诸力与轴y不垂直，且满足方程，则此力系简化结果是什么？,1答：力偶。,2、已知不平衡的平面汇交力系的汇交点为A，且满足方程(B为力系平面内的另外一点），则此力系简化结果是什么？,2答：作用线过A、B两点的合力。,平面一般力系向某一点简化结果：平衡，合力偶，合力（力、力与力偶）；,平面平行力系向某一点简化结果：平衡，合力偶，合力（力、力与力偶）；,平面汇交力系向某一点简化结果：平衡，合力（力、力与力偶）；,平面力偶系向某一点简化结果：平衡，合力偶。,平面汇交力系的平衡方程可否用一个投影式、一个力矩式？或两个都用力矩式？如果可以用，有什么限制条件？为什么要附加这种条件？,思考题3-8,平面汇交力系的平衡方程可否用一个投影式、一个力矩式？(矩心与汇交点连线不能垂直于投影轴)或两个都用力矩式？(二矩心连线不能过汇交点),移动式起重机荷载及尺寸如图，设 a=3m，b=1.5 m，c=6 m，l=10m，求使起重机能安全工作的平衡重Q。已知 W1=500kN,W=250kN。,例2-8,【解】画出起重机的受力图。可见它受到的是一个平面平行力系的作用。,(1)起重机满载时，若平衡重太小则起重机有向右翻倒可能，若要安全工作A处反力不能为0，即：FA0。取坐标如图，列平衡方程,FA0（2）,(2)起重机空载时，若平衡重太大则起重机有向左翻倒可能，若要安全工作B处反力不能为0，即：FB0。取坐标如图，列平衡方程,FB0（4）,2、如图所示两个平面汇交力系构成的力三角形中三个力的关系是否一样？请写出矢量表达式。,如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M1=2 kNm，OA=r=0.5 m。图示位置时OA与OB垂直，角=30o,且系统平衡。求作用于摇杆BC上的力偶的矩 M2 及铰链O，B处的约束反力。,例2-9,先取圆轮为研究对象，因为力偶只能与力偶平衡，所以，力FA 与FO 构成一力偶，故 FA=FO。,解：,解得,再取摇杆BC为研究对象。,其中,解得,图2-18,思考题 2-7,如图所示，在物体上作用有两力偶 和 其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？,两轮半径同为 r，一轮在轮缘上受一大小为F 的力作用，另一轮在轮缘上受两个方向相反、大小都是F/2 的力作用，各轮上的力对轮心的矩是否相同？两轮上的力对各该轮的外效应是否相同？,图2-19,思考题 2-8,图中所示两轮在图示主动力作用下能否处于平衡？为什么？若不能平衡，可否再在轮上加一个力使之平衡？如何加？,1、是非题,（1）平面汇交力系平衡的充分与必要几何条件是：力多边 形自行封闭。（）,（2）力在某一固定平面上的投影是一个代数量。（）,（3）两个力F1、F2大小相等，则它们在同一轴上的投影也 相等。（）,【分析与讨论】,对,错,错,梯长AB=l，重G=100 N，重心假设在中点C，梯子的上端A靠在光滑的端上，下端B放置在与水平面成40角的光滑斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以及梯子和水平面的夹角。,例2-10,梯子受三力平衡，由三力汇交定理可知,它们交于D点。,解：,1.求约束力。,列平衡方程：,联立求解，考虑到=5，得,FA=83.9 N，FB=130.5 N,角可由三力汇交的几何关系求出。,2.求角。,由直角三角形ADC和BCD，有,（4）合理选取坐标系，列平衡方程求解；,（5）对结果进行必要的分析和讨论。,（1）弄清题意，明确已知量和待求量；,（2）恰当选取研究对象，明确所研究的物体；,（3）正确画出研究对象的受力图（主动力，约束反力，二力构件，三力汇交平衡）；,求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：,思考题,匀速起吊重P 的预制梁如图所示，如果要求绳索AB、BC的拉力不超过0.6P，问角应在什么范围内？,例2-11,两力偶作用在板上，尺寸如图，已知F1=F2=1.5kN，F3=F4=1 kN,求作用在板上的合力偶矩。,负号表明转向为顺时针。,由式,则,【解】,例2-12,长为4 m的简支梁的两端A、B处作用有二个力偶矩，各为M116 Nm，M2=4 Nm。求A、B支座的约束反力。,作AB梁的受力图，如图（b）所示。AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B处的约束反力也必须组成一个同平面的力偶与之平衡。,【解】,由平衡方程,FA、FB为正值，说明图中所示FA、FB 的指向正确。,如图所示，重物P=20 kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。,例2-3,解：取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。,列平衡方程,由于钢绳不可伸长及不计滑轮大小、绳轮之间摩擦，因此 F1=F2=P,解方程得杆AB和BC所受的力:,直角杆CDA和T字型杆BDE在D处铰结，并支承如图。若系统受力偶矩为M 的力偶作用，不计各杆自重，求A支座反力的大小和方向。,如图所示两种机构。不计构件自重及摩擦，且450，如在杆AB上作用有矩为M1的力偶。上述两种情况下平衡时，M1 与M2是否等值？,如图所示，机构，在图示位置平衡。已知：OA400mm，600mm，作用在OA上的力偶矩之大小 1Nm。试求力偶矩 的大小和杆AB所受的力F。各杆的重量及各处摩擦均不计。P69,首先判断AB杆为二力构件，作AO及BO1杆的受力图，,【解】,分析OA杆，有,分析OA杆，有,分析BO1杆，有,图3-18所示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶M 和力F 的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F 所平衡？为什么？,力矩和力偶有什么联系？又有什么区别？,思考题 2-3,思考题2-4,一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，问是否可能？,答：合力与两点连线平行时（或者A、B两点连线与向A点简化得到的主矢的作用线重合）可能。,思考题2-2,有几种情况发生一平面力系向一点简化所得的主矩为零？,思考题2-3,答：平衡力系或矩心刚好选在最后合成结果的合力作用线上。,有一平面一般力系向某一点简化得到一合力，问能否另选适当的简化中心而使该力系简化为一力偶？为什么？,思考题2-4,答：不可能。“力线平移定理”与“力偶不能用一个力来等效的性质”。,