非线性方程求解.ppt

第二章,非线性方程求解,第二章 非线性方程求解目录,1 对分法2 迭代法 2.1 迭代法的基本思想 2.2 迭代法的收敛条件 2.3 Steffensen方法简单迭代 法的加速3 Newton法与弦截法 3.1 Newton法 3.2 弦截法,第二章 非线性方程求解概述,很多科学计算问题常常归结为求解方程：,例如，从曲线y=x和y=lg x的简单草图可看出方程lg x+x=0有唯一的正根x*，但是没有求x*的准确值的已知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。对于二次方程ax2+bx+c=0，我们可以用熟悉的求根公式：,对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。,对于方程（2-1）要求得其准确解一般来说是不可能的。,求方程根的近似解，一般有下列几个问题：,3.根的精确化：已知一个根的粗略近似值后，建立计算方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。,设函数f(x)在区间a,b上连续，严格单调，且f(a)f(b)0，则在a,b内方程f(x)=0有且仅有一个实根。,根据此结论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔离区间。,1.根的存在性：方程是否有根？如果有根，有几个根？,2.根的隔离：确定根所在的区间，使方程在这个小区间内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根的隔离，就可得到方程的各个根的近似值。,关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关代数学内容。,根的隔离主要依据如下结论：,求根的隔离区间的两种方法,1.描图法：,画出y=f(x)的草图，由f(x)与x轴交点的大概位置来确定有根区间。也可利用导函数f(x)的正、负与函数f(x)的单调性的关系来确定根的大概位置。,例1 求f(x)=3x 1 cos x=0的有根区间,解：将方程变形为3x 1=cos x绘出曲线 y=3x1及 y=cos x，由图8-1可知，方程只有一个实根：,例2,紧接下屏,2.逐步搜索法：,从区间a,b的左端点a出发，按选定的步长h一步步向右搜索，若:,则区间 a+jh,a+(j+1)h内必有根。搜索过程也可以从 b开始，这时应取步长h0。,求出根的隔离区间后，就可采用适当的方 法，使其进一步精确化。,解：令f(x)=4x312x2=0，可得驻点x1=0,x2=3,由此而得到三个区间(,0)(0,3),(3,),f(x)在此三个区间上的正负号分别为“”，“”，“+”，由此可见，函数f(x)在此三个区间上为“减”，“减”，“增”，并且因为f()0,f(0)=10,f(3)=260所以仅有二个实根，分别位于(0,3),(3,)内。又因f(4)=10,所以，二个隔根区间确定为(0,3),(3,4)。,1 对分法,设f(x)在区间a,b上连续，严格单调，且f(a)f(b)0，则方程f(x)=0在a,b内存在唯一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方法，通过判别函数f(x)在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体步骤为:,若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限地进行下去，当n时，区间将最终收缩为一点x*，显然x*就是所求方程的根。,对分法的误差估计,作为x*的近似值，则误差为：,只要n足够大（即区间对分次数足够多），xn的误差就可足够小，且只要f(x)连续，对分区间总是收敛的。,式（8-2）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以给定的误差限 估计出对分区间的次数，因为由式（2-2）有：,若取区间an,bn的中点：,例3,解：因为 f(x)连续且f(x)=3x2+10 0(x(,)，故 f(x)在(,)上单调增加 而 f(1)=9 0 所以 原方程在（1，2）内有唯一实根。,f=x3+10*x-20f=x3+10*x-20 double(solve(f)ans=1.5946-0.7973+3.4506i-0.7973-3.4506i,对分法的优缺点,对分法的优点是计算简单，方法可靠，容易估计误差。但它收敛较慢，不能求偶次重根，也不能求复根。因此，一般在求方程近似根时，很少单独使用，常用于为其他高速收敛算法（如牛顿法）提供初值。,2 简单迭代法,迭代法是求解方程f(x)=0的根的一种主要方法。它是利用同一个迭代公式，逐次逼近方程的根，使其得到满足预先给定精度要求的近似值。,2.1 迭代法的基本思想,迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基本思想是：设方程f(x)=0在区间a,b内有一根x*，将方程化为等价方程x=(x)，并在a,b内任取一点x0作为初始近似值，然后按迭代公式计第二章 非线性方程求解算：,产生迭代序列x0,x1,xn,显然，若xn收敛于x*，(x)在x*处连续，就有:,这种求根方法称为迭代法，式（2-3）称为迭代格式，(x)称为迭代函数，x0称为迭代初值，xn称为迭代序列 如果迭代序列收敛，则称迭代格式（2-3）收敛，否则称为发散。,即：x*是方程f(x)=0的解。,故：当n充分大时，可取xn作为方程的近似解。,满足x=(x)的点x也称为不动点,例4,解：容易验证，方程在1,2内有根，取x0=1.5,迭代法举例续,例5,解：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：,分别按以上三种形式建立迭代格式，并取x0=1进行迭代计算，结果如下：,例5的计算结果表明：将一方程化为等价方程的方法很多，由此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收敛很快，也可能收敛很慢。迭代法的收敛性取决于迭代函数在方程的根的邻近的性态。,迭代法的几何含义,从几何上看，迭代法是将求曲线y=f(x)的零点问题化为求曲线y=(x)与直线y=x的交点，迭代过程如图2-2所示，从初始点x0出发，沿直线x=x0走到曲线y=(x)，得点(x0,(x0)，再沿直线y=(x0)走到直线y=x，交点为(x1,(x1)，如此继续下去，越来越接近点(x*,x*)。,当然，迭代过程也可能出现图8-3所示的情况，此时点(xn,xn)越来越远离交点(x*,x*)，迭代序列发散。,由此可见，使用迭代法必须解决两个问题：一是迭代格式满足什么条件才能保证收敛；二是如何判别迭代收敛的速度，建立收敛快的迭代格式。,迭代法的几何含义（续）,压缩映象原理的证明,由条件（2）易得(x)在a,b上连续。令(x)=x(x)，则(x)也在a,b上连续，且：,由连续函数介值定理，存在a,b，使得()=0，即=()所以方程x=(x)在a,b内有根。,假设方程x=(x)在a,b内有两个根x1*x2*，由条件（2）有：,导出矛盾，唯一性得证。,（存在性）,（唯一性）,2.2 迭代法的收敛条件（三大定理）,定理2.6（压缩映象原理）,设函数(x)在区间a,b上满足条件：,则方程x=(x)在a,b内有唯一的根x*，且对任意初值x0 a,b，迭代序列：,证明见下屏：,压缩映象原理的证明,由条件（2）易得(x)在a,b上连续。令(x)=x(x)，则(x)也在a,b上连续，且：,由连续函数介值定理，存在a,b，使得()=0，即=()所以方程x=(x)在a,b内有根。,假设方程x=(x)在a,b内有两个根x1*x2*，由条件（2）有：,导出矛盾，唯一性得证。,（存在性）,（唯一性）,对任意的x0 a,b，由迭代公式有：,即对任意初值x0 a,b，迭代序列xn均收敛到方程的根x*。,压缩映象原理的证明（续1）,（收敛性）,压缩映象原理的证明,由条件（2）易得(x)在a,b上连续。令(x)=x(x)，则(x)也在a,b上连续，且：,由连续函数介值定理，存在a,b，使得()=0，即=()所以方程x=(x)在a,b内有根。,假设方程x=(x)在a,b内有两个根x1*x2*，由条件（2）有：,导出矛盾，唯一性得证。,（存在性）,（唯一性）,类似地，对任意正整数K，有：,定理2.6证明中的两个误差估计式（2-5）,（2-6）是很有意义的。,（误差估计公式）,利用,两个重要误差公式说明,1.式（2-5）说明，在正常情况下，即L不太接近于1（若L接近于1，则收敛速度很慢），可用相邻两次迭代值之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数。,就停止计算，取xn作为方程的近似根。这种用相邻两次计算结果来估计误差的方法，称为事后估计法。,即当给定精度时，如果有：,2.而式（2-6）的误差估计，称为事前估计法，因为用它可以估计出要达到给定精度 所需次数n,事实上，由,注意：,定理2.6给出了判别迭代收敛的 充分条件。在实际计算时，由于L比较难求，而我们所讨 论的函数通常是可导函数，因此，实用的收敛条件是用 导数的界得到的。见下屏：,迭代法的收敛条件之二,推论1,（1）对任意的x a,b，有(x)a,b；（2）存在常数0 L 1，使得对任意x a,b，都有：,则方程x=(x)在a,b上有唯一的根x*，且对任意初值 x0 a,b，迭代序列：,均收敛于x*，并有：,证明见下屏：,设函数(x)在区间a,b上满足条件：,证明,设x,y为a,b上的任意两点，由微分中值定理，在 x,y之间至少存在一点，使得:,于是：,即(x)满足定理2.6的条件（2），故结论成立。,推论1应用举例,采用的三种迭代格式，在隔根区间（1,1.2）内有：,用推论1判别简单迭代法的收敛性比定理2.6方便,如对例题5：,第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第三种迭代格式比第二种迭代格式中的L要小，因而收敛要快得多，这与实际迭代结果完全吻合。,故可取n=7，只需迭代7次就可达到所要求的精度。,根据推论1可知，,对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过10-6，可估计迭代次数：,应用举例,Leonardo于1225年研究了方程,曾经轰动一时，因为没有人知道他用的是什么方法。,我们现在可用迭代法求解：,还可用Newton法，弦截法求解,迭代法的收敛条件之三,定理2.7,定理2.3强调迭代初值x0应取在根x*的邻域中。如果对任意给定的x0，迭代格式均收敛，则称此格式具有全局收敛性，但这样的格式是极其稀少的。如果对根x*的某邻域内的任一点x0，迭代格式均收敛，则此格式具有局部收敛性。,即可保证对其中任取的一点x0迭代收敛。事实上，在用迭代法求解方程（2-1）时，常常先用对分区间求得较好的初值，然后再进行迭代。,本定理给出的就是局部收敛性条件。具体解题时，虽然无法判别隔根区间是否为以x*为中心的邻域，但只要它足够小，且在邻域中满足：,2.3 Steffensen方程简单迭代法的加速,收敛速度（收敛速度的阶）：,成立，则称xn是r 阶收敛的，或称xn的收敛阶为r，收敛阶r 的大小刻划了序列xn的收敛速度：,r 越大，收敛越快:r=1 线性收敛r 1 超线性收敛r=2 平方收敛,设序列xn收敛于x*，若存在正数r和a使得：,xn的r 阶收敛定理,定理2.8,设迭代函数(x)在x*邻近有r阶连续导数，且 x*=(x*)，并且有,证明：,1）(x)满足收敛定理的条件xnx*；,紧接下屏,2）利用Taylor公式将(x)在x*附近展开：,这表明：xn是r阶收敛的。,一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：,1、Aitken加速法,若序列xn线性收敛于x*，可按式：,当n充分大时，有：,紧接下屏,Aitken加速法（续）,由此式可推导出：,由此可得比值：,3 Newton法与弦截法,3.1 Newton法,将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想。,设已知方程f(x)=0的近似根x0，f(x)在其零点x*邻近一阶连续可微，且f(x)0，当x0充分接近x*时，f(x)可用Taylor公式近似表示为：,则方程f(x)=0可用线性方程近似代替，即：,Newton法（续）,解此线性方程得：,取此x作为原方程的新近似值x1，重复以上步骤，于是得迭代公式：,按式（2-7）求方程f(x)=0近似解称为Newton法。,Newton法的几何意义,如此继续下去，xn+1为曲线上点(xn,f(xn)处的切线与x轴的交点。因此Newton法是用曲线的切线与x轴的交点作为曲线与x轴交点的近似，故Newton法又称为切线法。,Newton迭代法有着明显的几何意义如图3-4所示，,过点(x0,f(x0)作曲线y=f(x)的切线，切线方程为：y=f(x0)+f(x)(xx0)该切线与x轴的交点的横坐标即为新的近似值x1，而x2则是曲线上点(x1,f(x1)处的切线与x轴的交点。,Newton法举例,例7,解：因为f(x)=3x2+10，故Newton迭代公式为：,x1=1.5970149，x2=1.5945637，x3=1.5945621=x4迭代三次所得近似解就准确到8位有效数字。,代入初值x0得：,可见Newton法收敛很快。,一般地，有如下屏定理3-5：,Newton法收敛定理,定理3.5,设函数f(x)在其零点x*邻近二阶连续可微，且f(x*)0，则存在 0，使得对任意x0 x*,x*+，Newton法所产生的序列xn至少二阶收敛于x*。,按式（2-7），Newton法的迭代函数为：,于是有：,证明：,由已知f(x)在x*邻近连续，因而(x)在x*邻近连续，且,根据定理2.4，Newton法产生的序列xn至少二阶收敛于x*。,定理3.5表明，当初值x0充分接近x*时，Newton法的收敛速度较快，但当初值不够好时，可能会不收敛或收敛于别的根，这可从Newton法的几何意义看到：,紧接下屏,定理,在Newton法中，我们为了保证方法收敛，由局部收敛性可知：初始值尽量靠近所求根，但这是一个不易办到的事。如果函数f(x)具有更强的性质，则初始值的取法较随便一些。,（2）,分别不变号；,使,则 Newton 迭代法产生的数列,收敛到方程f(x)=0,（3）取初值,上具有二阶连续导数且满足条件,（1）,唯一的根,Newton法的几何意义及其优劣,如图3-5（a）所示.应用中可由实际问题的背景来预测利用对分区间法求得较好的初值x0。使在其邻近f(x)f(x)不变号，并且使f(x0)f(x0)0，这就能保证收敛，如图3-5（b）（d）。,Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，它是求解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需要计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，Newton法无法进行。,例：用Newton迭代法于方程 导出 的迭代公式，并用此求 的值。,3.2计算重根的牛顿迭代法,若x*为方程f(x)=0的m(m1)重根，则f(x)可表为:,其中g(x*)0，此时用牛顿迭代法求x*仍然收敛，只是收敛速度将大大减慢。事实上，因为:,计算重根的牛顿迭代法(续1）,可见用牛顿法求方程的重根仅为线性收敛。,为了提高求重根的收敛速度，有两种可供选择方法:(1)方法之一是将求重根的问题转化为求单根。注意到函数：,计算重根的牛顿迭代法(续2）,上述迭代格式右端较复杂，应用起来不方便。(2)另一种求m重根的方法是采用如下迭代格式：,可以证明它是求m重根x*的具平方收敛的迭代格式。,问题是如何确定根的重数m？下面介绍一个边迭代边估计重数方法。设xk2，xk1，xk为用牛顿迭代格式（2-7）所得三个相邻的迭代值，令,则,由式（2-8）可知,故,因此可用下式估计m,例8 用牛顿迭代法求方程,在0.95附近之根。,解 取x0=0.95，用牛顿迭代法，按式（2-7）求得的xk见表3-3，由表中数据可见xk收敛很慢。由,可知，所求根为m=2重根，,改用式(2-9)迭代格式，得：,收敛速度大大快于直接用牛顿迭代公式（8-6）.,表3-3,3.2 弦截法,不 足 之 处：需要计算导数值，较难；,这就是弦截法迭代公式,Newton法优点：收敛快（平方阶），固定格式；,修 正：以差商代替导数（微商）,弦截法迭代公式的几何解释,与x轴相交，即y=0，解出x得：,即以割线代替曲线f(x)，以割线与x轴的交点去近似曲线与x轴的交点，又称为割线法。,割线法也可看作以（xn-1，f(xn-1)），(xn，f(xn)作线性 插值，而以此插值多项式近似f(x)，以其零点近似f(x)的 零点。,弦截法的几点说明,1、需要两个点x0，x1才能开始进行迭代：（1）若只给定x0，则须利用其他方法，如对分 法，求 x1，然后再利用弦截法，求x2，x3，；（2）若给定一有根区间，可直接用两端点作 x0，x1。,xn收敛，收敛阶为1.618，超线性收敛。,3.上述弦截法又称为变端点弦截法，其实还可 写为：,固定一端点x0，称为定端点弦截法（单点），如右图：,弦截法的几点说明(续）,例：分别用单点弦割法和双点弦割法求,的根，要求,（1）构造计算I的迭代公式；（2）讨论迭代过程的收敛（3）求I的精确值。,