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第7章 非线型系统分析,控制系统在不同程度上都存在着非线性。有些系统可通过在工作点附近线性化来处理，但当系统包含有本质非线性特性时，就不能用线性化的方法处理。非线性系统与线性系统有本质的差别，非线性系统不满足叠加原理，它的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件与输入信号有关。,第7章 非线型系统分析,内容提要,第7章 非线型系统分析,非线性系统的瞬态响应有一种特殊运动自持振荡，它是一种稳定的周期运动，振荡频率和幅值由系统结构和参数确定。非线性系统的分析方法有相平面法和描述函数法，相平面法是一种图解分析法，描述函数法是一种近似分析法。最后介绍了基于SIMULINK的非线性系统分析方法。,第7章 非线型系统分析,非线性系统与线性系统的区别，相平面的基本概念，相轨迹，极限环，描述函数的基本思想，描述函数的定义和求取，描述函数法分析非线性系统的自持振荡，非线性系统的校正。,知 识 要 点,第7章 非线型系统分析,7.1 常见非线性特性7.2 相平面法7.3 线性系统的相轨迹7.4 非线性系统的相平面分析7.5 描述函数法小 结,目 录,第7章 非线型系统分析,静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。,一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为：,7.1 常见非线性特性,7.1.1 死区特性,死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成的。实际的死区特性一般,第7章 非线型系统分析,如图7-1中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图7-1 中的三段直线（实线）来近似，并称之为理想死区特性。理想型死区特性的的数学描述为：,死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。,第7章 非线型系统分析,图 71 死区特性,图7-2 饱和特性,第7章 非线型系统分析,可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大，磁饱和就是一种饱和特性。实际的饱和特性一般如图7-2 中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图7-2 中的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。理想饱和特性的数学描述为：,7.1.2 饱和特性,(7-2),第7章 非线型系统分析,继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性,继电特性有双位特性如图7-3（a）和（b），三位特性如图7-3（c）等，图7-3（b）（c）的继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。分析继电特性有十分重要的意义，因为采用继电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统。,7.1.3 继电特性,第7章 非线型系统分析,图7-3 几种典型的继电特性,图7-3（a）所示继电特性的数学描述为：,第7章 非线型系统分析,图（c）所示继电特性的数学描述为：,第7章 非线型系统分析,图（b）所示继电特性的数学描述由读者自行导出。,第7章 非线型系统分析,传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a）表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为：,7.1.4 间隙特性,第7章 非线型系统分析,图7-4 间隙特性,返回,式中，为常数，它等于主动轮改变方向时的值。,第7章 非线型系统分析,相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨迹。这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。,7.2 相平面法,第7章 非线型系统分析,因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力，但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间，就得到维状态空间以后再专门介绍。下面讨论相平面和相轨迹的基本概念。,考察二阶非线性时不变微分方程:,7.2.1 相平面的基本概念,为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组:,第7章 非线型系统分析,微分方程组(7-6)有两个变量:x可以看作广义位移，可以看作广义速度。一般，直接对微分方程（7-5）求解，可以得到该系统的时间解 x(t),还可以作出x(t)与t的关系图时间响应曲线。,第7章 非线型系统分析,如果我们对微分方程组(7-6)求解，可以得到解x(t)和,如果我们取 x 和 为坐标，以时间 t 为参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面上的一点，当 t 变化时，这一点在 平面上绘出的曲线，表征了系统的运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。,第7章 非线型系统分析,例7-1 考虑二阶系统：将它写成微分方程组：,两式相除得到：,第7章 非线型系统分析,即：,两边积分得:,在相平面上绘出的相轨迹如图7-5(a)所示椭圆，如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环套一环的椭圆称为相轨迹场，相轨迹场布满了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动态系统的运动过程，图（a）只绘出了相轨迹场中的2根相轨迹。当 xo=0 时，响应曲线如图（b）。,第7章 非线型系统分析,图7-5 例7-1的相轨迹与时间响应,7.2.2 相轨迹图,绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类：第一类：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的,第7章 非线型系统分析,素描，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而随手画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如等倾线法、法等。这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价值。第三类：计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以及SIMULINK等软件绘制相轨迹图。,第7章 非线型系统分析,相轨迹的基本特征有：,1）奇点,对于二阶系统，相平面上满足 且 的点叫做奇点，记作。对照方程（7-6）知，奇点座标 是代数方程 的解，显然奇点一定在轴上。,第7章 非线型系统分析,对于二阶系统，和 就是速度和加速度均为零，也就意味着不再运动，所以，奇点又称平衡点。相平面上任何其它点，都叫普通点。奇点又分稳定奇点和不稳定奇点，稍后将讨论。,第7章 非线型系统分析,2）相轨迹切线斜率,由方程（7-6）知，相轨迹上任一点的切线斜率为：某点的切线斜率就是相轨迹通过该点的运动方向，前面提到的等倾线就是相轨迹场上所有切线斜率等于某一常数的点的连线。,第7章 非线型系统分析,3）相轨迹图形特征,如果微分方程（7-6）满足解的存在性和唯一性条件，那么，相轨迹（场）图一定有如下基本特征：1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解的存在性和唯一性）；2)相轨迹必垂直通过轴 3)轴上方的相轨迹从左向右运动，轴下方的相轨迹从右向左运动。,第7章 非线型系统分析,例7-2 作出下列二阶系统的相轨迹,将它写成微分方程组：,容易求出奇点为（0，0）。,第7章 非线型系统分析,图7-6 例7-2的根轨迹,ABCDO对应初始条件为EFO对应初始条件为。,从相轨迹图可以直观地看到：所有的相轨迹都最终收敛到奇点（0，0），这说明系统是渐近稳定的；可以证明，每一条相轨迹都是向心螺旋线，这说明系统的运动过程是衰减振荡的。,返回,第7章 非线型系统分析,研究二阶线性系统相轨迹的意义主要在两个方面：一是许多非线性特性可以近似为分段线性的，如死区特性、饱和特性、继电特性等，而分段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统相轨迹连接而成；二是大多数非线性系统在奇点附近的相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹十分接近。,7.3 线性系统的相轨迹,第7章 非线型系统分析,考虑用下列二阶微分方程描述二阶线性系统：,其中，为常数。将它写成微分方程组：,7.3.1 二阶线性系统的相轨迹,第7章 非线型系统分析,容易求出奇点为:,可见，当 且 时，奇点为座标原点（0，0），当 且 时的奇点为 轴上的 点，当 时奇点为整个 轴。二阶系统（7-8）的特征根为：,第7章 非线型系统分析,显然，当取不同值时，特征根在根平面上的分布也不同，响应曲线和相轨迹的形态也不同。,返回,第7章 非线型系统分析,7.4 非线性系统的相平面分析,非线性系统相平面分析的关键是绘出相轨迹图，有了相轨迹图，我们就可以得到系统稳定性、稳定域、振型、稳态误差等方面的结论。我们也可以绘出不同初始条件、不同输入、不同系统参数所对应的相轨迹图，研究其中的规律。我们还可以绘出加进某种校正环节后的相轨迹图，研究非线性系统的校正。当然，相平面分析是有局限性的，比如参数的改变只能取几个离散值，校正环节不能使系统阶次高于2阶等等。,第7章 非线型系统分析,为了介绍相平面法基本原理，本节主要讨论一类最为简单的动态非线性系统。系统的结构如图7-8 所示，其显著特点是：系统具有静态非线性环节和动态线性环节的分离结构，且静态非线性环节是分段线性的，动态线性环节为一阶或二阶。,图7-8 具有分离结构的非线性系统,第7章 非线型系统分析,分析图7-8 所示非线性系统的具体方法是：先将静态非线性特性分为几个线性段，划分出每段对应的相平面分区；然后在每个分区按线性系统绘出相轨迹；最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。,图7-8 中，如果非线性特性为式（7-2)所描述的饱和特性，线性部分的方程为：联列式（7-2）和（7-13）得到整个系统的数学模型为：,第7章 非线型系统分析,7.4.1 阶跃函数,现在研究不同的输入函数作用下系统的相轨迹与性能：,（1）阶跃函数，因为,系统 的分区域方程简化为：,第7章 非线型系统分析,区域2的奇点为(0,0),当 时是稳定焦点，当 时是稳定节点，区域1属于表7-2的类型10，区域3属于表7-2的类型11。,设,式（7-15）具体化为：,第7章 非线型系统分析,（2）斜坡函数r(t)=Vt，因为,这时系统的分区域方程为：,7.4.2 斜坡函数,第7章 非线型系统分析,区域2的奇点为(V/Kk，0),当4KTk1时是稳定焦点，当4KTk1时是稳定节点，区域1的相轨迹属于表7-2的类型10或类型11。,固定T=1，K=4，k=1，g=0.2具体化为：,第7章 非线型系统分析,接下来研究相轨迹与的关系，在分三种情况来分析：,情况一：VKkg(0.8),比如取V=1.2，这时区域2的相轨迹应收敛到稳定焦点（0.3，0）,但（0.3，0）不在区域2范围内，故称为之虚焦点。绘出系统的相轨迹场如图7-9（b）,显然，每一条相轨迹的座标都趋向无穷大，即稳态误差为无穷大。,第7章 非线型系统分析,情况二：VKkg,比如取V=0.4，这时区域2有稳定焦点（0.1，0）且在区域2范围内，故称为之实焦点。绘出系统的相轨迹场如图7-9（c）,显然，所有相轨迹相收敛到稳定焦点(0.1,0)，即稳态误差为0.1。情况三：V=Kkg,这时区域2有稳定焦点（0.2，0）在区域2的边缘，仍为实焦点。绘出系统的相轨迹场如图7-9（d）,显然，相轨迹最终收敛到x轴的0.2,)，这种情况比较特殊。,第7章 非线型系统分析,图7-9 具有饱和特性的非线性系统的相轨迹图,第7章 非线型系统分析,留意图7-9 的相轨迹图,可以发现一种现象:响应曲线的振型与输入信号的幅值有关，这在线性系统中是不会发生的。注意：在讨论斜坡响应时，我们没有将相应结论直接与系统稳定性联系起来，因为系统稳定性一般是定义在脉冲响应或自由运动之上的。除了上面几种情况，我们还可以研究更多的情况，比如开环增益 取不同的值时相轨迹如何变化？取多大较为合适？请读者可自行分析。,第7章 非线型系统分析,系统结构如图,7.4.3 具有继电特性的非线性系统,第7章 非线型系统分析,如果非线性特性为式（7-4）所描述的带死区滞环的继电特性，按式（7-4）将相平面划分为3个区域，当 时该系统的数学模型为：,整个系统的相轨迹场如图710。这里，又看到了非线性系统的另一特殊现象极限环。极限环是一条封闭曲线，它是一些相轨迹的极限，但它又不是奇点。,第7章 非线型系统分析,图7-10 具有继电特性的非线性系统,第7章 非线型系统分析,极限环对应的响应曲线是等幅振荡，但是，在干扰环境中，这种等幅振荡能否持续下去，要看极限环的性质。图7-11表示了两个极限环，较大的一个称为不稳定极限环极微小的干扰就可能导致振荡发散或衰减到零，较小的一个称为稳定极限环即使干扰使振荡短时离开极限环，干扰消失后又会回到极限环。极限环是非线性系统特有的现象，也是一种随处可见的现象，可以说，凡是能持续振荡的动态系统，都是运行在稳定极限环上，钟摆的摆动、电子振荡器等都是例证。县然，在干扰环境中，线性系统不可能产生持续等幅振荡，因为极微小的干扰就可能导致振荡发散或衰减到零。,第7章 非线型系统分析,图7-11 极限环的稳定性,返回,第7章 非线型系统分析,7.5 描述函数法,描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的,它是线性系统频率法在非线性系统中的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱，描述函数法的优点是能用于高阶系统。,第7章 非线型系统分析,7.5.1 描述函数定义,第7章 非线型系统分析,为了将频率法推广到非线性系统,我们首先定义静态非线性环节的描述函数,设非线性环节y=f(x)的输入为正弦函数：,式中，X是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出 分解为富氏级数：,第7章 非线型系统分析,式中,如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0，这时输出的基波分量是：,第7章 非线型系统分析,如果函数y=f(x)是已知的，X是一个待定常数，那么些由式求出的 只与X有关，记作。描述函数定义为输出的基波分量与输入正弦函数的复数比：,显然，描述函数是X的函数，描述函数可以理解为非线性环节在忽略高次谐波情况下的非线性增益这个增益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇对称的，那么：,第7章 非线型系统分析,下面用几个例子说明描述函数是如何计算出来的。,1）死区特性 考虑图7-12（a）所示死区特性，当输入为正弦函数 时，输出 如图7-12（b）所示，因为图7-12（a）的死区特性是单值奇对称的，所以，,7.5.2 描述函数的计算,第7章 非线型系统分析,并且,注意到,第7章 非线型系统分析,所以,所以,第7章 非线型系统分析,图7-12 求死区特性的描述函数,第7章 非线型系统分析,2）继电特性,图7-13 求继电特性的描述函数,第7章 非线型系统分析,考虑图7-13（a）带滞环的继电特性，当输入为时，输出y(t)如图7-13（b）所示，并且,第7章 非线型系统分析,第7章 非线型系统分析,3）一般非线性,描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们举一个例子:,因为它是单值、奇对称的，先求出y(t)：,第7章 非线型系统分析,所以,第7章 非线型系统分析,概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知的输入x(t)=Xsint和非线性特性y=f(x)求出输出N(X)，然后由积分式求出，求出N(X)。主要工作量和技巧主要在积分。此外，描述函数也可以由实验近似获得。当系统具有良好的低通特性时，给系统施加正弦信号，其输出也近似为正弦信号。改变输入正弦信号的幅值，记录输出信号的幅值和相位，即可近似求出。,第7章 非线型系统分析,图7-14 描述函数表示的非线性系统,考虑图7-14所示的非线性系统，假设线性动态部分具有良好的低通特性，那么静态非线性特性可以用描述函数N(X)来表示。为了引入频率特性分析法，我们还假设G(X)是最小相位环节。,7.5.3 非线性系统的描述函数分析,第7章 非线型系统分析,1）闭环系统稳定性,前几章已介绍了分析线性时不变系统稳定性的根轨迹法和频率特性法。如果频率特性推广到图7-14 所示的非线性系统，则其闭环系统频率特性为：,特征方程为,为了类比，假设静态环节退化为线性环节y=kx，即N(X)=k（常数）。因为G(s)是最小相位环节，根据线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取决于在复平面上G(j)曲线是否包围实轴上的1k点。,第7章 非线型系统分析,现在将上述结论推广到N(X)为非线性函数的情况。因为X连续变化时N(X)是复平面上的一根曲线，所以闭环系统是否稳定取决于曲线G(j)是否包围1N(X)曲线。具体讲就是：在复平面上，如果曲线G(j)不包围1N(X)曲线，那么闭环系统稳定；如果G(j)曲线包围1N(X)曲线，那么闭环系统不稳定；如果曲线G(j)与曲线1N(X)相交，那么闭环系统出现自振荡（极限环）。为了方便，我们将曲线1N(X)称为负倒描述函数曲线。,第7章 非线型系统分析,2）极限环的稳定性 正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数来分析。参见图7-16,7-16 极限环的稳定性,第7章 非线型系统分析,图中A、B两点都出现极限环，先看A点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到D，D点不被G(j)曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定振荡幅值应逐渐减小到零（停振）；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点移到C，C点被G(j)曲线包围，这时闭环系统应趋向不稳定振荡幅值应逐渐增大，工作点移到、B；可见A点属不稳定极限环。,第7章 非线型系统分析,再看B点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到F，F点被 曲线包围，这时闭环系统应趋向不稳定振荡幅值应增大，增大后又回到B电；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点移到E，E点不被 曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定振荡幅值应减小，减小后又回到B电；可见A点属稳定极限环。,返回,第7章 非线型系统分析,7.6 基于SIMULINK 的非线性系统分析,SIMULINK 对于非线性系统的分析与设计是很有用的，SIMULINK提供了死区、饱和、继电等多种非线性模块，也能构成很复杂的非线性函数。,第7章 非线型系统分析,考虑图7-17所示非线性系统，,图7-17 非线性系统,第7章 非线型系统分析,先考虑非线性环节为死区特性，用SIMULINK构成彷真模型如图7-18。,图7-18 SIMULINK仿真模型,第7章 非线型系统分析,在Matlab6.5的MATLAB窗中双击SIMULINK图标就打开Simulink Library Browser窗，在此窗口进入FileNewModel，就会打开一个untitled窗(可以用Save as保存此窗口并改名)。在Simulink library Browser 窗口下有DISCONTINUTIES、MATH OPERATIONS、SINK、SOURC等子目录，每个子目录下都包含若干可利用的模块，可直接拖到untitled窗口。图7-18中，积分环节(Integrator)、死区特性(Dead Zone)来自SIMULINKDISCONTINUTIES，求和、增益(Gain)、乘积(Dot Product)来自SIMULINKMATH OPERATIONS，XY Graph 来自SIMULINKSINK，阶跃函数来自SIMULINKSOURCE。,第7章 非线型系统分析,第7章 非线型系统分析,图7-19 SIMULINK绘出的相轨迹图,第7章 非线型系统分析,然后，我们将非线性模块依次换为饱和特性、继电特性和带滞环的继电特性.图7-18（b）是饱和特性对应的相轨迹，饱和特性的线性区为-0.5，0.5。图7-18（c）是继电特性对应的相轨迹，这个继电特性没有滞环。图7-18（d）是带滞环的继电特性对应的相轨迹，滞环宽度为-0.1，0.1。图7-18（c）（d）都出现了极限环。,第7章 非线型系统分析,如果要将生成的相轨迹图保存为图形文件，可执行下列程序：subplot(1,1,1),plot(xout(:,1),xout(:,2)grid on,axis(-1,1,-1,1)xlabel(X),ylabel(dX)执行后进入FileExport，即可保存为一定格式的图形文件。,我们再用SIMULINK 研究一个一般非线性系统，它就是前面的例7-3，用SIMULINK构成彷真模型如图7-20。图7-21(a)(b)给出了两组初始条件下的相轨迹，显然图7-21(a)对应局部稳定的区域，图7-21(b)对应不稳定的区域，这个结果与图7-7 完全一致。,第7章 非线型系统分析,图7-20 例7-3的SIMULINK仿真模型,第7章 非线型系统分析,图7-21 例7-3用SIMULINK绘出的相轨迹图,返回,第7章 非线型系统分析,小 结,本章介绍了非线性系统分析的基础知识，主要包括相平面法和描述函数法。本章的内容还揭示了非线性系统的一些特殊现象，诸如：非线性系统存在全局稳定和局部稳定问题，非线性系统的稳定性与初始条件有关，非线性系统的振型与初始条件和输入幅值都有关，非线性系统的稳定极限环等，这些在线性系统中是不会出现的。,返回,