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集合论习题解析经典习题与考研习题,经典习题一、集合基础二、二元关系三、函数四、概念综合练习考研习题 北京大学、中科院计算所、中科院软件所、中科院自动化所、北京师范大学、中科院成都计算所、上海交通大学、西安交通大学、西南交通大学、北京航空航天大学、复旦大学等,一、集合基础,1.1 与1.2 集合运算1.3 幂集,1.1 与,1 设A,B,C是任意3个集合，如果AB,B C,则AC可能吗？AC常真吗？举例说明。,AC可能A=1,B=1,C=1,1AC不常真A=1,B=1,C=1,2 设A,B是任意2个集合，A B与 AB同时成立，这可能吗？,可能A=1,B=1,1.,3 设A,B,C是集合，判断下列命题真假，如果为真，给出证明；如果为假，给出反例：1)AB,BC AC;2)AB,BC AC;3)AB,BC AC;4)AB,BC AC;5)aA,AB aB.,1）假A=1,B=2,C=2 2）假A=1,B=2,C=13）假A=1,B=1,C=1,1,4）假A=1,B=1,1，C=1,25）真子集定义,4 设A,B,C是U的子集，判断下列命题真假，如果为真，给出证明；如果为假，给出反例：1)ABAB=B;2)ABAB=A;3)ABAB=A;4)ABAB=B;5)ABA(B-A)=B;6)BA(A-B)B=A;,1）假，A=B时不成立/*与不同*/分析：I)ABAB=B：因为BAB；对于任意xAB，如果xA,因为AB,所以xB,则对任意的xAB，xB成立。所以AB=B。II)A=B AB=B，但AB不成立。,2）假，A=1，B=1，2，不成立；3）假，A=B时不成立；4）假，A=1，B=1，2，不成立；5）假，A=B时不成立6）假，A=1，2，B=1，不成立；,1.2 集合运算,5 设A,B,C是任意3个集合，（1）AB=AC，则B=C吗？（2）AB=AC，则B=C吗？（3）AB=AC且AB=AC，则B=C吗？,（1）假A=1,2,B=1,C=2（2）假A=1,B=1,2,C=1,3（3）真/*基本法、反证法证明*/设xB，假设xC。因为xB，所以xAB；因为AB=AC，所以xAC；因为xC，所以xA；又因为xB，所以x AB；因为AB=AC，所以xAC；则xC，这与xC矛盾。所以B=C。,6 设A,B是任意2个集合，（1）若A-B=B，则A与B有何关系？（2）若A-B=B-A，则A与B有何关系？（3）若AB=AB，则A与B有何关系？（4）若AB=A，则A与B有何关系？/*用文氏图辅助*/,证明：(1)由A-B=B，可得出A=B=。,(2)由A-B=B-A，可导出A=B。,(3)A=B,(4)B=,7 给出下列命题成立的充分必要条件（1）(A-B)(A-C)=A（2）(A-B)(A-C)=（3）(A-B)(A-C)=（4）(A-B)(A-C)=/*等式推导*/,解：(1)1)：设(A-B)(A-C)=A，对任意的x，xA，则xA-B 或 xA-C；则有,2）：设ABC=，对任意的x，xA，则xB或xC，则有,对任意的x，x(A-B)(A-C)，则xA-B或 xA-C，则有,（2）(A-B)(A-C)=(A-B)=或(A-C)=AB并且ACABC所以，充要条件为ABC。,（3）1)设(A-B)(A-C)=，对任意的x，xA，x(A-B)并且x(A-C)；所以xB-A或xC-A；则有xB或xC；得xBC。所以ABC。2)ABC AB或AC；所以A-B=或A-C=。得(A-B)(A-C)=。从而，(A-B)(A-C)=ABC。,（4）(A-B)(A-C)=(A-B)-(A-C)(A-C)-(A-B)=(A-B)(A-C)并且(A-C)(A-B)(A-B)=(A-C),1.3 幂集,7 设A,B是任意2个集合，证明：（1）ABP(A)P(B)（2）P(A)P(B)A B（3）P(A)=P(B)A=B,/*利用基本法证明集合的包含关系*/证明：(1)对任意的xP(A),有xA,又因为AB，所以xB,即xP(B)；所以P(A)P(B)。(2)/*证明方法同(1)；*/对任意的xA,则xP(A)，又因为P(A)P(B)，所以x P(B)，即xB；所以A B。(3)由(1)和(2)的证明导出。,二、二元关系,1 设R是集合A上的关系（1）R是自反的，则RR是自反的；（2）R是对称的，则RR是对称的；（3）R是反自反和传递的，则R是反对称的；,/*证明思想：根据定义给出的性质证明*/证明：（1）证明思想与（2）和（3）相同（2）设(a,b)RR,则存在c,(a,c)R,(c,b)R;因为R是对称的，所以(b,c)R,(c,a)R;所以(b,a)RR。则RR是对称的。（3）假设(a,b)R,(b,a)R。因为R是传递的，所以(a,a)R，(b,b)R；因为R是反自反的，所以导致矛盾。,2 设R是A上的关系，若R是自反的和传递的，则RR=R。其逆命题也成立吗？证明思想：证明RR=R，1）证明RRR；2）证明RRR：,证明：1）证明RRR：设(a,b)RR，存在cA,使得(a,c)R,(c,b)R，因为R是传递的，所以(a,b)R；则RRR；2）证明RRR：设(a,b)R，R是自反的，(b,b)R，所以(a,b)RR；则RRR。所以RR=R。,自反不成立传递成立,特殊关系,3 设S=1,2,3,4，并设A=SS，在A上定义关系R为：（a,b）R（c,d）当且仅当a+b=c+d。（1）证明R是等价关系；（2）计算出A/R。,（1）证明：/*根据等价关系的定义证明*/1）/*证明R是自反的；*/对于任意的(a,b)SS，因为a+b=a+b，所以(a,b)R(a,b)，即R是自反的。2）/*证明R是对称的；*/如果(a,b)R(c,d)，则a+b=c+d，那么有c+d=a+b；所以(c,d)R(a,b)，即R是对称的。3）/*证明R是传递的；*/如果(a,b)R(c,d)，(c,d)R(e,f)，则a+b=c+d，c+d=e+f；所以a+b=e+f，得(a,b)R(e,f)，即R是传递的。,（2）如果(a,b)R(c,d)，则a+b=c+d，所以根据和的数来划分。,4 设R,S是A上的等价关系，证明：RS是A上的等价关系RS=SR。,证明思想：1）RS是A上的等价关系RS=SR；证明(i)RSSR；(ii)SR RS；2）RS=SR RS是A上的等价关系；证明RS是(i)自反的；(ii)对称的；(iii)传递的；,证明：1）RS是A上的等价关系RS=SR：如果(a,b)RS,因为RS是对称的，所以(b,a)RS,所以存在cA,使得(b,c)R,(c,a)S；因为R和S是对称的，所以(c,b)R,(a,c)S；则(a,b)SR；同理，SR RS；,2）RS=SR RS是A上的等价关系：/*证明RS是自反的、对称的比较容易*/,传递性证明：对任意a,b,cA，如果(a,b)RS,(b,c)RS，因为RS=SR，则有(b,c)SR，即存在e,fA，使(a,e)R，(e,b)S，(b,f)S，(f,c)R。因为S是传递的，(e,b)S，(b,f)S，所以(e,f)S；因为(a,e)R，所以(a,f)RS；RS是对称的，则(f,a)RS；因为R是对称的，(f,c)R，则(c,f)R。因为(f,a)RS，则存在gA，使得(f,g)R，(g,a)S；因为R是传递的，由(c,f)R，(f,g)R，则(c,g)R；因为(c,g)R，(g,a)S，所以(c,a)RS。因为已经证明，RS是对称的，所以(a,c)RS。,函数,12 设f:XY是函数，A,B是X的子集，证明：（1）f(AB)f(A)f(B)（2）f(AB)=f(A)f(B)（3）f(A)-f(B)f(A-B),/*基本法证明*/证明：（1）对任意的yf(AB)，存在x，x AB，使得y=f(x)。因为xA，所以yf(A)；因为x B，所以yf(B)。所以yf(A)f(B)。则f(AB)f(A)f(B)。,13 设R是A上的一个二元关系，S=(a,b)|a,bA并且对于某个cA，有(a,c)R且(c,b)R。证明：若R是A上的等价关系，则S是A上的等价关系。/*证明是S自反、对称和传递*/,四、概念综合练习,一、选择题（北京理工大学2000考研）1 下列集合运算中（）对满足分配律。A)B)C)D),2 A、B是集合，P(A)、P(B)为其幂集，且AB=，则P(A)P(B)=（）A)B)C)D),3 A、B是集合，以下各式除（）之外，均与AB等价。A)ABBB)AB=BC)AB=AD)ABB2,4 R是集合A上的自反关系，则（）A)R RB)RR RC)RR-1=IAD)R R-1=IA,5 集合A中有n个元素，则A上共有（）个既对称又反对称的关系。A)0B)2nC)n2D)2n,6 R是可传递的二元关系，则在RR-1,RR-1,R-R-1,R-1-R中，有（）个一定是可传递的。A)1B)2C)3D)4,7 函数f:RR，其中R为实数集合，下列四个命题中（）为真。A)f(x)=5是内射的B)f(x)=5是满射的C)f(x)=5是双射的D)A),B),C)都不真,8 集合A到B共有64个不同的函数，则B中元素不可能是（）个。A)4B)8C)16D)64,二、选择题（北京理工大学1999）1 已知AB=1,2,3，AC=2,3,4，若2B，则。A)1CB)2CC)3CD)4C,2 对任何二元关系R，在RR-1,RR-1,RR-1,RR-1中有 个一定是对称关系。A)1B)2C)3D)4,3 R=(1,4),(2,3),(3,1),(4,3),则 t(R)。A)(1,1)B)(1,2)C)(1,3)D)(1,4),集合论考研习题,考研习题一、集合基础二、二元关系三、函数,一、集合基础,1.1 集合运算容斥原理1.2 集合运算证明1.3 幂集1.4 相类似的练习题目,1.1 集合运算容斥原理,中国科学院自动化所1997120个学生参加考试，考试有A、B和C3道题，考试结果如下：12个学生3道题都做对了，20个学生做对A和B，16个学生做对A和C，28个学生做对B和C，做对A的有48个学生，做对B 的有56个学生，有16个学生一道也没有做对。试求做对了C的学生有多少个？直接使用容斥原理,解：设做对A题的学生集合为PA，做对B题的学生集合为PB，做对C题的学生集合为PC。/*根据容斥原理，列出计算式*/|PAPBPC|=12,|PAPB|=20,|PAPC|=16,|PBPC|=28,|PA|=48,|PB|=56,/*根据容斥原理，进行计算*/|PAPBPC|=120-16,|PAPBPC|=|PA|+|PB|+|PC|-|PAPB|-|PAPC|-|PBPC|+|PAPBPC|,所以|PC|=20+16+28+104-12-48-56=52，做对C题的学生为52人。,容斥原理解题总结,使用容斥原理时，首先搞清论域，划定全集；其次对全集进行分类，列出计算式；最后根据容斥原理的公式进行计算。,北京师范大学2001,证明容斥原理：设A1,A2,An都是有限集，则|A1A2An|=其中：i1,i2,in是遍历1,2,n的所有k元子集。/*证明思想：数学归纳法*/,证明：1）归纳基础：当k=2时，集合A1和A2的公共元素个数为|A1A2|，这些元素中的每一个在|A1|+|A2|里计算了两次，但在|A1A2|中是作为一个元素计算的。因此有|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|。所以，当n=2时，命题成立。,2）归纳步骤：,当k=n时，|A1A2An|=|(A1A2An-1)An|=|(A1A2An-1)|+|An|-|(A1A2An-1)An|因为|(A1A2An-1)An|=|(A1An)(A2 An)(An-1An)|/*n-1个集合的并，根据归纳假设展开*/,北京师范大学2000,设S为任一集合，证明在S与其幂集P(S)之间不存在1-1对应。,1.2 集合运算证明,基本法、公式法,中国科学院软件所1998,1 对于任意集合A和B，证明:(1)P(A)P(B)P(AB),(2)P(A)P(B)=P(AB)；并举例说明P(A)P(B)P(AB)。/*幂集的定义：P(A)=x|xA*/,（1）/*基本法*/对任意的xP(A)P(B)，有xP(A)或xP(B)。若xP(A)，则xA，所以xAB，即xP(AB)；同理，若xP(B)，则xB，所以xAB，即xP(AB)。综上所述，P(A)P(B)P(AB)。,（2）/*基本法*/对任意的xP(A)P(B)，有xP(A)且xP(B)。即xA并且xB，则xAB。所以xP(AB)。故P(A)P(B)P(AB)。对任意的xP(AB)，有xAB，即xA并且xB，所以xP(A)且xP(B)。因此P(AB)P(A)P(B)。综上所述，P(A)P(B)=P(AB)。,举例说明P(A)P(B)P(AB)。A=1,B=2,AB=1,2;P(A)=,1,P(B)=,2,P(A)P(B)=,1,2,P(AB)=,1,2,1,2;所以P(A)P(B)P(AB)。,中国科学院计算所1998,2 证明：若(A-B)(B-A)=C，则A(B-C)(C-B)的充分必要条件是ABC=。证明思想：（1）充分性，即证明：若ABC=，则A(B-C)(C-B)；基本法证明；（2）必要性，即证明：若A(B-C)(C-B)，则ABC=；反证法证明。,证明：（1）对于任意的aA，因为ABC=，所以aBC，则a有3种情况：I)aB，但aC，则aC-B，所以a(B-C)(C-B)；II)aB，但aC，则aB-C，所以a(B-C)(C-B)；III)aB且aC，因为aA，所以aA-B，所以a(A-B)(B-A)，即aC，导致矛盾，所以aB且aC不可能出现。综上所述，对于任意的aA，a(A-B)(B-A)，所以A(B-C)(C-B)。,证明：（2）假设ABC，则存在a，a ABC，即aA，aB，且aC。所以a B-C，aC-B。则a(B-C)(C-B)。因为A(B-C)(C-B)，aA，所以导致矛盾。所以ABC=。,北京大学1998,3 给出集合表达式(A-C)B=AB成立的充要条件.,北京大学1994,判断题，为真给出证明，为假给出反例：1）x-x2）若AB=AC，则B=C。3）R是A上的关系，则R=R2的充要条件是R=IA。,1.3 幂集,幂集运算：代数法,北京大学1997,1 设A为集合，B=P(A)-A，且B。求偏序集(B,)的极大元，极小元，最小元。,因为B，所以|A|1。对任意xA,A-x是极大元，x是极小元，无最小元。,北京大学1999,2 设A=,，计算P(A)-,P(A)A。,/*代数法求P(A)*/设x=,y=，A=x,y,P(A)=,x,y,x,y;P(A)=,;P(A)-=,;P(A)A=,;,上海大学1998,3 设A是集合，A的元素也是集合，P(A)是A的幂集。定义A=x|yA,xy（1）计算a,b,c,a,d,e,a,f；（2）证明P(A)=A；（3）请问P(A)=A？解题要素：A（广义并）和幂集的定义；基本法,（1）计算a,b,c,a,d,e,a,f解：a,b,c,a,d,e,a,f=a,b,c a,d,e a,f=a,b,c,d,e,f,（2）证明P(A)=A证明：对任意xP(A)，则存在yP(A)，xy；因为yP(A)，所以yA；因此xy，则有P(A)A；对任意xA，设y=x，则yA。所以yP(A)。因此xP(A)。所以P(A)=A。,（3）请问P(A)=A？不成立。反例：（1）A=a,b,c,a,d,e,a,fA=a,b,c,d,e,fP(A)A,上海交通大学1998,4 C是非空集合族，证明：P(C)=P(X)|XC证明方法：基本法，集合族的概念,证明：任取xP(C)，则xC，所以对于任意的ax，有aC；对于任意的XC，有aX；那么xX，即xP(X)。由X的任意性，也即xP(X)|XC。所以P(C)P(X)|XC。任取xP(X)|XC，则对于任意的XC，有xP(X)，即xX。因为XC，对于任意的ax，有aX；因此aC。所以xC，即xP(C)。所以P(X)|XC P(C)。所以P(C)=P(X)|XC。,中科院成都计算所2000,5 设A是一有限集，A的基数为|A|。证明：A的幂集P(A)的基数|P(A)|=2|A|。,1.4 相类似的题目,1 A,B是两个集合，给出AB=B的充分必要条件是什么，并证明你的结论。/*南京理工大学2000*/,2 判断下列各式是否成立，如果成立，则证明之，否则举出反例。（1）P(A)P(B)=P(AB),（2）(AB)C=(AC)(BC)上海交通大学2001,3 证明P(A)P(B)P(AB)，并说明等号成立的条件。上海交通大学1999,4 设A,B,C,D为4个非空集合，则AB CD的充分必要条件是。/*重庆大学1998*/,二、二元关系,关系及其性质与运算等价关系与划分序关系,关系及其性质与运算,北京大学1997,1 设R=(x,y)|x,yN并且x+3y=12，求R2。解题思路：将R的所有元素列出，求R与它本身复合所得的关系,解：R=(0,4),(3,3),(6,2),(9,1),(12,0)R2=(3,3),(12,4),北京大学1990,2 设R是复数C上的二元关系，且满足xRyx-y=a+bi，a和b为非负整数，试确定R的性质（自反、反自反、对称、反对称和传递），并证明之。,北京大学1994,3 判断题，为真给出证明，为假给出反例：R是A上的二元关系，则R=R2R=IA。,武汉大学1999,4 设A=a,b,c，给出A上的一个二元关系R，使其同时不满足自反、反自反、对称、反对称和传递性。,武汉大学1998,5 设A=1,2,3，R是P(A)上的二元关系，且R=(a,b)|ab。则R不满足下列哪些性质？为什么？1)自反2)反自反3)对称4)反对称5)传递性,等价关系与划分,中科院成都计算所2001,1 设R是集合A上的一个传递的和自反的关系，T是A上的一个关系，使得(a,b)属于T当且仅当(a,b)和(b,a)都属于R。证明：T是一个等价关系。,西南交通大学1997,2 设X和Y都是正整数集，xiX,yiY,i=1,2.1下列关系是否是等价关系？证明你的结论。1)R=(x1,x2),(y1,y2)|x1+y2=x2+y1 2)R=(x1,x2),(y1,y2)|x1+y1=x2+y2 2若R是等价关系，定义集合M,M=(0,2),(1,2),(2,4),(3,4),(4,6),(5,6),。试给出它的等价类。,西南交通大学1998,3 设S=1,2,3，定义SS上的关系R为：对任意(a,b),(c,d)SS，有(a,b),(c,d)a+d=b+c，证明：R为SS上的等价关系并给出SS/R。,上海交通大学2001,4 设P是X上的等价关系，Q是Y上的等价关系，关系R满足(x1,y1),(x2,y2)R 当且仅当(x1,x2)P，(y1,y2)Q，证明：R是XY上的等价关系。,南京理工大学2000,5 R是集合A上等价的二元关系，证明R2也是A上的等价关系。,序关系,西南交通大学1998,1 集合A上的二元关系R如果是传递和反自反的，则称R是A上的拟序关系，证明：（1）如果R是A上的拟序关系，则r(R)=RIA是偏序关系；（2）如果R是A上的偏序关系，则R-IA是拟序关系。,西南交通大学1999,2 设R是集合A上的偏序关系，且BA，试证明R=R(BB)是B上的偏序关系。,复旦大学1999,3 判断是否正确，并说明理由。设A是一个集合，R是A的幂集P(A)上的二元关系，对所有S、TP(A)，(S,T)P(A)。当且仅当|S|T|，R是偏序关系。,华中科技大学2000,4 设P是集合A上的二元关系，P是传递的和反自反的，证明：r(P)是A上的偏序关系。,北京师范大学1999,5 证明整除关系是正整数集合上的偏序关系。,三、函数,西南交通大学1999,1 假设函数f:AB并定义G:BP(A)，对于bB，G(b)=x|xA,f(x)=b。证明如果f是A到B的满射，则G是内射的；其逆命题成立吗？,北京大学1998,2 设f:NNN,f(x,y)=xy。求f(N1),f-1(0)，并说明是否为满射、内射和双射。,3 设f:XY是函数，A,B是X的子集。证明：（1）f(AB)f(A)f(B);（2）f(AB)=f(A)f(B)；（3）f(A)-f(B)f(A-B)。,复旦大学1999,4 判断是否正确，并说明理由。设A和B为集合，若存在A到B的满射函数，则|B|A|。,武汉大学1999,5 设A,B,C,D是任意集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射。令h:ACBD且(a,c)AC，h(a,c)=(f(a),g(c)。那么h是双射吗？请证实你的判断。,中国科学院软件所1996,6 设f:AB,g:BC,h:BC,证明：如果h o g o f=IA，f o h o g=IB，g o f o h=IC，则f、g和h均为双射，并求出f-1，g-1，h-1。,中国科学院计算所1998,7 设R1和R2为X上的两个关系，且R1 o R2=IX。1）若X为有限集合，证明：存在X上双射f1和f2，使得f1 o f2=IX且aR1bb=f1(a),cR2dd=f2(c)。2）若X为无限集合，举例说明1）的结论不成立。,