自控第三章时域分析法.ppt

第三章时域分析法,建立起系统的数学模型之后，下一步就是对系统的控制 性能进行全面的分析和计算。常用的方法:时域分析法，根轨迹法，频率法。时域分析法是最基础、最常用的方法。,第一节 典型控制过程及性能指标,系统的响应C(t)取决于：参数结构,外作用,初始条件。为了描述系统的内部特征，分析和比较系统性能的优劣，通常对外作用和初始条件做一些典型化处理。处理的 原则是：接近实际，简单。,第一节 典型控制过程及性能指标,一、典型初始状态零状态。C(0)=(0)=0 系统的输出及其各阶导数在初始时刻均为零。初始时刻可以设定，所以该约束并不苛刻。,二、典型外作用,1单位阶跃 指令的突然转换,开关闭合,负荷突变。2单位斜坡主拖动系统发出的位置信号,数控机床加工斜面时的给进指令。3单位脉冲脉动电压、冲击力。4正弦海浪、噪声、伺服震动台。所有外作用都可以近似成典型外作用或典型外作用的集合.,三、典型时间响应,初始状态为零的系统，在典型外作用下的输出。1单位阶跃响应 H(S)=G(S)/S h(t)=L-1H(S)2单位斜坡响应Ct(S)=G(S)/S2 Ct(t)=L-1Ct(S)3单位脉冲响应 K(S)=G(S)k(t)=L-1K(S)4三种响应之间的关系 K(S)=SH(S)=S2Ct(S),第一节 典型控制过程及性能指标,四、阶跃响应的性能指标 跟踪和复现阶跃作用对系统来说是较为严格的工作条件，通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义时域性能指标。,阶跃响应的性能指标,1.上升时间td h(t)从0上升到稳态值所需的 时间。2峰值时间tp h（t）超过稳态值而达到第 一个峰值所需的时间。,阶跃响应的性能指标,3超调量%h（tp）-h（）%=100%h（）4调节时间(过渡过程时间)tS h(t)达到并不再超出误差带的最小时间。5稳态误差eSS eSS=1-h（）,阶跃响应的性能指标,上升时间td 和峰值时间tp 表征系统响应初始阶段的快慢,调节时间ts表征系统过渡过程持续的时间，总体上反映了系统的快速性。超调量%反映系统的平稳性。稳态误差eSS反映系统的最终控制精度。,第二节 一阶系统分析,一阶系统的微分方程：T dC(t)/dt+C(t)=r(t),一阶系统的传递函数：1 G(S)=-(TS+1)T时间常数,表征系统的惯性，尽管物理意义不同，但总具有“秒”的量纲。,一、一阶系统的单位阶跃响应,H(S)=G(S)R(S)=1/S(TS+1),h(t)=L-1H(S)=L-11/S(TS+1)=1-e-t/T,T是表征响应特性的唯一参数。,关于时间常数T,h(t)=1-e-t/Tt=T，h(T)=0.632 t=2T，h(2T)=0.865 t=3T，h(3T)=0.950 t=4T，h(4T)=0.982 用实验方法鉴别和确定被测系统是否为一阶系统。时间常数的倒数=响应曲线的初始斜率。dh(t)/dtt=0=(1/T)e-t/Tt=0=1/T,一阶系统的性能指标,调节时间:tS=3T（秒）（对应5%误差带）h(3T)=0.950 tS=4T（秒）（对应2%误差带）h(4T)=0.982 T越小 tS越小 快速性越好。,稳态误差:eSS=1-h（）=0 一阶系统在单位阶跃输入下的稳态误差为0。,二、一阶系统的单位斜坡响应,Ct(S)=G(S)R(S)=1/(TS+1)S2Ct(t)=L-1Ct(S)=t-T+e-t/T稳态误差:eSS=T,一阶系统在单位斜坡输入下的稳态误差为T。它只能通过减小时间常数T来减小，而不能最终消除。,三、一阶系统的单位脉冲响应,K（S）=G（S）R（S）=1/（TS+1）k（t）=L-1 K（S）=e-t/T/T,T越小 响应的持续时间越短 快速性越好。,四、三种响应之间的关系,(t)=d/dt u(t)=d2/dt2 r(t)k(t)=d/dt h(t)=d2/dt2 Ct(t),系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。,第三节 二阶系统分析,微分方程：T2dC2(t)/dt2+2TdC(t)/dt+C(t)=r(t),传递函数：G(S)=1/(T2S2+2TS+1)=Wn2/(S2+2WnS+Wn2)其中:Wn=1/T自然频率,阻尼比。,特征方程：S2+2WnS+Wn2=0,第三节 二阶系统分析,特征根：S1,2=-Wn Wn(2-1)1/2 1,S1,2不等负实根（过阻尼）=1,S1,2重根（临界阻尼）01,S1,2共轭复根（欠阻尼),不同时的特征根和阶约响应,一、二阶系统的单位阶跃响应,11（过阻尼）S1,2不等负实根,特征方程可写成:S2+2WnS+Wn2=(S+1/T1)(S+1/T2)=0 其中:T1=1/Wn-(2-1)1/2 T2=1/Wn+(2-1)1/2 且:Wn2=1/T1T2 1/T1T2 1 G(S)=-=-(S+1/T1)(S+1/T2)(T1S+1)(T2S+1)可看成是两个时间常数不等的惯性环节的串联.,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应,H(S)=G(S)R(S)1=-(T1S+1)(T2S+1)S,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 e-t/T1 e-t/T2h(t)=1+-+-T2/T1-1 T1/T2-1响应是非振荡的,又不同于一阶系统(两个惯性环节串联).,过阻尼二阶系统的性能指标,td,tp,%无意义,ess=0ts表达式太繁,近似式为:当T1=T2(=1)时,ts 4.75T1 当T1=4T2(=1.25)时,ts 3.3T1 当T14T2(1.25)时,ts 3T1 系统的一个负实根(1/T2)比另一个(1/T1)大4倍以上,等效为一个一阶系统.,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应,201（欠阻尼）S1,2=-WnjWn(1-2)1/2H(S)=G(S)R(S)=Wn2/(S+S1)(S+S2)S e Wnt h(t)=1-sin（wdt+）（1-2)1/2 其中：Wd=Wn(1-2)1/2 有阻尼的自然振荡频率=COS-1,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应,eWnt h(t)=1-sin(wdt+)(1-2)1/2,衰减速度：e-Wnt.Wn越小，衰减速度越慢。,振荡频率：Wd=Wn(1-2)1/2.Wn越大,越小,振荡频率越高.,欠阻尼二阶系统的性能指标,1上升时间tr 由定义,h(tr)=1,即:e-Wntr1-sin（wdtr+）=1(1-2)1/2,sin（wdtr+）=0,wdtr+=n,第一次稳态 n=1,tr=（-）/wd,欠阻尼二阶系统的性能指标,上升时间定性分析:tr=（-）/wd wnwd=wn(1-2)1/2 tr=COS-1tr 上升时间越小,快速性越好.,欠阻尼二阶系统的性能指标,2.峰值时间tp 由定义,令:dh(t)/dtt=tp=0 解出t即为tp.(第一次峰值),欠阻尼二阶系统的性能指标,e Wnt h(t)=1-sin（wdt+）（1-2)1/2 对h(t)求导并令其得0:Wn(1-2)-1/2 e-Wntp sin(wdtp+)-wd(1-2)-1/2 eWntp cos(wdtp+)=0 经整理得:tg(wd tp+)=(1-2)1/2/=tg 即:wdtp=n,欠阻尼二阶系统的性能指标,第一次峰值:n=1所以:tp=/wd峰值时间定性分析 wnwd=wn(1-2)1/2 tp wd=wn(1-2)1/2 tp 峰值时间越小,快速性越好.,欠阻尼二阶系统的性能指标,3.超调量%h（tp）-h（）%=*100%h（）由h(t)求出h(tp)和h(),代入定义式即得.,欠阻尼二阶系统的性能指标,h(tp)=1-(1-2)-1/2eWntp sin(wdtp+)=1-(1-2)-1/2eWntp sin(+)=1+(1-2)-1/2eWntp sin=1+(1-2)-1/2eWntp wn(1-2)1/2/wn 2 1/2=1+e-/(1-)h()=1 2 1/2%=e-/(1-)*100%,欠阻尼二阶系统的性能指标,超调量%的定性分析 2 1/2%=e-/(1-)*100%由唯一确定。,=0%=100%等幅振荡（无阻尼）0 1 欠阻尼（有超调）=0.707(最佳阻尼比)%=4.6%=1（临界阻尼）%=0(无超调),欠阻尼二阶系统的性能指标,4调节时间tS tS 定义:h(t)-h()h（）；ttS 其中：=5%(或=2%)由此定义可推导出调节时间的计算公式.,欠阻尼二阶系统的性能指标,h(t)=1-（1-2)-1/2 e Wnt sin(wdt+)h()=1(1-2)-1/2 e Wnt sin(wdt+)；ttS（1-2)-1/2 e-Wnt是h(t)衰减振荡的包络(1-2)-1/2e-Wnt；ttS e-Wnt（1-2)1/2；ttS-Wnt ln（1-2)1/2；ttS Wnt ln（1-2)1/2-1；ttS tS=ln（1-2)1/2-1/Wn,欠阻尼二阶系统的性能指标,若：=2%则：tS=ln0.02（1-2)1/2-1/Wn4/Wn,定性分析:,Wn越大,调节时间越小,快速性越好。,若：=5%则：tS=ln0.05（1-2)1/2-1/Wn3/Wn,欠阻尼二阶系统的性能指标,5稳态误差eSSe（t）=r（t）-c（t）=(1-2)-1/2 eWntsin(wdt+)eSS=lim e(t)=0 t 稳态误差与参数,Wn无关，等于0。,二.二阶系统的单位脉冲响应,K(S)=G(S)R(S)=Wn2/(S2+2WnS+Wn2)欠阻尼：k(t)=Wn(1-2)-1/2 e-Wnt sin Wn(1-2)1/2 t 无阻尼：k(t)=Wn sin Wn t,二.二阶系统的单位脉冲响应,临界阻尼：k(t)=Wn2 t e-Wnt 过阻尼：2-1/2 2-1/2 k(t)=Wn(1-2)-1/2e-(-1)Wnt-e-+(-1)Wnt,二.二阶系统的单位脉冲响应,主要讨论欠阻尼系统1.最大值时间t:令:dk(t)/dt|t=t=0 tg-1(1-2)1/2/得:t=-wn(1-2)1/2 t,二.二阶系统的单位脉冲响应,2.单位阶跃响应超调量:%=h(tp)-h()*100%/h()=h(tp)1%+1=h(tp)又单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分 所以：由t=0 到 t=tp(t)间,单位脉冲响应曲线与横轴所包围的面积等于1+%.即:%=k(t)dt-1,三二阶系统的单位斜坡响应,只讨论欠阻尼情况 C(S)=Wn2/(S2+2WnS+Wn2)S2Ct(t)=t-2/Wn+eWnt(1-2)-1/2 sin(wdt+2)/Wn,三二阶系统的单位斜坡响应,稳态误差:e(t)=r(t)-c(t)=2/Wn-e-Wnt(1-2)-1/2sin(wdt+2)/Wn ess=2/Wn 只能减小,不能消除。,eSS，但会使%，平稳性变差。eSS(稳态精度)与%(平稳性)矛盾。,四、改善二阶系统响应特性的措施,1 误差信号的比例-微分控制（PD控制）G(S)=C(S)/R(S)Wn2(1+TdS)=S2+(2Wn+TdWn2)S+Wn2,四、改善二阶系统响应特性的措施,Wn2(1+TdS)G(S)=S2+(2Wn+TdWn2)S+Wn2 特征方程S一次项系数：2Wn+TdWn2=2Wn(+TdWn/2)等效阻尼比：d=+TdWn/2 阻尼比变大，%下降，平稳性变好；稳态时微分项不起作用，eSS不受影响。解决了eSS（稳态精度）与%（平稳性）的矛盾。,四、改善二阶系统响应特性的措施,比例微分控制可由RC网络或运算放大器来近似实现,四、改善二阶系统响应特性的措施,2输出量的速度反馈控制 G(S)=C(S)/R(S)Wn2=S2+(2Wn+KtWn2)S+Wn2,四、改善二阶系统响应特性的措施,Wn2G(S)=S2+(2Wn+KtWn2)S+Wn2 特征方程S一次项系数：2Wn+KtWn2 等效阻尼比：t=+KtWn/2 阻尼比变大，%下降，平稳性变好 KtS同样对稳态量eSS不起作用 解决了eSS（(稳态精度）与%（平稳性）的矛盾。,第四节 高阶系统分析,一.三阶系统的单位阶跃响应 Wn2S0 G(S)=-(S+S0)(S2+2WnS+Wn2)S0-闭环负实数极点 当1时 h(t)=1Ae-s0t-Ae-Wnt BcosWn(1-2)-1/2t+CsinWn(1-2)-1/2t,三阶系统的单位阶跃响应,其中:A=f(b),B=g(b),C=h(b)S0 实数极点 b=-=-Wn 共轭极点实部,随着实数极点向虚轴方向移动(b值下降),超调量下降,上升时间和调节时间加长.b1,三阶系统呈明显的过阻尼特性,b b,二高阶系统的单位阶跃响应,K(S Zi)Zi-闭环零点 GB(S)=-(S Si)i-闭环极点 K(S Zi)1 H(S)=-(S Si)(S2+2kWk+Wk2)S 实数极点 共轭复数极点 h(t)=A0+Aje-sjt+Bke-kWktcos(Wk(1-k2)-1/2t+DK e-kWktsin(Wk(1-k2)-1/2t,高阶系统的单位阶跃响应,h(t)=A0+Aje-sjt+Bke-kWktcos(Wk(1-k2)-1/2t+DK e-kWktsin(Wk(1-k2)-1/2t由一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成.如所有闭环极点(S0 和Wn)都具有负实部,则所有指数项和阻尼正弦(余弦)项均趋于0.闭环极点负实部的绝对值越大,对应的响应分量衰减越快,对动态过程的影响越小.h(t)不仅与闭环极点有关,也与闭环零点有关(系数A,B,D).,三.闭环主导极点,离虚轴最近的,对系统性能起主要作用的闭环极点-闭环主导极点.实部与闭环主导极点相差6(3)倍以上的闭环极点-闭环非主导极点.高阶系统通过主导极点近似成二阶(或一阶)系统.应用主导极点的概念可以导出高阶系统单位阶跃响应的近似表达式.,闭环主导极点,设:单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点 S1,2=-jWd则可得高阶系统单位阶跃响应的近似表达式为:M(s1)M(s1)h(t)=1+2-e-tcoswdt+arg-s1(s1)s1(s1)其中:D(S)-特征方程(s1)=dD(s)/ds,四.高阶系统的动态性能估算,1.峰值时间 1 m n tp=-arg(s1 zi)+arg(s1 si)wd i=1 i=3,高阶系统的动态性能估算,几点结论:.闭环零点的作用是减小峰值时间,越接近虚轴,作 用越明显.闭环非主导极点的作用是增大峰值时间.若闭环零点和极点彼此接近,则它们的影响相互抵消.若系统不存在闭环零点和闭环非主导极点,则 tp=/wd,高阶系统的动态性能估算,2.超调量%=P Q e-tp 100%其中:n n P=si/s1-si 闭环非主导极点影响修正系数 i=3 i=3 m m Q=s1-zi/zi 闭环零点影响修正系数 i=1 i=1,高阶系统的动态性能估算,几点结论：.闭环零点靠近虚轴,Q增大,%增大,减小阻尼.闭环非主导极点靠近虚轴,P减小,%减小,增大阻尼.不存在闭环零点和闭环非主导极点,则有:P=Q=1,%=e-tp*100%=Wn,tp=/wd 2-1/2%=e-/(1-)*100%,高阶系统的动态性能估算,3.调节时间 1 2 ts=-ln(-FQ)Wn n n 其中:F=si/s1-si i=2 i=2 m m Q=s1-zi/zi i=1 i=1,高阶系统的动态性能估算,几点结论：.闭环零点距靠近虚轴,Q增大,调节时间长.闭环非主导极点靠近虚轴,F减小,调节时间短.,第五节 应用计算机求取系统的响应,控制系统计算机输助设计:利用计算机帮助设计人员应用控制理论设计控制系统。用计算机进行数字仿真:控制系统计算机辅助设计的一种手段。数字仿真:根据性能相似原理构成系统的仿真模型，然后用计算 机求取系统响应（解微分方程），检验设计结果是否满足给定的性能指标。,连续系统数字仿真常用算法,1常微分方程的解析算法 虽精确，但程序繁琐，计算费时。2常微分方程的数值积分算法 主要讨论。3离散相似法（又称状态转移矩阵法）适应于非线性系统。,数值积分法解常微分方程的基本思路,用一阶微分方程组（即状态方程）表示系统的高阶微分程，将时间离散化，使其成为一系列相等（也可以不相等）的时间间隔，在已知前一时刻的状态向量值的情况下，按照给定的步长，估算下一时刻的状态向量值。,合理选择数值计算方法,1所要求的准确度它依赖于积分每一步所引起的截断 误差和舍入误差及其以后的传播。2每一步估计误差的容易程度。3完成计算的速度。4编制程序的容易程度。,欧拉法,Xn+1=xn+h f(xn,tn)其中:f(x,t)=dx/dt h=t1-t0(步长)特点:简单,粗糙,误差积累.截断误差:欧拉法公式就是精确解(泰勒公式)截去第三项及其以后各项而得到的近似公式。这样引起的误差称为截断误差。欧拉法的截断误差可以表示为O(h2)。当某一数值方法的截断误差等于(h p+1)时，即称其具有p阶精度。所以欧拉法为一阶精度。,预报-校正法,Xn+1=xn+h f(xn,tn)+f(x(1)n+1,tn+1)/2 其中:x(1)n+1=xn+h f(xn,tn)例：X2=x1+h*f(x1,t1)/2+h*f(x(1)2,t2)/2 改进了的欧拉法.提高了准确度.截断误差:O(h3),龙格-库塔法,Xn+1=xn+h(k1+2k2+2k3+k4/6 其中:k1=f(xn,tn)k2=f(xn+hk1/2,tn+h/2)k3=f(xn+k2/2,tn+h/2)k4=f(xn+k3,tn+h),第四节 稳定性与代数判据,一、稳定概念如系统受扰，偏离原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则称系统是不稳定的。稳定性是系统的一种固有特性（去掉扰动后自身的一种恢复能力），只取决于系统的结构参数，与初始条件及外作用无关。,二、稳定的数学条件及定义,系统的微方：a0dnC(t)/dtn+anC(t)=b0 dmr(t)/dtm+bmr(t)拉氏变换后：(a0Sn+an)C(S)=(b0Sm+bm)R(S)+M0(S)其中：M0(S)与初始条件有关的多项式 D(S)=a0Sn+an D(S)=0 特征方程M(S)=b0Sm+bm,二、稳定的数学条件及定义,C(S)=M(S)R(S)/D(S)+M0(S)/D(S)假定:D(S)=0 有n个互异的特征根Si,即:D(S)=a0(S-Si)假定:R(S)有L个互异的极点Srj（j=1，2，L）(如特征方程有重根，不影响结论)则：C(S)=Ai0/(S-Si)+Bj/(S-Srj)+Ci/(S-Si)结构参数 输入 初始条件,二、稳定的数学条件及定义,C(t)=Ai0eSit+BjeSrjt+CieSit其中：BjeSrjt取决于输入，是一稳态分量；Ai0eSit和CieSit取决特征根（由系统的结构参数 确定），是瞬态分量。瞬态分量衰减为0 系统稳定。（去掉扰动后自身的一种恢复能力）稳定性定义：lim(Ai0+Ci)eSit=0 t i=0,二、稳定的数学条件及定义,稳定性的充分必要条件为系统特征方程的所有根都具有负实部 判别系统是否稳定，可归结为判别特征根实部的符号:ReSi0，（Si在左半S平面）稳定；ReSi=0，(Si在虚轴上）临界稳定；ReSi0，（Si在右半S平面）不稳定。,三、稳定判据（Routh判据）,系统稳定的充分必要条件是Routh表中第一列系数全部大于零；否则系统不稳定，且该列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实根的数目。系统的特征方程：a0Sn+a1Sn-1+an-1S+an=0,三、稳定判据（Routh判据）,Routh表：Sn a0 a2 a4 Sn-1 a1 a3 a5 Sn-2 c13=(a1a2-a0a3)/a1 c23=(a1a4-a0a5)/a1 Sn-3 c14=(a3c13-a1c23)/c13 c24=(a5c13-a1c33)/c13 S1 c1nS0 c1(n+1)=an,三、稳定判据（Routh判据）,例：单位负反馈系统的开环传递函数为：GK(S)=K/S(0.1S+1)(0.25S+1)1试求增益K的稳定域。2欲使特征根全部位于垂线 S=-1 之左侧（稳定度 a=1），问K的允许调整范围是多少？,三、稳定判据（Routh判据）,解：1.GB(S)=GK(S)/1+GK(S)=K/S(0.1S+1)(0.25S+1)+K 特征方程：S(0.1S+1)(0.25S+1)+K=0 0.025S3+0.35S2+S+K=0 Routh表：S3 0.025 1 S2 0.35 KS1(0.35-0.025K)/0.35 0S0 K 系统稳定的条件：K0 即 K14 K的稳定域为：0K14。,三、稳定判据（Routh判据）,2.取S=S1-1代入特征方程 0.025(S1-1)3-0.35(S1-1)2+(S1-1)+K=0 S13+11S12+15S1+(40K-27)=0 Routh表:S3 1 15 S2 11 40K-27S1 11*15-(40K-27)/11 0S0 40K-27 系统稳定的条件：11*15-(40K-27)0 即K4.8 40K-270 即K0.675 当特征根全部位于垂线S=-1之左侧（稳定度a=1）时，K的允许调整范围是0.675K4.8。,对Routh表中出现的特殊情况的处理,1 Routh表的任意一行，第一个元素为0，其余元素不为0或部分为0时用一个很小的正数代替这个0。,对Routh表中出现的特殊情况的处理,例：S4+3S3+S2+3S+1=0 S4 1 1 1S3 3 3 0S2 1 0S1(3-3)/0 0 S0 1 很小，3-（3/）0,系统不稳定。且有两个特征根在右半S平面（Routh表第一列系数数值符号改变二次）。,对Routh表中出现的特殊情况的处理,2.Routh表中出现全0行时 用全0行上一行的元素构成一辅助方程，再对其求导得到新方程，用新方程的系数代替全0行。,对Routh表中出现的特殊情况的处理,例：S6+S5-2S4-3S3-7S2-4S 4=0 S6 1-2-7-4 S5 1-3-4 S4 1-3-4 辅助方程：S4-3S2 4=0S3 0(4)0(-6)0(0)求导：4S3-6S=0S2-3/2-4 0S1-16.7 0 S0-4 系统不稳定。且具有一个正实部根。,四、结构不稳定及其改进措施,仅调整参数仍无法稳定的系统称为结构不稳定系统。例：液位控制系统 KpKmKlKa Gk(s)=S2(TmS+1)传递函数：G(S)=H(S)/HO(S)=K/(TmS3+S2+K),四、结构不稳定及其改进措施,特征方程：TmS3+S2+K=0 S3 Tm 0 S2 1 K S1-TmK 0 S0 K无论怎样改变参数，只要Tm0，K0，系统就不稳定。即为结构不稳定系统。欲使系统稳定，必须改变结构。造成结构不稳定的原因:特征方程缺项前向通路有两个积分环节.,消除结构不稳定的措施,改变积分性质或引入比例微分控制。1改变积分性质A用KH包围积分环节 X2(S)/X1(S)=Ka/(S+KaKH)包围受控对象(积分环节)，使之变成惯性环节。液位控制系统的特征方程变为：TmS3+（1+TmKaKH）S2+KaKHS+K=0 没有缺项,消除结构不稳定的措施,B用反馈KH包围电动机的 传递函数 X2(S)/X1(S)=Km/(TmS+1)+KmKH破坏了原电动机传递函数中的积分性质。积分性质的破坏，改善了系统的稳定性，但会使系统的稳态精度下降。,消除结构不稳定的措施,2 引入比例微分控制 G(S)=H(S)/HO(S)=K(S+1)/S2(TmS+1)+K(S+1)液位控制系统的特征方程变为：TmS3+S2+KS+K=0 消灭了缺项.只要适当匹配参数,即可使系统稳定.,第五节 稳态误差分析,控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量。系统的稳态误差与系统本身的结构参数以及外作用的形式密切相关。,一、误差及稳态误差的定义,误差=期望值-实际值 两种定义：1e(t)=r(t)-c(t)2e(t)=r(t)-b(t)对单位负反馈系统 H(S)=1，两种定义是统一的。稳态误差：误差的终值。ess=lim e(t)t,二、稳态误差的计算,二、稳态误差的计算ess=lim S E(S)(拉氏变换的终值定理)s0例：系统结构如图 当输入r(t)=I(t)，干扰n(t)=I(t)时，求系统总的稳态误差。,稳态误差的计算举例,解：1判别稳定性 特征方程：两个传递函数，两个特征方程都是:S+K1K2=0特征根：S1=-K1K20 系统稳定。,稳态误差的计算举例,2求r(t)作用下的ER(S)n(t)=0 ER(S)=R(S)-C(S)=R(S)GR(S)R(S)=R(S)1-K1K2/S/(1+K1K2/S)R(S)=1/S=1/(S+K1K2)3求n(t)作用下的En(S)r(t)=0 En(S)=R(S)C(S)=0 GN(S)N(S)=-K2/S/(1+K1K2/S)N(S)=-K2/S(S+K1K2),稳态误差的计算举例,4求E(S)由叠加原理 E(S)=Er(S)+En(S)=1/(S+K1K2)-K2/S(S+K1K2)5求ess ess=lim S E(S)s0=lim S1/(S+K1K2)-K2/S(S+K1K2)s0=-1/K1,三、输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系,系统的开环传递函数可写成典型环节串联的形式：K(1S+1)(22S2+22S+1）GK(S)=SV(T1S+1)(T22S2+2T2S+1)式中：K开环增益,V积分环节数 E(S)=GER(S)R(S)=R(S)/1+GK(S)1 SV+1 ess=lim S E(S)=lim S R(S)=lim R(S)S0 S0 1+K/SV S0 SV+K 系统的稳态误差ess除与外作用R(S)有关外，还与系统的开环增益K 和积分环节数V有关。,输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系,1阶跃输入 r(t)=R*I(t)SV+1 R RSV ess=lim=lim-S0 SV+K S S0 SV+K V=0 ess=R/(1+K)V1 ess=0 在阶跃输入下，系统消除稳态误差的条件是V1，即在开环传递函数中至少要有一个积分环节。,输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系,2斜坡输入 r(t)=R*t SV+1 R RSV-1 ess=lim=lim S0 SV+K S2 S0 SV+K V=0 ess=V=1 ess=R/K V2 ess=0 在斜坡输入下，系统消除稳态误差的条件是V2。即在开环传递函数中至少要有二个积分环节。,输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系,3等加速度输入 r(t)=R*t2/2 SV+1 R RSV-2ess=lim=lim S0 SV+K S3 S0 SV+K V1 ess=V=2 ess=R/K V3 ess=0 在等加速度输入下，系统消除稳态误差的条件是V3。即在开环传递函数中至少要有三个积分环节。,输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系,提高系统的稳态精度（减小ess）要求增加积分环节数，但这与系统的稳定性将产生矛盾。,四、系统的型别和静态误差系数,1 系统的型别 K(1S+1)(22S2+22S+1）GK(S)=-SV(T1S+1)(T22S2+2T2S+1)式中：K开环增益,V积分环节数 V=0 0型系统.对阶跃输入的ess为常值,对斜坡和等加速度输入的ess为。,系统的型别和静态误差系数,V=1 I型系统.对阶跃输入的ess为0,对斜坡输入的ess为常值,对等加速度输入的ess为。V=2 型系统 对阶跃和斜坡输入的ess为0,对等加速度输入的ess为常数.依次类推。系统的型别越高，跟踪典型输入信号的无差能力越强。,系统的型别和静态误差系数,2 静态误差系数A 静态位置误差系数KP表示系统在阶跃输入下的稳态精度。Kp=lim Gk(S)=lim(K/SV)S0 S0 0型系统（V=0）:KP=K I型及以上系统（V1）:KP=RSV ess=lim-S0 SV+K KP反映了系统跟踪阶跃信号的能力。KP越大，ess越小。,系统的型别和静态误差系数,B静态速度误差系数KV表示系统在斜坡输入下的稳态精度。KV=lim SGK(S)=lim(K/SV-1)S0 S0 0型系统（V=0）KV=0 I型系统（V=1）KV=K 型及以上系统（V2）KV=RSV-1 ess=lim S0 SV+K KV反映了系统跟踪斜坡信号的能力。KV越大，ess越小。KV虽然称为速度误差系数，但得出的ess并不是速度的误差，而是系统在跟踪等速信号时出现的位置上的误差。,系统的型别和静态误差系数,C静态加速度误差系数Ka表示系统在等加速度输入下的稳态精度.Ka=lim S2GK(S)=lim(K/SV-2)S0 S0 0型，I型系统（V1）Ka=0 型系统（V=2）Ka=K 型及以上系统（V3）Ka=Ka反映了系统跟踪等加速度输入信号的能力。Ka越大，ess越小。Ka虽然称为加速度误差系数，但得出的ess并不是加速度的误差，而是系统在跟踪等加速信号时出现的位置上的误差。,系统的型别和静态误差系数,误差系数KP,KV,Ka与系统的型别一样，均是从系统本身的结构特征上体现了系统消除稳态误差的能力，反映了系统跟踪典型输入信号的能力。,不同输入信号作用下系统类型,态误差系数和稳态误差,系统类型 静态误差系数 ess(阶跃输入)ess(斜坡输入)ess(加速度输入)V KP KV Ka R/(1+KP)R/KV R/Ka 0 K 0 0 R/(1+K)K 0 0 R/K K 0 0 R/K 0 0 0,五、改善系统稳态精度的方法,1.增大开环增益 增大扰动作用点以前的前向通道的增益,以保证对参考输入的跟随能力,降低扰动引起的稳态误差.增大开环增益 误差系数增大 稳态误差降低.增大开环增益 稳定困难.,五、改善系统稳态精度的方法,2.增加前向通道中积分环节数 使系统型别提高,以消除不同输入信号时的稳态误差.增加积分环节 提高控制精度.增加积分环节 对稳定性不利.,改善系统稳态精度的方法,3.采用复合控制(1)按干扰补偿 确定GN(S)，使干扰n(t)对输出C(t)无影响。或称C(t)对n(t)具有不变性.GCN(S)=CN(S)/N(S)=1/G1(S)+GN(S)G1(S)G2(S)/1+G1(S)G2(S)=G2(S)+G1(S)G2(S)GN(S)/1+G1(S)G2(S)令：GCN(S)=0 则：GN(S)=-1/G1(S)是对干扰全补偿的条件。,改善系统稳态精度的方法,(2)按输入补偿 确定GR(S)，使系统在输入作用下的误差得到全补偿。C(S)=1+GR(S)G2(S)/1+G2(S)R(S)E(S)=R(S)-C(S)=1-G2(S)+GR(S)G2(S)/1+G2(S)R(S)=1-GR(S)G2(S)R(S)/1+G2(S)令：E(S)=0 则：GR(S)=1/G2(S)是对输入全补偿的条件。,本章小结,1.一阶系统,二阶系统的性能指标 定义,计算,改进措施.2.稳定性分析 定义,计算,改进措施.3.稳态误差 定义,计算,改进措施.,