能量原理及其应用.ppt
能量原理及其应用理想磁流体(IMHD)不稳定性,胡希伟核聚变与等离子体离体物理暑期讲习班,总100页,2,等离体不稳定性概述,总100页,3,不稳定性现象,一个力学系统当处在力学平衡状态(总的受力为零)时,如受到一个小扰动力的作用、就会偏离平衡态.系统在平衡态附近的随时间扰动一般分成三种情况-扰动幅度随时间而减小,即阻尼的扰动;-扰动辐度不随时间变化,即稳定的波动;-扰动的辐度随时间而增大,即不稳定的扰动,或称不稳定性.,总100页,4,不稳定性起因,对处在力学平衡下系统的小扰动会使系统的总能产生小的变化.如果扰动使系统总能增加,则扰动能就会转变成系统的总能.这样扰动辐度就随时间而减少.这就是阻尼的扰动.在稳定的扰动波动情况下,扰动不改变平衡系统的总能量.在不稳定的扰动下,系统会进入总能更低的状态,从而把一部份能量转给了扰动、使它随时间而增长.这部份可以交给扰动的能量被称为自由能.,总100页,5,等离体不稳定性分类(1),宏观(流体)的不稳定性(3维坐标空间)-磁(单)流体不稳定性-理想的磁流体(Ideal MHD)不稳定性-电阻(耗散)的磁流体不稳定性-电磁(双)流体不稳定性微观(动理学)的不稳定性(3维坐标空间+3维速度空间),总100页,6,等离体不稳定性分类(2),按扰动的极化性质分类-静电型;-电磁型;-静电-电磁混合型.按不稳定扰动随时间变化特征分类-线性不稳定的扰动(A=A0+A1,A1A0)-非线性不稳定的扰动,或弱湍流、发展中湍流-饱和的不稳定扰动,或完全发展了的湍流按扰动本身的特征时间和空间尺度-理想磁流体时间(A=1/kva,k1/a);-电阻磁流体时间(R=a2/);-混合型.,总100页,7,线性不稳定性描述方法,简正模(时间可作Laplace(A1exp-it)变换)法-扰动量的全部空间变量均可作Fourier变换(A1expikx),它的线性微分方程、变成关于(,k)的齐次代数方程.由解的存在条件得出色散方程:=(k)=R+iI.当I0，扰动不稳定(expIt);当I0，扰动衰减;当I0，扰动是稳定的波.-部分(等离体参量均匀)空间可作Fourier变换,全空间的微分方程变成剩余坐标的约化微分方程,由其解和边界(或连接)条件得出色散关系;-微分方程存在奇异性,由奇点处的非平凡解存在条件得出色散 关系.能量原理(仅对IMHD系统适用)初值(初始扰动的时间演化)问题,总100页,8,Tokamak中主要的磁流体不稳定性,IMHD不稳定性-外kink(扭曲)模-内kink(扭曲)模-Exchange(交换)模,特别是Ballooning(气泡)模电阻MHD不稳定性-Tearing(撕裂)模,-Neo-classical Tearing Mode(NTM)介于IMHD和耗散MHD之中的模-RWM(Resistance Wall Mode,电阻壁)模,总100页,9,MHD不稳定性从两个方面决定了tokamak等离体的运行性能和极限,总100页,10,对Tokamak运行性能的第一类限制,MHD不稳定性决定了tokamak可达到的-最大plasma电流,-最大plasma压强()及其梯度,-并在决定plasma的最大密度上起重要作用.这样,在决定反应堆水平tokamak基本设计和plasma性能的三个关键物理基石:极限、密度极限和能量约束时间中,有二个和MHD不稳定性有关.而上述三个物理量综合起来决定了-可以产生的聚变功率:Pfusion-聚变功率增益:Q=Pfusion/Pauxilary-中子在壁上的负荷,总100页,11,对Tokamak运行性能的第二类限制,至今已知道:有一些破裂是在任何反应堆尺度的Burning plasmas中都会不可避免地出现的.而破裂决定了tokamak某些结构和元件尤其是那些与plasma功率和粒子排出有关的元件-的使用寿命.而这些破裂是MHD不稳定性的直接或最后结果.为了减少破裂出现的次数,以及在它不可避免出现时、减缓或软化它的后果,必须通过对引发破裂的MHD不稳定性有深入和定量的了解.,总100页,12,ITER中重要的IMHD不稳定模式,锯齿(Sautooth)模-内kink模,在正磁剪切下产生NTMs的种子磁岛,结果 设置了N极限值,并使能量约束变坏.电阻壁模(RWMResistance Wall Mode)-自举电流驱动的外kink模,对具有反(负)磁剪切的等 离体设置了N极限值.局域的内MHD模-存在于具有内部输运垒(ITB)的高性能等离体中,限 制了稳态运行范围.,总100页,13,本讲座内容,柱形等离体中理想磁流体力学(IMHD)扰动的能量原理及不稳定模式准备知识-扰动位移矢量的IMHD线性方程-F算子、其自伴性和相应的哈密顿量H-变分原理、能量原理一维位形下的IMHD不稳定模式分析直柱tokamak位形中的IMHD不稳定性分析,总100页,14,参考文献,Progress in the ITER Physics Basis,Nuclear Fusion 47(June,2007)Chapter 3.ITER Physics Basis,Nuclear Fusion 39(1999)2137-2664.胡希伟,等离子体理论基础,北京大学出版社,2006,第四章.J.Wesson,Tokamaks,Second Edition,Clarendon Press Oxford,1997,Chapter 6.,总100页,15,IMHD能量原理准备知识,总100页,16,能量原理的原理,总100页,17,IMHD方程和总能量,总100页,18,线性化磁流体方程组,从磁流体力学方程组出发,取平衡解为:然后令:,总100页,19,引入位移矢量以直接积分二个方程,总100页,20,位移矢量的运动方程,力算子 F,总100页,21,总能量守恒与算子 F 自伴,总100页,22,位移矢量的初值和简正模解,总100页,23,IMHD本征模的三个特点,令,由F的自伴性可以证明:(1)2 为实数,为正负实数或纯虚数.(2)满足运动方程-20=F()的是实矢量,(3)若有分立谱本征值n(n=1,2,),则所对应的本征矢n 构成正交集.-n20n=F(n),总100页,24,F 算子自伴性的证明,在等离子体理论基础 的第四章中,对两种情况证明了F算子的自伴性。同时也给出了扰动位势W（，）的具体表达式：-无界磁流体,-柱形，有界（r=a）磁流体.,总100页,25,无限大磁流体力学体系的扰动位能,总100页,26,总100页,27,力算子 F 自伴性的证明,总100页,28,自伴性的最后证明,因为,而又能证明,总100页,29,自伴性的最后证明(续),总100页,30,柱形磁流体力学体系,其中是磁流体体积中的扰动位能.而后两项分别是柱面的扰动位能和柱外真空中的扰动位能,总100页,31,磁流体内扰动位能的第II 种表达式,这是物理意义最清楚的一种表达式其中第1项对应于弯曲磁力线的扰动(如剪切Alfven波);第2项出自同时压缩了流体和磁场的扰动(如压缩Alfven波);第3项则代表单独压缩流体的扰动(如离子声波);这三种扰动都引起势能增加,是致稳项.第4项是平行电流所驱动的不稳定扰动(Kink mode);第5项是由压强梯度和磁场曲率联合产生的扰动,由于 0,当 0(坏曲率)时,这项为负、会驱动不稳定扰动(Interchange mode).在整个扰动势能中只有这后两项是解(致)稳项.,总100页,32,磁流体内扰动位能的第IV 种表达式,这种表达式在推导Screw(螺旋)Pinch及直柱tokamak等离体中扰动位能表达式时特别方便.,总100页,33,变分原理,总100页,34,能量原理,总100页,35,如何挑选合适的来极小化WF,总100页,36,首先选取合适的|来极小化WF,总100页,37,总100页,38,W取极小与不可压缩性,总100页,39,总100页,40,IMHD不稳定性分类,总100页,41,总100页,42,External Kink Mode,总100页,43,Internal Kink Mode,总100页,44,Interchange Mode,总100页,45,Ballooning Mode,总100页,46,休息!就休息一会儿,总100页,47,一维位形下的IMHD不稳定性,-PinchZ-PinchScrew Pinch及其定域内模的Suydam判据,总100页,48,-Pinch,总100页,49,总100页,50,总100页,51,总100页,52,Z-Pinch,总100页,53,总100页,54,总100页,55,总100页,56,总100页,57,总100页,58,总100页,59,Screw Pinch,总100页,60,总100页,61,极小化WF(1):检验不可压缩性,总100页,62,极小化WF(2):对取极值,总100页,63,总100页,64,引入环向波数 n=-kR0,总100页,65,原始表面Ws,总100页,66,真空Wv,总100页,67,总100页,68,Screw Pinch WF的最后表达式,总100页,69,从WF 表达式可得的一般性结论,总100页,70,定域内模的Suydam判据,总100页,71,直柱tokamak的IMHD不稳定模,总100页,72,直柱马克的W 表达式,总100页,73,总100页,74,直柱马克典型的IMHD模式,定域(在有理面附近)的内交换模Mercier判据非定域的内(kink,interchange)模-m=0 和 m2的内模总是稳定的-m=1,n=1的内模在q(0)1时,是不稳定的.m=1的外kink模 Kruskal-Shafranov极限m2的外kink模-扭曲模的稳定图,总100页,75,定域内模只出现在 rq/q0 处,总100页,76,Mercier判据,q(0)1稳定充分条件,总100页,77,非定域内模，m 2 情况,总100页,78,m=0 非定域内模总是稳定的,总100页,79,m=1,n=1/q(rs)共振面不在等离体中,总100页,80,m=1,n=1/q(rs)共振面在等离体中,总100页,81,总100页,82,反剪切 q(r)位形下的m=1内模,总100页,83,ITER Design Scenario 4中的反剪切位形,总100页,84,外扭曲模的物理机制和扰动位能,总100页,85,外扭曲模的扰动位能,m=1 模,总100页,86,m=1 外扭曲模的稳定条件,总100页,87,m 2 的外扭曲模,总100页,88,m 2模的稳定条件与电流分布有关,总100页,89,均匀电流剖面下的稳定判据,总100页,90,总100页,91,总100页,92,总100页,93,总100页,94,环形tokamak中的新IMHD不稳定模,Ballooning Mode(气泡模)由压强梯度驱动的,位于tokamak外侧(坏曲率区)的非常局域的不稳定模式对的限制Vertical instabilities(轴对称模)垂直不稳定垂直位移事件(Vertical Displacement Events-VDEs)破裂,总100页,95,气泡模的机制,总100页,96,总100页,97,总100页,98,气泡模给出的 limit,或用tokamak运行参量写成:但实际上决定极限的不稳定模式还很多.目前公认的极限是 其中g被称为Troyon因子,当g=2.8时,相应的%值被称为Troyon极限.(详见:Wesson,Tokamaks,6.16),总100页,99,描述Sawtooth的扰动势能,W=WMHD+WKO+Wfast WKO:Kruskal-Oberman项,代表无碰撞热约束离子效应.WMHDF.Porcelli et al.1996 Plasma Phys.Control.Fusion 38,2163.,总100页,100,总100页,101,本课到此结束谢谢,
