能控规范形和能观规范形.ppt
2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,4.6 能控规范形和能观规范形由于状态变量选择的非唯一性,系统的状态空间模型具有非唯一性。若在状态空间的一组特定基底下,系统的状态空间模型具有某种特定形式,则称这种形式的状态空间模型为规范形。约旦规范形(对角线规范形)就是以系统的特征向量为其状态空间基底所导出的规范形。从前面讨论中可以看出,一旦把状态空间模型通过线性变换化成约旦规范形,对于状态转移矩阵(t)求解以及状态能控性和能观性分析都是十分方便的。,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,下面我们将讨论,通过线性变换将SISO系统的状态空间模型变换成对于系统的状态反馈设计十分方便的能控规范形和能简化系统的状态观测器设计的能观规范形。讨论的主要问题:基本定义:能控规范I/II形、能观规范I/II形基本方法:能控规范形和能观规范形的变换方法,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,讲授顺序为:能控规范形能观规范形,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,则称该状态空间模型为能控规范I形。,4.6.1 能控规范形定义 若SISO系统的状态空间模型为,且系统矩阵A和输入矩阵B分别为,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,若系统矩阵A和输入矩阵B分别为,则称该状态空间模型为能控规范II形。,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,上述能控规范I形和II型的系统矩阵A分别为前面讨论过的友矩阵的转置和友矩阵。下面讨论如下两个问题:能控规范形一定是状态完全能控和一定存在线性变换将状态能控的状态空间模型变换成能控规范形。,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,即能控性矩阵的秩都为n。故能控规范I形与II型必定是状态完全能控的。,能控规范形一定是状态完全能控?由状态能控的代数判据,对能控规范I形和II型,有如下能控性矩阵:,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,由于线性变换不改变状态能控性,而能控规范形一定状态完全能控,因此,只有状态完全能控的系统才能变换成能控规范形。下面讨论将完全能控的状态空间模型变换成能控规范形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题。对此,有如下对能控状态空间模型变换成能控规范I形和II型的定理。,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,定理4-24 对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变换矩阵Tc1如下Tc1=Qc=B AB An-1B是非奇异的。那么必存在一线性变换,能将上述状态方程变换成能控规范I形:,其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范I形所定义的。,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,定理4-25 对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变换矩阵Tc2如下式中，T1=0 0 1B AB An-1B-1那么必存在一线性变换,能将上述状态方程变换成如下能控规范II形:,其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范II形所定义的。,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,是非奇异矩阵,即该系统为状态完全能控,因此可以将其变换成能控规范形。,由上述计算过程,可很便利地将能控的状态空间模型转换为能控规范形。例4-19 试求如下系统的能控规范I和II形:,解 系统的能控性矩阵,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,(2)求能控规范I形。根据定理4-24,系统变换矩阵可取为,因此,经变换 后所得的能控规范I形的状态方程为,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,(2)求能控规范II形。计算变换矩阵先求变换矩阵。根据定理4-25,有 T1=0 1B AB-1=1/2 1/2则变换矩阵Tc2可取为,因此,经变换 后所得的能控规范形的状态方程为,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,4.6.2 能观规范形对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为,则称该状态空间模型为能观规范I形；,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为,则称该状态空间模型为能观规范II形。,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,由上述定义可知:能观规范形与能控规范形是互为对偶的,即能观规范I形与能控规范I形互为对偶,而能观规范II形与能控规范II形互为对偶。由对偶性原理可知,能控规范形是状态完全能控的,则其对偶系统能观规范形是状态完全能观的。由于线性变换不改变能观性,而能观规范形一定状态完全能观,因此,只有状态完全能观的系统才能变换成能观规范形。下面讨论将完全能观的状态空间模型变换成能观规范I/II形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题，对此,有如下定理。,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,定理4-26 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入变换矩阵To1满足那么线性变换,必能将状态空间模型(A,B,C)变换成能观规范I形:,其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范I形所定义的。,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,定理4-27 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入变换矩阵co2如下To2=R1 AR1 An-1R1式中，那么必存在一线性变换,能将状态空间模型(A,B,C)变换成如下能观规范II形:,其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范II形所定义的。,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,由于能观规范形与能控规范形互为对偶,因此,能观规范形变换定理4-26与定理4-27的证明可由能控规范形变换定理4-24与定理4-25的证明直接给出,这里不再赘述。例4-20 试求如下系统状态方程的能观规范I形与II型,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,是非奇异矩阵,即该系统为状态完全能观,因此可以将其变换成能观规范形。,解 由于系统的能观性矩阵,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,(1)求能观规范I形。根据定理4-26,系统变换矩阵可取为,因此,经变换后所得的能观规范形的状态方程为,2023/10/8,第4章 线性系统的能控性和能观性,(2)求能观规范II形。根据定理4-27,先求变换矩阵，有,则变换矩阵To2可取为,因此,经变换后所得的能观规范II形的状态方程为,
