能控性和能观测性-1讲.ppt

1,第四章 线性控制系统的能控性和能观测性,Modern Control Theory,2,第四章 线性控制系统的能控性和能观测性,本章主要内容线性连续系统的能控性 线性连续系统的能观性 对偶原理线性系统的能控标准形与能观标准形线性系统的结构分解传递函数矩阵与能控性、能观性的关系,3,状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系。状态方程反映控制输入对状态的影响；输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖。运动分析揭示了输入和初始状态对系统运行状况的影响。,引言问题的提出,4,引言问题的提出,经典控制理论：传递函数（输入输出特性）输出量即是被控量（只要系统稳定，输出便可以受控，且输出总是可测量的）现代控制理论：状态空间（状态方程和输出方程）,输入、输出,外部变量,状态,内部变量,研究系统的最终目的：更好地了解系统和控制系统。,思考？,1、当系统运动状况不佳时，能否通过系统的输入来改变系统的动态变化行为？,2、系统内部所有动态信息由状态反映，那么能否通过系统的输出来反映系统所有的状态信息？,5,引言问题的提出,含义1:系统输入对状态变量的支配 系统输出对状态变量的反映含义2:能否通过控制作用由任意初态确定终态能否由输出量的测量值确定各状态,6,多变量系统的两个基本问题：在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态?,引言问题的提出,指控制作用对状态变量的影响或控制能力，称之为状态的能控性问题。,即，如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到终点，则系统能控(状态能控)。,7,在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的各个状态？,指系统的输出量（或观测量）对系统状态的识别能力，称之为状态的能观性问题。,能控性、能观性-刻画系统内部结构的两个基础性概念，由卡尔曼(Kalman)于1960年提出的，在现代控制理论中起 重要作用。,即，如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均 可由输出完全反映，则称系统是状态能观测的。,引言问题的提出,状态能控否，决定能否实现最优控制；能观否，决定能否实现状态反馈控制。,8,例4.1、给定系统的状态空间描述：,引言问题的提出,解：展开得,9,例4.2,引言问题的提出,RLC网络,选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量，电容上的电压为输出变量,即,当R1R4R2R3，即电桥不平衡时，输入u能控制x1和x2所有状态变量，称系统是能控的。,10,例4.3 RLC网络,同样,引言问题的提出,当R1R4=R2R3，即电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，称该系统是不能观测的。,11,4.1 线性定常连续系统的能控性,本节主要内容能控性定义 能控性判据 状态能控判据 输出能控判据,12,含义：能控性：u(t)x(t)状态方程一、能控性定义（可控性）1、状态能控性对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入能在有限时间间隔内，使得系统从任意一个初始状态转移到任意的终止状态，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。,4.1 线性定常连续系统的能控性,一致可控,13,eg：假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态，,那么相平面上的P点是能控状态。,4.1 线性定常连续系统的能控性,14,4.1 线性定常连续系统的能控性,把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而把终端目标规定为状态空间中的原点。,说明：这种定义方式不便于写成解析形式。为了便于数学处 理，而又不失一般性，可以把上面的能控性定义分两 种情况叙述：,状态能控性：对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态转移到零状态，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。,15,4.1 线性定常连续系统的能控性,把系统的初始状态规定为状态空间的原点，把终端状态规定为任意非零有限点。状态能达性：对于给定的线性定常系统，如果 存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由零初始状态转移到任一指定的非零终端状态，则称此系统是状态完全能达的，简称系统是能达的。注意：1、在线性定常系统中，能控性与能达性是可逆的，即：能控系统一定是能达系统，能达系统一定是能控系统。2、在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一。,16,4.1 线性定常连续系统的能控性,2、输出能控性控制输入影响输出的能力 在分析和设计控制中，系统的被控量往往不是系统的状态，而是系统的输出，必须研究系统的输出是否能控。,输入有唯一解的问题,17,4.1 线性定常连续系统的能控性,问题：如何来判断能控性？二、能控性判别准则,1、定理1 对于n 阶线性定常系统，其系统状态完全能控的充分必要条件是：由A、B 构成的能控性判别矩阵满秩，即：,n为该系统的维数,能控性矩阵,18,4.1 线性定常连续系统的能控性,（1）,例4.4 判别下列状态方程的能控性。,系统状态不完全能控。,解：（1）,19,（2）（3）（4）,20,解：（2），系统不能控。（3），系统能控。（4）系统不能控。,注意：对于行数列数的情况求秩时：rank=rank,21,4.1 线性定常连续系统的能控性,2、定理2：设线性定常系统，具有互不相同的实特征值，则其 状态完全能控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准 型：中，阵不存在全零行。,22,证明：（1）非奇异线性变换后系统的能控 性不变。设令则：,其中：,23,非奇异线性变换后，系统的能控性不变。,24,4.1 线性定常连续系统的能控性,因为线性变换后的状态变量间无耦合，由能控的定义，显然能控性的充要条件为变换后的b阵中无全为零的行。,（2）,25,4.1 线性定常连续系统的能控性,解：（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是能控的。（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，所以系统是不能控的。,状态变量 x2 不受控制,此方法的优点在于很容易判断出能控性，并且能将不能控的部分确定下来，但它的缺点是要进行线性变换。,26,4.1 线性定常连续系统的能控性,例4.6 判别下列系统的状态能控性。,解：状态方程为对角型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是能控的。,正解：定理2要求：互不相同的实特征值 只能用定理1的代数判据判断,系统是不能控的,27,4.1 线性定常连续系统的能控性,3、定理3：若线性定常系统，具有重实特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全能控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型 中，每个约当块（）最后一行所对应的 阵中的各行元素不全为零。,28,例：设，已知,该系统能控,4.1 线性定常连续系统的能控性,29,4.1 线性定常连续系统的能控性,例4.7 判别下列系统的状态能控性。,解：(1)系统是能控的。,(2)系统不能控的。,(3)系统不能控的。,30,4.1 线性定常连续系统的能控性,系统输出能控的充分必要条件是 的秩为输出变量的数目。即：,4、输出能控性判据,注意：一般而言，系统输出能控性和状态能控性之间没有什么必然的联系，即 输出能控不一定状态能控，状态能控不一定输出能控。,输出能控性矩阵,或者说：该矩阵的秩等于该矩阵的行数，即行满秩,31,4.1 线性定常连续系统的能控性,例4.8 判断下列系统的状态及输出能控性。解：（1）状态能控性判别矩阵，故状态不能控。（2）输出能控性判别矩阵，所以系统输出能控。,结论：系统输出能控，但不是状态能控的。即使系统状态能控，也可能输出不能控。,32,4.1 线性定常连续系统的能控性,本节的小结1、能控、能观问题的含义2、状态能控性、状态能达性及输出能控性的定义3、各种能控性判据（注意条件限制，灵活应用）能控性判别准则有两类:(1)先将系统进行状态变换，把状态方程化 为对角或约当标准型，再根据 阵确定系统的能控性；(2)直接根据状态方程的A阵和B阵确定其能控性。4、输出能控的定义及判据,33,4.2 线性定常连续系统的能观测性,本节主要内容能观性定义 能观性判据,在实际工程实践中，往往需要知道状态变量，但状态变量未必都可以从外部观测到！1、检测手段的限制；2、一些状态变量不是物理量。但输出变量总是可以获取和测量的。问题：能否通过输入输出信息来了解系统内部的状态？能观性问题,34,4.2 线性定常连续系统的能观测性,一、能观测性定义（可观性）,表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制输入没有直接的关系,设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为：如果对于任一给定的输入，存在一有限观测时间，使得在 期间的输出 能唯一地确定系统初始状态，则称此系统状态完全能观测的，简称系统是能观的。,能观性：y(t)x(t)输出方程,35,即，对任意给定u(t)，在内输出y(t)可唯一确定系统的初态 x()，则系统是完全能观测的。y x()另：y x(),确定,确定,4.2 线性定常连续系统的能观测性,能观,能检,不能观状态的物理意义！在输出中反映不出初始状态。换言之，不能观：非零初始状态x0产生的输出响应恒为零。能观：系统初始状态信息可以在输出中反映。,对任意给定u(t)，如果根据 内的输出y(t)可唯一确定任意指定的系统状态 x()，则称系统是完全能检测的。,两者等价,36,4.2 线性定常连续系统的能观测性,1）、能观性表示的是输出 反映状态矢量 的能力，由于控制作用所引起的输出是可以算出的，所以在 分析能观测问题时，可令。换言之，系统的输入不改变系统的能观测性。,说明：,2)、将能观性规定为对初始状态的确定，是因为一旦确定 了初始状态，便可以根据给定的控制量（输入），利 用状态转移方程（第三章）：求出各个瞬时的状态。,37,4.2 线性定常连续系统的能观测性,二、能观性判据,1、定理1 线性定常连续系统:其状态完全能观的充分必要条件是：由A、C构成的能观性判别矩阵:满秩，即:。,能观性矩阵,38,证明：设,39,这里：要使y(t)x(0),确定,40,4.2 线性定常连续系统的能观测性,例4.9 判别下列系统的能观性,（1）（2）,解：（1）故系统是不能观的。（2）故系统是能观的。,41,4.2 线性定常连续系统的能观测性,2、定理2,设线性定常连续系统：A阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型:中的矩阵中 不含元素全为零的列。,42,4.2 线性定常连续系统的能观测性,例4.10 判别系统可观测性,解：（1）系统能观测。（2）系统不能观测。,（1）（2）,注意：当为对角阵但含有相同元素时，上述判据不适用，应根据可观性的代数判据来判别,43,4.2 线性定常连续系统的能观测性,3、定理3,设线性定常连续系统A阵具有重特征值，且每一个特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的约当标准型:中的矩阵 中与每个约当块 首列相对应的那些列的元素不全为零。,44,如：,4.2 线性定常连续系统的能观测性,若能观,45,4.2 线性定常连续系统的能观测性,例4.11 判别系统的能观测性,（1）（2）,解：（1）系统状态不能观,（2）系统状态能观,46,4.2 线性定常连续系统的能观测性,例4.12 试判断由式所描述的系统是否为能控和能观的。,解：1)由于能控性矩阵的秩为2，即，故该系统是状态能控的。,47,4.2 线性定常连续系统的能观测性,2)对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于 的秩为1，即，故该系统是输出能控的。,3)为了检验能观性条件，需验算能观性矩阵的秩。由于 的秩为2，即，故此系统是能观的。,48,4.2 线性定常连续系统的能观测性,本节的小结：1、状态能观性的定义及有关说明2、牢固掌握各种能观性判据 能观性判别准则有两种形式:(1)、先对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换为对角或约当标准型，然后再根据 标准型中的 阵确定系统的能观性；(2)、直接根据状态方程的A阵和C阵确定其能 观性3、注意条件限制，并能根据题意灵活应用。,